Quadratische Bruchgleichung mit abc-Formel lösen

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Quadratische Bruchgleichung mit abc-Formel lösen Wir lösen zusammen eine quadratische Gleichung mit der abc-Formel. In manchen Teilen Deutschlands wird diese auch Mitternachtsformel genannt. Die Herleitung der abc-Formel geschieht über quadratisches Ergänzen. Das ist Thema in einem anderen Video. Wir werden sie hier an einem Beispiel anwenden.  Willkommen auf dem Kanal von EducaNova. Hier findet ihr viele Lernvideos zu Themen aus der Mathematik und der Physik auf der Sekundarstufe 2.  Folgt uns auf YouTube: https://www.youtube.com/@educanova?sub_confirmation=1 Folgt uns auf Instagram: https://www.instagram.com/educanova.ch/ Folgt uns auf TikTok: https://www.tiktok.com/@educanova.ch

Transcript

00:00Eine quadratische Gleichung kann unter anderem in Form einer Bruchgleichung vorkommen.

00:05In diesem Video bestimmen wir die Definitions- und die Lösungsmenge einer solchen Gleichung mit der ABC-Formel.

00:15Wir haben hier eine Bruchgleichung, von der wir die Definitions- und die Lösungsmenge bestimmen sollen.

00:23Die Grundmenge sind dabei alle reellen Zahlen.

00:26Die gesuchte Größe x kommt in den Nennern vor.

00:31Als erstes faktorisieren wir die Nenner.

00:34Im ersten Nenner können wir ein x ausklammern, also gibt das x mal Klammer x minus 2.

00:42Der zweite Nenner kann nicht faktorisiert werden, also übernehmen wir ihn unverändert.

00:48Das gleiche gilt für den dritten Nenner.

00:51Für alle Nenner gilt, dass keiner der Faktoren 0 sein darf.

00:55Der Faktor x gibt 0, wenn x 0 beträgt.

01:00Der Faktor x minus 2 gibt 0, wenn x 2 beträgt.

01:06Die Definitionsmenge sind somit alle reellen Zahlen ohne 0 und 2.

01:12Um die Lösungsmenge zu bestimmen, müssen wir die Gleichung nach x auflösen.

01:18Dabei gehen wir wie folgt vor.

01:20Als erstes multiplizieren wir die Gleichung mit dem KGV aller Nenner.

01:26Das ist bei dieser Gleichung x mal x minus 2.

01:31Damit erreichen wir, dass die Gleichung keine Brüche mehr enthält.

01:34Beim ersten Bruch ist der Nenner gerade das gleiche, wie das KGV, also gibt das multipliziert gerade den Zähler, also x², minus 2.

01:46Bei der Multiplikation des zweiten Bruchs, mit dem KGV, kürzt sich x, also bleibt der Zähler, x, plus 2, mal den Rest vom KGV, also x, minus 2.

01:58Und beim letzten Bruch kürzt sich x, minus 2, also bleibt noch der Zähler, mal x.

02:05Die linke Seite lassen wir vorerst unverändert.

02:09Die Klammern auf der rechten Seite der Gleichung können wir ausmultiplizieren.

02:14Bei den ersten beiden Klammern handelt es sich um eine dritte binomische Formel, also gibt das x², minus 4.

02:23Die andere Klammer ausgerechnet, gibt x, hoch 2, minus x.

02:29Nun sortieren wir die Gleichung nach 0, indem wir die linke Seite subtrahieren.

02:35Auf der rechten Seite haben wir 2x², minus das x² auf der linken Seite, das gibt ein, x².

02:44Minus x, auf der rechten Seite, bleibt unverändert.

02:48Und minus 4, plus 2, gibt minus 2.

02:53Wir erinnern uns, dass eine quadratische Gleichung in der allgemeinen Form so aussieht.

02:59Jetzt können wir die quadratische Auflösungsformel verwenden.

03:04Die Koeffizienten a, b und c können wir aus der Gleichung ablesen.

03:08a ist 1, b ist minus 1 und c ist minus 2.

03:15Setzen wir die Werte für a, b und c in die Gleichung ein.

03:21Wir vereinfachen so weit wie möglich.

03:24Minus, minus 1 ist 1.

03:27Unter der Wurzel haben wir 9, also beträgt die Wurzel davon 3.

03:31Die erste Lösung erhalten wir, wenn wir beim Plus-Minus-Zeichen, Plus verwenden, also gibt das 2.

03:402 ist nicht in der Definitionsmenge vorhanden.

03:44Die zweite Lösung erhalten wir, wenn wir das Minus verwenden.

03:49Das gibt minus 1.

03:52Minus 1 ist in der Definitionsmenge vorhanden, also besteht die Lösungsmenge nur aus minus 1.

03:58Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.

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