Quadratische Funktionen: Graphen zeichnen und Nullstellen bestimmen

EducaNova

26.4.2025

Quadratische Funktionen: Graphen zeichnen und Nullstellen bestimmen
Quadratische Funktionen zeichnen, Nullstellen, Diskriminante
Lerne den Graphen einer quadratischen Funktion zu zeichnen, die Symmetrieachse und den Scheitelpunkt zu bestimmen und die Nullstellen zu berechnen.

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00:00Quadratische Funktionen haben die Form ax² plus bx plus c.

00:06In diesem Video schauen wir uns an, wie der Funktionsgraf einer quadratischen Funktion aussieht und welche markanten Punkte sie hat.

00:17Wir haben hier eine quadratische Funktion, deren Graphen wir zeichnen wollen.

00:22Dazu brauchen wir eine Wertetabelle, also Kombinationen von x- und y-Werten, die auf dem Graphen liegen.

00:31Dabei können wir für x beliebige Werte selber wählen.

00:36Als erstes nehmen wir für x den Wert minus 2.

00:40Wir setzen diesen Wert in die Funktionsgleichung ein und erhalten für y den Wert minus 7.

00:47Wenn wir minus 1 einsetzen, gibt es minus 3,5.

00:53Weiter setzen wir für x noch die Werte von 0 bis 6 ein.

00:58Drückt jetzt auf Pause und rechnet selber die dazugehörigen y-Werte aus, bevor ihr weiterschaut.

01:06Vergleicht nun die Werte mit eurer Lösung.

01:09Als nächstes brauchen wir ein Koordinatensystem.

01:12Achtet dabei darauf, dass die x-Achse mindestens den Bereich von minus 2 bis 6 und die y-Achse von minus 7 bis 1 abdeckt.

01:24Zeichnet jetzt die Punkte selber ein, bevor ihr die Lösung anschaut.

01:29Verbinden wir nun die Punkte.

01:30Achtet darauf, dass die Linie keine Knicke aufweist.

01:36Wenn es etwas genauer sein soll, könnt ihr noch ein paar Zwischenpunkte berechnen.

01:42Schauen wir uns nun an, welche Eigenschaften und markante Punkte dieser Graph hat.

01:47Der Funktionsgraf hat eine vertikale Symmetrieachse.

01:52Der Schnittpunkt des Funktionsgrafen mit der Symmetrieachse ist auch gerade der höchste Punkt.

02:00Dies ist der Scheitelpunkt und wird mit s bezeichnet.

02:04Mit der x-Achse hat dieser Funktionsgraf zwei Schnittpunkte.

02:09Das sind die Nullstellen.

02:11Diese werden mit n1 und n2 bezeichnet.

02:15Der Schnittpunkt mit der y-Achse wird mit s, y bezeichnet.

02:22Machen wir uns dazu eine Übersicht.

02:25s ist der Scheitelpunkt.

02:28Die Koordinaten werden mit xs und ys bezeichnet.

02:33Die Parabel besitzt eine vertikale Symmetrieachse.

02:37n1 und n2 sind die Nullstellen.

02:40Es gilt, wie bei den linearen Funktionen, dass y gleich 0 ist.

02:47Bei s y gilt, dass x gleich 0 ist.

02:52Als nächstes wollen wir die Nullstellen dieser Funktion noch etwas genauer bestimmen.

02:57Nullstellen sind die Punkte auf dem Funktionsgrafen, die als y-Koordinaten den Wert 0 haben.

03:06Für die Berechnung können wir also die Funktion gleich 0 setzen.

03:11Wir erhalten nun eine quadratische Gleichung, die wir nach bekanntem Schema lösen können.

03:16Dazu normieren wir die Gleichung, indem wir die Gleichung durch minus 0,5 teilen.

03:23Wir erhalten x², minus 4x, plus 2, gleich 0.

03:29Dieser Schritt ist optional, aber so haben wir nur ganze Zahlen als Koeffizienten.

03:35Löst nun diese Gleichung selbstständig, bevor ihr die Lösung anschaut.

03:39Setzen wir die Werte für a, b und c in die quadratische Auflösungsformel ein.

03:47a ist dabei 1, b ist minus 4 und c ist 2.

03:53Rechnen wir den Radikanten aus, das gibt 8.

03:57Durch partielles Wurzelziehen können wir die Wurzel aus 8 verkleinern.

04:018 ist 2, mal 4 und die Wurzel aus 4 ist 2, also gibt das 2, mal Wurzel 2.

04:10Jetzt können wir im Zähler eine 2 ausklammern.

04:14Dann kürzen wir eine 2 und erhalten 2, plus minus Wurzel 2.

04:20Wenn wir die Werte ausrechnen, erhalten wir mit dem Minus etwa 0,6 und mit dem Plus etwa 3,4.

04:28Dies sind nun die x-Koordinaten der Nullstellen.

04:32Die Nullstellen selbst erhalten wir, wenn wir die erhaltenen x-Koordinaten mit 0 als y-Koordinate kombinieren.

04:41Also ist N1 0,6 zu 0 und N2 3,4 zu 0.

04:48Machen wir noch eine Überlegung zu der Anzahl Nullstellen.

04:53Von den quadratischen Gleichungen wissen wir, dass nicht jede Gleichung zwei Lösungen hat.

04:58So wie bei den quadratischen Gleichungen die Anzahl der Lösungen von der Diskriminante abhängt,

05:05hängt auch bei quadratischen Funktionen die Anzahl der Nullstellen von der Diskriminante ab.

05:10Ist die Diskriminante positiv, haben wir zwei Nullstellen, ist die Diskriminante 0, haben wir eine Nullstelle,

05:18und ist die Diskriminante negativ, haben wir keine Nullstellen.

05:21Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.

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