Satz von Viëta anwenden
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Kategorie
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LernenTranskript
00:00Der Satz von Vieter sagt, wie die Lösungen einer quadratischen Gleichung mit den Koeffizienten in der Normalform zusammenhängen.
00:08In diesem Video schauen wir uns an, wie man diesen anwenden kann.
00:16Betrachten wir eine quadratische Gleichung in der Normalform, also x² plus px plus q gleich 0.
00:24x1 und x2 seien die Lösungen dieser Gleichung.
00:29Dann sagt der Satz von Vieter aus, dass die Summe der beiden Lösungen gerade minus der Koeffizient p ist und dass das Produkt dem Koeffizienten q entspricht.
00:39Wenn die Gleichung in der Allgemeinform vorliegt, kann diese entsprechend mit der Division durch a in die Normalform gebracht werden.
00:49Dann gilt, dass die Summe der beiden Lösungen gerade minus b durch a ist und dass das Produkt c durch a ist.
00:56Wie man das nutzen kann, schauen wir uns an ein paar Beispielen an.
01:03Beim ersten Beispiel wollen wir eine quadratische Gleichung in der Normalform angeben, deren Lösungsmenge aus 2 und 5 besteht.
01:11Nach dem Satz von Vieter ist die Summe der beiden Lösungen minus p.
01:17Die Summe von 2 und 5 ist 7, also ist p minus 7.
01:23Weiter ist das Produkt der beiden Lösungen q, also haben wir 2 mal 5, das gibt 10, für q.
01:30Wir setzen die Zahlenwerte in die Gleichung ein und erhalten x² minus 7x plus 10 gleich 0 als gesuchte Gleichung.
01:41Machen wir ein weiteres Beispiel.
01:44Wir suchen eine Gleichung, die als Lösungsmenge minus 3 und minus 2 hat.
01:49Damit wir den Satz von Vieter anwenden können, brauchen wir die Normalform der quadratischen Gleichung.
01:57Die Summe der beiden Lösungen ist gleich minus p.
02:01Setzen wir die Zahlenwerte ein und lösen nach p auf, also ist p gleich 5.
02:08q ist das Produkt der beiden Lösungen.
02:12Setzen wir die Zahlenwerte ein und lösen nach q auf, also ist q gleich 6.
02:17Setzen wir p und q in die Normalform der quadratischen Gleichung ein.
02:24Unsere gesuchte Gleichung lautet x² plus 5x plus 6 gleich 0.
02:31Bei diesem Beispiel sollen wir die Gleichung bestimmen, die als Lösungsmenge minus 1,5 und 2,5 hat.
02:40Das Ganze soll mit Linearfaktoren geschehen.
02:42Das Produkt von jeweils x minus die Lösungen muss auch 0 sein.
02:49Setzen wir die Werte für die Lösungen ein.
02:53Also gibt das x minus minus 1,5 mal x minus 2,5 gleich 0.
03:00Als nächstes multiplizieren wir die Klammern miteinander und bringen die Gleichung in die Normalform.
03:06Das gibt x² minus x minus 3,75 gleich 0.
03:13Wir erhalten die gleiche Lösung, wie wenn wir den Satz von Vieta angewendet hätten.
03:19Beim letzten Beispiel ist die gesuchte Lösungsmenge 0,5 a und a.
03:24Dieses Verfahren funktioniert auch mit Gleichungen, die Parameter enthalten.
03:31Also haben wir x minus 0,5 a mal x minus a gleich 0.
03:37Rechnen wir die Klammern aus.
03:41Bringen wir die Gleichung in die Normalform, indem wir minus a x minus 0,5 a x verrechnen.
03:47Unsere gesuchte Gleichung lautet also x² minus 1,5 a x plus 0,5 a² gleich 0.
03:58Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.