Arithmetisches Mittel - video Dailymotion

Mathematik - EducaNova

17.5.2025

Arithmetisches Mittel von klassierten und nicht klassierten Daten

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00:00Das arithmetische Mittel, auch Mittelwert genannt, ist eine der gebräuchlichsten Werten in vielen

00:05Alltagssituationen. In diesem Video schauen wir uns als erstes an, wie man das arithmetische

00:12Mittel in einfachen Situationen berechnet. Weiter geht es mit der Berechnung des gewichteten

00:18arithmetischen Mittels mit absoluter und relativer Häufigkeit, gefolgt von der Berechnung mit

00:24klassierten Daten. Zum Schluss schauen wir uns noch ein Beispiel an, bei dem die Aussagekraft

00:30des arithmetischen Mittels an seine Grenzen stößt. Beginnen wir mit dem einfachen Fall,

00:38bei dem alle Werte exakt sind und die gleiche Gewichtung haben. Als Rohdaten nehmen wir 3,

00:456, 8, 1 und 2. Um den Mittelwert zu bestimmen, welcher mit einem überstrichenen x dargestellt

00:54wird, addieren wir alle Werte aus der Liste, und dividieren anschließend die Summe durch die

00:59Anzahl Elemente, also geteilt durch 5. Geteilt durch 5 ist das gleiche, wie wenn wir mal ein

01:06Fünftel rechnen, also können wir auch sagen, der Mittelwert ist ein Fünftel, mal die Summe

01:11der einzelnen Werte. In diesem Fall gibt das 4. Allgemein können wir also sagen, der Mittelwert

01:19ist 1, geteilt durch die Anzahl Werte, also durch n, mal x1, plus x2, plus x3, und so weiter,

01:27bis plus xn. Die Summe können wir auch mit dem Summenzeichen darstellen, also addieren

01:33wir alle x i, wobei i, von 1, bis n, läuft. i ist der Laufindex, und ist eine natürliche

01:42Zahl, und n, steht für die Anzahl Werte. Schauen wir uns das an einem Beispiel an. Wir

01:50haben hier die Körpergrößen von 20 Personen in Zentimeter, von denen wir den Mittelwert

01:55berechnen wollen. Wir nehmen die Formel, die wir vorhin gesehen haben, und setzen für

02:01n, den Wert 20 ein, also ist der Mittelwert, ein Zwanzigstel, mal die Summe der 20 Werte.

02:07Wenn wir das ausrechnen, erhalten wir 173,95. Also beträgt die durchschnittliche Körpergröße

02:17173,95 Zentimeter. Machen wir weiter mit dem gewichteten arithmetischen Mittel. Wir nehmen

02:27als Rohdaten die Werte 4, 4, 7, 7 und 8. Beginnen wir mit der absoluten Häufigkeit. Ein paar Werte

02:37kommen mehrfach vor, also können wir uns dies zu Nutzen machen. Der Mittelwert ist wieder

02:43ein Fünftel, weil wir insgesamt 5 Werte haben, mal die Summe der einzelnen Werte.

02:484, kommt 2 mal vor, also haben wir 4, mal 2, dann 2 mal die 7, also plus 7, mal 2, und zum Schluss

02:57noch einmal die 8, also plus 8, mal 1. Ausgerechnet gibt das 6. Allgemein können wir nun sagen, wir

03:07rechnen 1, geteilt durch die Anzahl Werte, also durch n, mal den ersten Wert, mal dessen Anzahl

03:13in 1, plus den zweiten Wert, mal dessen Anzahl in 2, und so weiter, bis mal xj, mal dessen Anzahl

03:20in j. j steht dabei für die Anzahl unterschiedlicher Werte, das ist im oberen Beispiel 3. Geschrieben

03:29mit dem Summenzeichen ist das 1, geteilt durch n, mal die Summe von i, gleich 1, bis j, von

03:36xj, mal ni. Machen wir weiter mit der relativen Häufigkeit. 2, von 5 Werten, sind 4, also ist

03:45die Gewichtung von 4, 2 Fünftel. Wir rechnen, 4, mal 2 Fünftel. Das gleiche gilt für 7, also

03:54addieren wir 7, mal 2 Fünftel. Und 8, ist nur einer von 5 Werten, also addieren wir 8, mal

04:021 Fünftel. Wenn wir das ausrechnen gibt das ebenfalls 6. Es spielt also keine Rolle, ob

04:10wir mit der absoluten, oder mit der relativen Häufigkeit rechnen. Achtet darauf, dass bei

04:16der relativen Häufigkeit davor kein 1, über n, steht. Wenn wir das Ganze wieder allgemein

04:23aufschreiben wollen, gibt das x1, mal die Häufigkeit, also h1, plus x2, mal h2, und so

04:30weiter, bis plus xj, mal hj. Wieder mit dem Summenzeichen dargestellt, gibt das die Summe

04:38von i, gleich 1, bis j, von x i, mal h i. Machen wir auch dazu ein Beispiel. Wir haben

04:47hier die Absenzen in Lektionen von 12 Lernenden während eines Semesters. Als erstes erstellen

04:54wir eine Häufigkeitstabelle. Die maximale Anzahl Absenzen ist 6, also brauchen wir 6 Zeilen.

