Diskriminante einer quadratischen Gleichung bestimmen und anwenden

EducaNova

24.4.2025

Diskriminante einer quadratischen Gleichung bestimmen und anwenden
Was ist die Diskriminante und wie bestimmt man diese? Die Anzahl Lösungen einer quadratischen Gleichung ist abhängig von der Diskriminanten D.

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00:00Mithilfe der Diskriminante kann man bestimmen, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat.

00:07In diesem Video schauen wir uns an, wie man dabei vorgeht.

00:13Für den Einstieg schauen wir uns diese Beispielaufgabe an.

00:18Als erstes bestimmen wir die Definitionsmenge.

00:22Die Nenner dürfen nicht 0 sein.

00:24x kommt nur im zweiten Nenner vor, welcher 0 wird, wenn x gleich 4 ist.

00:31Also muss der Wert 4 aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden.

00:37Als nächstes multiplizieren wir die Gleichung mit dem Kgv der Nenner, das ist 4 mal 4 minus x.

00:45Der erste Bruch gibt multipliziert mit den Kgv x mal 4 minus x.

00:51Beim zweiten Bruch gibt es 4 mal x plus 4 und auf der rechten Seite haben wir 4x mal 4 minus x.

01:00Als nächstes rechnen wir die Klammern aus.

01:04Bei der ersten erhalten wir 4x minus x², bei der zweiten 4x plus 16 und auf der rechten Seite 16x minus 4x².

01:14Dann sortieren wir die Gleichung nach 0, indem wir die rechte Seite subtrahieren.

01:21Jetzt haben wir eine quadratische Gleichung in der allgemeinen Form, also können wir die Koeffizienten in die ABC-Formel einsetzen.

01:29Rechnen wir den Radikanten aus, das gibt minus 128.

01:41Weil der Radikant negativ ist, kann die Wurzel nicht gezogen werden.

01:47Diese Gleichung hat also keine Lösung.

01:49Anscheinend ist der Radikant der ABC-Formel dafür verantwortlich, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat.

01:59Der Radikant, also b², minus 4ac, nennt man Diskriminante.

02:06Schauen wir uns an ein paar Gleichungen an, welchen Einfluss die Diskriminante auf die Anzahl Lösungen hat.

02:12Von der ersten Gleichung, x², minus 6x, plus 5, gleich 0, setzen wir die Koeffizienten in die ABC-Formel ein.

02:23Wenn wir die Diskriminante ausrechnen, erhalten wir 16.

02:2816 ist positiv, also ist auch die Wurzel davon positiv.

02:34Durch das Plus-Minus haben wir zwei Lösungen.

02:36Nehmen wir eine andere Gleichung und setzen wieder die Koeffizienten in die ABC-Formel ein.

02:44Hier ergibt die Diskriminante 0.

02:47Die Wurzel von 0 bleibt 0.

02:51Ob wir Plus- oder Minus-0 rechnen, macht keinen Unterschied.

02:56Also haben wir nur eine Lösung.

02:59Nehmen wir noch eine letzte Gleichung und setzen wieder die Werte ein.

03:03Die Diskriminante ist minus 23, also eine negative Zahl, also können wir die Wurzel nicht ziehen, und wir haben keine Lösung.

03:14Die Diskriminante sagt uns also, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat.

03:20Machen wir eine kleine Übersicht.

03:24Ist die Diskriminante positiv, haben wir zwei verschiedene, reelle Lösungen.

03:28Ist die Diskriminante 0, haben wir nur eine Lösung.

03:34Und ist sie negativ, haben wir keine Lösung.

03:37Wie wir diese Eigenschaft nutzen können, schauen wir uns an ein paar Beispielen an.

03:44Bei dieser Aufgabe ist als erstes nur gefragt, wie groß die Anzahl der Lösungen ist.

03:50Mithilfe der Diskriminante kann die Anzahl der Lösungen bestimmt werden.

03:54Es reicht also, nur die Diskriminante zu berechnen.

04:00Setzen wir die Werte für a, b und c in die Diskriminante ein.

04:06a ist 1, b ist minus 17 und c ist minus 60.

04:12Rechnen wir die Diskriminante aus, das gibt 529.

04:16Die Diskriminante ist also größer als 0.

04:22Das heißt, die Gleichung hat zwei verschiedene, reelle Lösungen.

04:27Im zweiten Teil sollen wir die Lösungsmenge bestimmen.

04:31Da die Gleichung bereits nach 0 aufgelöst ist, können wir direkt die quadratische Auflösungsformel verwenden.

04:38Setzen wir die Zahlenwerte ein.

04:42Den Radikanten haben wir vorhin bereits ausgerechnet, also können wir den Wert direkt einsetzen.

04:48Die Wurzel aus 529 ist 23.

04:54Wenn wir beim Plus-Minus-Zeichen Plus einsetzen, erhalten wir 20, und wenn wir Minus einsetzen, erhalten wir Minus 3.

05:01Da es keine Einschränkungen bezüglich der Definitionsmenge gibt, besteht die Lösungsmenge aus den beiden Lösungen.

05:11Auch bei dieser Aufgabe ist nur die Anzahl Lösungen gefragt.

05:16Das heißt, wir können direkt die Werte in die Diskriminante einsetzen.

05:21a ist 6, b ist minus 19 und c ist 15.

05:27Ausgerechnet ergibt das 1.

05:291 ist positiv, also haben wir zwei verschiedene, reelle Lösungen.

05:36Und noch ein weiteres Beispiel, bei dem auch wieder nur die Anzahl der Lösungen gefragt ist.

05:43a ist 16, b ist 25 und c ist 10.

05:49Die Diskriminante gibt ausgerechnet minus 15.

05:53Minus 15 ist negativ, also haben wir keine Lösung.

05:59Bei dieser Aufgabe ist gefragt, wie der Parameter k gewählt werden muss, damit die Gleichung genau eine Lösung hat.

06:07Eine quadratische Gleichung hat genau eine Lösung, wenn die Diskriminante 0 ist.

06:12Also setzen wir die Diskriminante gleich 0.

06:17Setzen wir die Werte für a, b und c in die Diskriminante ein.

06:23a ist 3, b ist 9 und c ist k.

06:28Lösen wir die Gleichung nach k auf, indem wir als erstes 81 subtrahieren.

06:33Dann dividieren wir die Gleichung durch minus 12 und erhalten k gleich 6,75.

06:41Das heißt also, wenn wir bei der Gleichung für k den Wert 6,75 einsetzen, hat die Gleichung genau eine Lösung.

06:49Und noch ein letztes Beispiel, bei dem k im Koeffizienten des linearen Gliedes vorkommt.

06:56Setzen wir die Diskriminante wieder gleich 0.

07:01Setzen wir die Werte für a, b und c in die Diskriminante ein.

07:07a ist 1, b ist 2k und c ist 4.

07:12Dann addieren wir 16 und rechnen die Klammer aus.

07:16Und dann dividieren wir durch 4.

07:19Wir ziehen die Wurzel und sehen, dass k plus minus 2 ist.

07:24Es gibt also zwei verschiedene Werte, die k annehmen kann, damit die Gleichung genau eine Lösung hat.

07:33Mit diesem Video geht es weiter und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.

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