Quadratisch Ergänzen

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Transcript

00:00Quadratische Gleichungen können mithilfe von quadratischem Ergänzen gelöst werden.

00:05In diesem Video schauen wir uns an, wie man dabei vorgeht.

00:12Wir haben hier eine Aufgabenstellung mit einer quadratischen Gleichung.

00:17Die Idee beim quadratischen Ergänzen ist es, dass man auf einer Seite der Gleichung eine binomische Formel hat.

00:25Das ist hier noch nicht der Fall.

00:26Als erstes subtrahieren wir den Koeffizienten c.

00:32Das ist in diesem Beispiel 7.

00:35Also erhalten wir x²-8x gleich –7.

00:40Vergleichen wir die linke Seite mit der zweiten binomischen Formel.

00:45Dabei entspricht x² dem a² und –8x entspricht dem –2ab.

00:51Das b² fehlt in der Gleichung, also müssen wir es ergänzen.

00:58Dazu übernehmen wir zuerst die linke Seite der Gleichung unverändert.

01:03Das x in der Gleichung entspricht dem a in der binomischen Formel.

01:08Entsprechend muss die 8 im linearen Glied den 2b entsprechen.

01:14Also ist b die Hälfte von 8, also 8 zweitel.

01:19Weil wir aber ein b² ergänzen müssen, müssen wir die 8 zweitel noch quadrieren.

01:25Auf der rechten Seite der Gleichung müssen wir, zu den –7, den gleichen Wert addieren,

01:32damit die Gleichung weiterhin erfüllt ist.

01:358 zweitel im Quadrat, gibt 4², also 16.

01:40Auf der linken Seite haben wir nun ein Binom.

01:44Das gibt x – 4 im Quadrat.

01:47Auf der rechten Seite können wir einfach –7, plus 16, ausrechnen, das gibt 9.

01:55Jetzt wollen wir die Gleichung nach x auflösen.

01:59Dazu ziehen wir die Wurzel.

02:02Auf der linken Seite gibt das einfach die Basis, also x – 4.

02:07Achtet darauf, dass ihr auf einer Seite der Gleichung ein Plus-Minus hinschreibt,

02:12also gibt das auf der rechten Seite, Plus-Minus 3.

02:15Lösen wir nach x auf, indem wir 4 addieren.

02:21Also gibt das x gleich 4, plus minus 3.

02:25Wenn wir beim Plus-Minus-Zeichen, Plus einsetzen,

02:29gibt das für die erste Lösung, 4, plus 3, also 7.

02:34Und wenn wir Minus einsetzen, gibt das für die zweite Lösung, 4, minus 3, also 1.

02:40Es spielt keine Rolle, welcher dieser Werte x1 und welcher x2 ist.

02:47Für die Lösungsmenge werden die Werte aufsteigend sortiert,

02:51und wir erhalten für die Lösungsmenge die Werte 1 und 7.

02:55Mit diesem Video geht es weiter,

02:58und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.

03:01Und dann können wir los 3, also dropen,

03:17zum Beispiel.

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