05:01Dann zählen wir die Häufigkeit der einzelnen Absenzen mit einer Strichliste. Der erste Lernende

05:09hat 4 Absenzen, also machen wir bei 4 einen Strich. Der zweite hat eine, dann 3, und so weiter,

05:17bis wir alle 12 Werte eingetragen haben. In die nächste Spalte tragen wir die Anzahl

05:23Striche ein, und ganz unten die totale Anzahl, also 12. In die nächste Spalte kommt die relative

05:30Häufigkeit. Dazu rechnen wir die Anzahl, durch die totale Anzahl. Für den ersten Wert

05:38ist das 2, geteilt durch 12, also 0,1667, beim zweiten ist das 1, geteilt durch 12, also

05:460,0833, und so weiter. Jetzt wollen wir den Mittelwert, sowohl mit absoluter, als auch

05:54mit relativer Häufigkeit bestimmen. Mit der absoluten Häufigkeit ist der Mittelwert 1, geteilt

06:01durch die Anzahl Werte, in dem Fall 12, mal die Summe von i, gleich 1, bis 6, von jeweils

06:07der Anzahl Absenzen, mal die absolute Häufigkeit, wie diese Anzahl Absenzen vorkommt. Also rechnen

06:15wir die Werte in der Spalte x i, mal die Werte in der Spalte ni, und addieren diese 6 Produkte.

06:22Geteilt durch 12, gibt das insgesamt, 3,5. Mit relativen Häufigkeiten ist der Mittelwert

06:29die Summe von 1, bis 6, von der Anzahl Absenzen, mal der relativen Häufigkeit, wie diese vorkommt.

06:37Also rechnen wir die Werte in der Spalte x i, mal die Werte in der Spalte h i, und addieren

06:43diese 6 Produkte. Ausgerechnet gibt es auch in diesem Fall 3,5. Wir sehen also auch an diesem

06:51Beispiel, dass beide Rechenarten zum gleichen Resultat führen.

06:57Kommen wir nun zum arithmetischen Mittel von klassierten Daten. Das funktioniert ähnlich,

07:03wie beim gewichteten arithmetischen Mittel. Im Wesentlichen ersetzen wir einfach die Werte

07:09x i durch die jeweilige Klassenmitte mi. Mit der absoluten Häufigkeit ist das also 1,

07:17geteilt durch n, mal die Klassenmitte m1, mal die Anzahl n1, plus m2, mal n2, und so weiter.

07:25Auch die Darstellung mit dem Summenzeichen sieht entsprechend so aus. Mit der relativen

07:32Häufigkeit werden einfach die Klassenmitten mit der relativen Häufigkeit multipliziert.

07:36Entsprechend so sieht es mit dem Summenzeichen aus. Machen wir auch dazu ein Beispiel. Wir haben

07:46hier in einer Tabelle klassierte Daten von Gewichten. Die erste Klasse reicht von 51, bis 58, die zweite

07:55von 58, bis 65, und so weiter. Wir brauchen jeweils die Klassenmitte, um den Mittelwert berechnen zu

08:03können. Bei der ersten Klasse ist das das untere Limit, plus das obere Limit, geteilt durch zwei,

08:10also 51, plus 58, geteilt durch zwei, das gibt 54,5. Bei der zweiten gibt es 61,5, und so weiter,

08:22bis wir alle Klassenmitten zusammen haben. Das arithmetische Mittel ist nun die Summe der

08:29jeweiligen Klassenmitten, mal die entsprechende relative Häufigkeit. Also multiplizieren wir die

08:36Spalte HI mit der Spalte MI und addieren anschließend die Produkte. Ausgerechnet gibt das 64,65. Also

08:46beträgt das durchschnittliche Körpergewicht 64,65 kg. Wichtig ist noch die Information, dass der

08:55Mittelwert von klassierten Daten meistens eine leichte Abweichung vom exakten Wert hat. Das liegt daran,

09:02dass die Werte durch das Klassieren jeweils von ihrem exakten Wert zur Klassenmitte verschoben

09:08werden. Zum Schluss schauen wir uns noch eine Beispielaufgabe an, bei der deutlich wird, dass

09:15die Aussagekraft des arithmetischen Mittels Grenzen hat. Wir wollen den Mittelwert der Löhne in einem

09:21Unternehmen berechnen. Dabei haben zehn Personen einen Lohn von 3.800 Franken und der Gruppenleiter

09:29einen solchen von 9.300 Franken. Der Mittelwert ist also ein Elftel, weil es elf Personen sind,

09:37mal die Summe der jeweiligen Löhne, mal die absolute Häufigkeit, also zehn, mal 3.800 Franken,

09:45plus einmal 9.300 Franken. Das gibt einen Mittelwert von 4.300 Franken. Das heißt, zehn von elf Angestellten

09:56verdienen deutlich weniger als der Durchschnitt. Mit diesem Video geht es weiter und in dieser

10:03Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.

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