Quantile, Quartile und Interquartilsabstand

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vor 5 Tagen

Quantile, Quartile und Interquartilsabstand

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00:00Quantile und Quartile sind Lagemaße, die eine geordnete Stichprobe benötigen.

00:06In diesem Video schauen wir uns an, wie man Quantile, Quartile und den Interquartilsabstand, kurz IQR, bestimmt.

00:18Beginnen wir mit der Definition des Quantils.

00:22Betrachten wir dazu eine Stichprobe aus zwölf Werten.

00:25Sie sind der Größe nach geordnet, das heißt also, x2 ist größer als x1, x3 ist größer als x2, und so weiter.

00:37Dann nehmen wir zum Beispiel das 20% Quantil, welches mit x0,2 bezeichnet wird.

00:45Es markiert eine bestimmte Position auf der Stichprobe.

00:48Somit sind 20% der Werte kleiner als x0,2, und der Rest, also 80% der Werte, sind größer.

00:59Machen wir weiter mit den Quartilen.

01:02Das erste Quartil markiert die Position, bei der 25%, also ein Viertel der Werte, kleiner als diese Grenze sind.

01:11Das zweite Quartil, welches zugleich der Median ist, teilt die Werte in zwei gleich große Gruppen.

01:19Und das dritte Quartil, welches auch das 75% Quantil ist, markiert die Position, bei der drei Viertel der Werte, darunter liegen.

01:30Somit liegt der letzte Viertel darüber.

01:31Der Abstand vom ersten, zum dritten Quartil, nennt man den Interquartilsabstand, kurz, IQR.

01:40Der IQR beschreibt, wie stark die mittleren 50% der Datensätze auseinander liegen.

01:48Fassen wir das kurz zusammen.

01:51Ein Quantil ist die Grenze, die sagt, wie viele Werte darunter liegen.

01:55Quartile ist der Oberbegriff für das 25, 50, und 75% Quantil.

02:04Sie teilen also die Stichprobe in vier gleich große Viertel.

02:09Und der IQR ist der Abstand von Q1 und Q3.

02:14Als nächstes wollen wir schauen, wie man diese Quantile berechnet.

02:19Nehmen wir wieder die zwölf Werte von vorhin.

02:22Als Beispiel nehmen wir das 35% Quantil, also x0,35.

02:29Wir multiplizieren die Anzahl Datensätze, also zwölf, mit dem Index, also mal 0,35, das gibt 4,2.

02:39Wenn wir davon ausgehen, dass ganz links 0% und ganz rechts 100% sind, dann liegt 4,2 irgendwo im Bereich des fünften Werts.

02:48Ist dies der Fall, nehmen wir einfach gerade diesen Wert, also x5.

02:55Als Formel schreiben wir, dass wenn n mal p nicht ganzzahlig ist, wir diesen Wert einfach aufrunden und dann den entsprechenden Wert aus der Liste nehmen.

03:04Die eckigen Klammern, die nur oben geschlossen sind, bedeuten Aufrunden.

03:10Als nächstes nehmen wir noch das 50% Quantil x0,5.

03:17Zwölf mal 0,5 gibt 6.

03:21Auf der Stichprobe sind wir genau auf der Grenze zwischen dem sechsten und dem siebten Wert.

03:27In diesem Fall nehmen wir einfach den Durchschnitt dieser beiden Werte.

03:30Als Formel heißt das, wenn n mal p ganzzahlig ist, addieren wir den Wert mit dem Index n mal p und den darauf folgenden Wert und multiplizieren das Ganze mit 0,5, was gleichbedeutend ist, wie wenn wir durch 2 teilen.

03:48Schauen wir uns das Ganze an ein paar Beispielen an.

03:53Wir haben hier 10 geordnete Werte und wollen davon das 30% und das 75% Quantil bestimmen.

04:02Für das 30% Quantil rechnen wir n mal p, also die 10 mal 0,3.

04:10Das gibt 3, was ganzzahlig ist.

04:12In diesem Fall ist das Quantil der Mittelwert zwischen dem dritten und dem vierten Wert.

04:19In der Liste sind das 1 und 3.

04:23Wir rechnen 0,5 mal 1 plus 3.

04:27Das gibt in dem Fall 2.

04:30Das bedeutet also, dass 30% der Werte kleiner oder gleich 2 sind.

04:35Für das 75% Quantil rechnen wir 10 mal 0,75, was 7,5 gibt.

