Scheitelpunktform der quadratischen Funktion verstehen
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LernenTranskript
00:00Quadratische Funktionen können auf verschiedene Arten dargestellt werden.
00:05In diesem Video schauen wir uns die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion an.
00:11Insbesondere gehen wir auf die Bedeutung der einzelnen Parameter ein.
00:17Die Allgemeinform der quadratischen Funktion ist ax² plus bx plus c.
00:25Aus dieser lässt sich jedoch der Scheitelpunkt nicht direkt ablesen.
00:30Die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion ist f von x gleich a mal x minus xs im Quadrat plus ys.
00:40Dabei ist xs die x-Koordinate des Scheitelpunktes und ys die y-Koordinate des Scheitelpunktes.
00:49Das ist der Punkt, bei dem die Steigung von steigen zu sinken bzw. von sinken zu steigen wechselt.
00:55Schauen wir uns die Bedeutung der einzelnen Parameter an.
01:01Wir beginnen mit dem Vorfaktor a.
01:04Dazu betrachten wir die fünf Funktionen x², 2x², 1 Drittel x², minus x² und minus 1 Zweitel x².
01:14Eine Wertetabelle hilft uns bei der Darstellung.
01:19Bei x² gibt minus 2 im Quadrat, 4 minus 1 im Quadrat, gibt 1, bei 0 gibt es 0, bei 1 gibt es 1 und bei 2 gibt es 4.
01:31Drückt jetzt auf Pause und versucht selbstständig, die Tabellen auszufüllen und die Punkte im Koordinatensystem einzutragen.
01:41Wenn ihr die Werte richtig ausgerechnet habt, sollten die Tabellen so aussehen.
01:48Als nächstes zeichnen wir die Funktionsgrafen im Koordinatensystem ein.
01:52Der erste Funktionsgraf sieht wie folgt aus.
01:57Der Parameter a ist in dem Fall 1.
02:01Man spricht hier auch von der Normalparabel.
02:04Wenn der Parameter a gleich 2 ist, ist die Parabel enger.
02:10Ist der Parameter a ein Drittel, ist die Parabel weiter geöffnet.
02:14Ist der Parameter a negativ, ist die Parabel nach unten geöffnet.
02:19Auch bei negativen Parameter a gilt, je kleiner der Betrag ist, desto weiter ist die Parabel geöffnet.
02:29Fassen wir diese erste Erkenntnis zusammen.
02:33Der Parameter a gibt die Richtung und die Streckung vor.
02:38Ist a größer als 0, ist die Parabel nach oben geöffnet.
02:43Das heißt, die Funktion hat ein Minimum.
02:45Ist a negativ, ist die Parabel nach unten geöffnet.
02:51Also hat die Funktion ein Maximum.
02:55Ist der Betrag des Parameters a größer als 1, ist die Parabel enger als die Normalparabel.
03:02Und ist der Betrag von a kleiner als 1, ist die Parabel weiter geöffnet als die Normalparabel.
03:09Als nächstes schauen wir uns an, was passiert, wenn bei der Funktion ein Parameter dazu gezählt wird.
03:18Dazu untersuchen wir x² plus 1 und x² minus 2.
03:24Eine Wertetabelle für f und g von x kann beim Einzeichnen hilfreich sein.
03:29Bei x² plus 1 wird die Parabel um eine Einheit nach oben verschoben.
03:36Und bei x² minus 2 wird die Parabel um zwei Einheiten nach unten verschoben.
03:41Also wenn wir die Form ax² plus c haben, dann ist c, die y-Koordinate des Scheitelpunktes.
03:52Dabei gilt, ist c, gleich 0, dann liegt der Scheitelpunkt auf der x-Achse, ist c, größer als 0,
03:59wird der Scheitelpunkt in positive y-Richtung verschoben,
04:02und ist c, negativ, wird der Scheitelpunkt in negativer y-Richtung verschoben.
04:08Als nächstes wird ein Parameter zu x dazu gezählt, bevor x quadriert wird.
04:15Wir haben hier die Funktionen x plus 2 im Quadrat und x minus 3 im Quadrat.
04:23Auch hier helfen Wertetabellen für f und g von x.
04:28Haben wir x plus 2 im Quadrat, wird die Parabel um zwei Einheiten nach links verschoben.
04:34Bei x minus 3 im Quadrat, wird die Parabel um drei Einheiten nach rechts verschoben.
04:43Wir sehen also, dass die Zahl, die zu x, dazu gezählt wird, der negativen x-Koordinate des Scheitelpunktes entspricht.
04:50Ist diese Zahl 0, liegt der Scheitelpunkt auf der y-Achse, ist sie negativ, wird der Scheitelpunkt in positiver x-Richtung verschoben,
05:00und ist sie positiv, wird er in negativer x-Richtung verschoben.
05:06Damit wir den Scheitelpunkt direkt ablesen können, definieren wir, dass x minus xs geschrieben wird.
05:13Fassen wir diese drei Erkenntnisse zusammen.
05:18Die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion lässt sich darstellen, als a mal x minus xs im Quadrat, plus ys,
05:27wobei xs, die x-Koordinate des Scheitelpunktes, und ys, die y-Koordinate des Scheitelpunktes ist.
05:36Schauen wir uns noch ein paar Beispielaufgaben an.
05:39Bei dieser Aufgabe soll man von einer gegebenen Funktion die Art des Optimums, die Form, das Argument, und den Funktionswert des Optimums bestimmen.
05:51Der Parameter a ist positiv, also ist der Graph nach oben geöffnet.
05:57Das heißt, wir haben ein Minimum.
06:00Weiter ist der Betrag von a kleiner als 1, also ist die Parabel weiter geöffnet, als die Normalparabel.
06:07Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten, minus 3, zu minus 2, also heißt das, dass das Minimum von minus 2, an der Stelle minus 3, erreicht wird.
06:20Und zum Schluss haben wir noch ein zweites Beispiel mit der gleichen Fragestellung, aber mit einer anderen Funktion.
06:26Drückt jetzt auf Pause, und versucht, es zuerst selber zu lösen.
06:33Der Parameter a ist kleiner als 0, also ist der Graph nach unten geöffnet.
06:39Wir haben also ein Maximum.
06:41Der Betrag von a ist größer als 1, also ist die Parabel enger, als die Normalparabel.
06:49Und der Scheitelpunkt hat die Koordinaten, 4, zu 3,5, also wird das Maximum von 3,5, an der Stelle 4, erreicht.
06:59Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
07:05Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.