Quadratische Gleichung | lösen mit abc-Formel | Einführung Quadratische Gleichungen kann man mit der quadratischen Auflösungsformel manchmal auch Mitternachtsformel oder abc-Formel genannt, lösen. Auch die pq-Formel kann verwendet werden.
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00:00Quadratische Gleichungen lassen sich mit der quadratischen Auflösungsformel lösen.
00:05In diesem Video schauen wir uns an einer Beispielaufgabe an, wie man dabei vorgeht.
00:13Wir haben hier eine Textaufgabe, aus der wir als erstes eine Gleichung aufstellen wollen.
00:20Die Aufgabenstellung lautet
00:22Eine Gruppe von Lernenden soll für eine Reise insgesamt 720 Franken bezahlen.
00:30Da noch drei weitere Personen teilnehmen wollen, verringert sich der finanzielle Beitrag jedes Teilnehmers um 40 Franken.
00:38Wie viele Lernende nehmen an der Reise teil?
00:42Als erstes müssen wir definieren, wofür x steht.
00:46In diesem Beispiel steht x für die ursprüngliche Anzahl Teilnehmer.
00:52Die neue Anzahl ist entsprechend x plus 3.
00:55Die Definitionsmenge sind alle natürlichen Zahlen, weil ja keine Teilpersonen teilnehmen.
01:03Weiter steht, dass sich der Beitrag um 40 Franken verringert.
01:08Das heißt, dass wenn wir vom alten Beitrag, den neuen subtrahieren, erhalten wir diese 40 Franken.
01:14Der Beitrag berechnet sich allgemein aus dem Gesamtbetrag, geteilt durch die Anzahl Teilnehmer.
01:22Also ist der alte Beitrag, die 720 Franken, geteilt durch x.
01:28Der neue Beitrag ist 720 Franken, geteilt durch die neue Anzahl Teilnehmer, also durch x, plus 3.
01:36Die 40 übernehmen wir unverändert.
01:39Wir erhalten eine Bruchgleichung.
01:43Um diese zu lösen, multiplizieren wir die Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner.
01:51Das ist in dem Fall x, mal x, plus 3.
01:55Wenn wir den ersten Bruch mit dem KGV multiplizieren, können wir x kürzen, also gibt das 720, mal x, plus 3.
02:04Beim zweiten Bruch, multipliziert mit dem KGV, können wir x, plus 3, kürzen, also gibt das 720x.
02:14Und die rechte Seite mit dem KGV multipliziert, gibt 40, mal x, mal x, plus 3.
02:22Als nächstes multiplizieren wir die Klammern aus.
02:25Bei der ersten Klammer gibt das 720x, plus 720, mal 3, also 2160.
02:35Die 720x übernehmen wir unverändert.
02:40Und auf der rechten Seite gibt es 40x², plus 120x.
02:46Auf der linken Seite subtrahiert sich 720x, minus 720x, zu 0.
02:52Das quadratische Glied, 40x², kann nicht wegsubtrahiert werden.
02:59In dem Fall lösen wir die Gleichung nach 0 auf.
03:04Dabei spielt es keine Rolle, ob die 0 auf der linken oder rechten Seite der Gleichung steht.
03:10Wir subtrahieren 40x² und 120x.
03:14Achtet darauf, dass die Glieder nach fallender Potenz sortiert sind, also zuerst die x², dann die x, und zum Schluss die Konstante.
03:24Jetzt dividieren wir noch die Gleichung durch den größten gemeinsamen Teiler der Koeffizienten, also den Zahlen vor x², vor x, und der Konstanten.
03:35Dieser ist 40.
03:36Für den weiteren Verlauf ist es von Vorteil, wenn der Koeffizient von x², positiv ist, also dividieren wir insgesamt durch minus 40.
03:48Wir erhalten die Gleichung, x², plus 3x, minus 54, gleich 0.
03:54Um diese Gleichung nach x aufzulösen, brauchen wir die quadratische Auflösungsformel, oder kurz, die ABC-Formel.
04:05Woher diese Formel kommt, schauen wir uns in einem anderen Video an.
04:09Das a steht für den Koeffizienten vor dem x², welcher 1 ist, wenn nichts dasteht.
04:17b ist der Koeffizient vor x, also 3, und c ist die Konstante, also minus 54.
04:26Achtet darauf, dass die Vorzeichen jeweils mitgenommen werden.
04:29Wir ersetzen die Buchstaben durch die entsprechenden Zahlen, und erhalten, minus 3, plus minus Wurzel aus 3², minus 4, mal 1, mal minus 54, geteilt durch 2, mal 1.
04:45Der Radikant gibt ausgerechnet 225, also gibt die Wurzel davon 15.
04:51Die erste Lösung erhalten wir, wenn wir beim Plus-Minus-Zeichen, das Plus verwenden.
04:57Das gibt 6.
05:00Für die zweite Lösung setzen wir beim Plus-Minus-Zeichen, minus 1.
05:05Das gibt minus 9.
05:08Da die Teilnehmerzahl nur ein positiver Wert sein kann, ist 6, die gesuchte Lösung.
05:14x ist die ursprüngliche Teilnehmerzahl.
05:18Die neue Anzahl Teilnehmer ist die alte Anzahl, plus 3, also haben wir total 9 Teilnehmer.
05:24Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