04:44Dieser Wert ist nicht ganzzahlig.

04:48Das heißt, 7,5 wird aufgerundet, das gibt 8.

04:53Der achte Wert in der Liste ist 11.

04:56Wir erhalten also für das 75% Quantil 11.

05:00Das bedeutet, dass 75% der Werte kleiner oder gleich 11 sind.

05:08Machen wir weiter mit dem nächsten Beispiel.

05:12Wir haben hier die Noten von 14 Lernenden und wollen davon die Quartile und den Interquartilsabstand berechnen.

05:20Das erste Quartil berechnet sich aus 14 mal 0,25, das gibt 3,5.

05:263,5 ist nicht ganzzahlig, also wird es auf 4 aufgerundet.

05:32Der vierte Wert in der Tabelle ist 3,5, also ist das erste Quartil 3,5.

05:39Das zweite Quartil berechnet sich aus 14 mal 0,5, das gibt 7.

05:467 ist ganzzahlig, also ist das zweite Quartil der Mittelwert zwischen dem siebten und dem achten Wert.

05:52Diese beiden Werte sind beide 4,0, also ist deren Mittelwert auch 4,0.

06:00Das zweite Quartil ist auch gerade der Median.

06:04Das dritte Quartil berechnet sich aus 14 mal 0,75, das gibt 10,5.

06:1010,5 ist wiederum nicht ganzzahlig, also runden wir auf 11, auf und der elfte Wert ist 5,5.

06:19Der Interquartilsabstand ist das dritte Quartil minus das erste Quartil.

06:265,5 minus 3,5 gibt 2,0.

06:30Das heißt also, die mittleren 50% der Noten liegen zwei Noten auseinander.

06:37Der nächste Datensatz ist die Dauer der Schulwege von 16 Lernenden.

06:43Auch hier wollen wir die Quartile und den IQR berechnen.

06:48Die Werte sind nicht sortiert, also müssen wir sie zuerst sortieren.

06:51Das können wir zum Beispiel mit einem Stängelblattdiagramm machen.

06:57Das sieht dann so aus.

07:00Oder wir ordnen die Stichprobe durch Abstreichen, das sieht dann so aus.

07:05Für das erste Quartil berechnen wir zuerst die Anzahl, also 16, mal 0,25, was 4 ergibt.

07:124 ist ganzzahlig, also nehmen wir den Mittelwert vom vierten und vom fünften Wert, also von 15 und 18, was 16,5 gibt.

07:24Für das zweite Quartil rechnen wir 16, mal 0,5, das gibt 8.

07:30Auch 8 ist ganzzahlig, also nehmen wir den Mittelwert vom achten und vom neunten Wert, also von 27 und 30, was ausgerechnet 28,5 gibt.

07:42Und beim dritten Quartil rechnen wir zuerst 16, mal 0,75, was 12 ergibt.

07:50Auch dieser Wert ist ganzzahlig, also ist das dritte Quartil der Mittelwert vom zwölften und vom dreizehnten Wert, also von 37 und 39, das ist 38.

08:01Der Interquartilsabstand berechnet sich wieder aus dem dritten, minus dem ersten Quartil, also 38, minus 16,5, was 21,5 gibt.

08:15Das letzte Beispiel enthält die Antworten aus einer Umfrage, die nach der Anzahl Stunden Sport pro Woche gemacht wurde.

08:22Als erstes berechnen wir ein robustes Streuungsmaß, was zum Beispiel der Interquartilsabstand ist.

08:31Dazu müssen wir die Daten wieder zuerst sortieren.

08:35Achtet darauf, dass die Werte 0 und 1 mehrfach vorkommen.

08:40Wir haben insgesamt 18 Werte.

08:42Der Interquartilsabstand ist das dritte, minus das erste Quartil.

08:49Für das erste Quartil rechnen wir 18, mal 0,25, was 4,5 gibt.

08:564,5 ist nicht ganzzahlig, also runden wir auf und nehmen entsprechend den fünften Wert aus der Liste, welcher 1 ist.

09:04Somit ist der Interquartilsabstand 4, minus 1, also 3.

09:27Ein Lagemaß, das eine sinnvolle Kombination mit dem Interquartilsabstand ist, ist der Median, welcher auch gerade Q2 ist.

09:38Für den Median rechnen wir zuerst 18, mal 0,5, was 9 gibt.