00:00Mengen spielen eine grundlegende Rolle in der Mathematik.
00:04In diesem Video befassen wir uns mit Grundbegriffen von Mengen sowie mit der expliziten und der impliziten Schreibweise.
00:14Beginnen wir mit der Definition von Mengen.
00:18Unter einer Menge versteht man eine Zusammenfassung von bestimmten, wohl unterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.
00:27Was bedeutet das?
00:31Mit wohl unterschiedenen Objekten ist gemeint, dass kein Objekt doppelt vorkommt.
00:38Veranschaulichen wir das an einem Beispiel.
00:41Wir haben hier eine Menge von Polygonen.
00:44Polygone sind Vielecke, also diese farbigen Objekte im Kreis, und der Kreis kennzeichnet das Ganze als Menge.
00:52Wir sehen, dass jedes Polygon sich von den anderen unterscheidet.
00:57Aber wie wird das Ganze nun mathematisch dargestellt?
01:02Mengen werden grundsätzlich mit Großbuchstaben dargestellt, in diesem Beispiel nehmen wir das große A.
01:10Danach folgt ein Gleichzeichen, gefolgt in den geschweiften Klammern die einzelnen Elemente.
01:16Hier sind das A, B, C, D und E.
01:20Die einzelnen Elemente werden mit einem Komma oder einem Semikolon unterteilt.
01:25Achtet darauf, dass bei der Verwendung eines Kommas eventuell nicht unterschieden werden kann, ob es sich um eine 2,4 oder um eine 2 und eine 4 handelt.
01:38Deshalb muss in diesem Fall das Semikolon verwendet werden.
01:41Bei Beispiel B sind die einzelnen Elemente die geraden Zahlen bis 20, also 2,4,6 und so weiter, bis 20.
01:52Wir sehen diese drei Punkte.
01:55Das ist das Auslasszeichen.
01:58Das darf nur verwendet werden, wenn die weitere Reihenfolge klar ist.
02:02Achtet darauf, dass jedes Element nur einmal vorkommt.
02:08Wenn ein Element mehrfach vorkommt, wie hier die 1, die 9 und die 16, werden diese nur einmal geschrieben.
02:16Dieses Zeichen steht für Element von, das heißt, das kleine a ist ein Element von der Menge Groß A.
02:23Das sehen wir oben im Beispiel.
02:25Ist dieses Zeichen durchgestrichen, bedeutet das, dass die 3, zum Beispiel kein Element von der Menge b, ist.
02:35Haben wir diese geschweiften Klammern ohne ein Element, so bedeutet das, dass es sich um eine leere Menge handelt.
02:42Achtung, die leere Menge entspricht hier nicht 0.
02:45Man kann sich das Ganze ein bisschen vorstellen wie bei einem Konto.
02:51Haben wir bei einem Kontostand die Zahl 0, dann heißt es einfach, dass wir kein Geld auf diesem Konto haben.
02:58Im Fall der leeren Menge bedeutet das dann, dass wir gar kein Konto haben.
03:04Die Zahlenmengen können in verschiedenen Varianten dargestellt werden.
03:09Da gibt es zum einen die explizite, das ist die aufzählende Form.
03:13Das bedeutet, dass jedes einzelne Element aufgeschrieben wird.
03:19Wenn also eine Menge aus den natürlichen Zahlen 1 bis 9 besteht, werden diese Zahlen alle einzeln, in geschweiften Klammern, aufgeschrieben.
03:29Auch wenn Auslassungszeichen verwendet werden, gilt es immer noch als explizite Form.
03:36Diese haben wir in den vorigen Beispielen gerade etwas genauer angesehen.
03:40Dann haben wir die implizite, beziehungsweise die beschreibende Form.
03:47Wir sehen hier ein Beispiel dazu.
03:50D ist gleich die geschweifte Klammer, gefolgt von einem X, und dann kommt ein senkrechter Strich.
03:57Nach diesem senkrechten Strich folgen dann die Eigenschaften, die das X besitzt.
04:02Machen wir ein Beispiel.
04:06Hierfür nehmen wir die Menge E, für die einzelnen Elemente, in diesem Fall jetzt X, gilt, dass X größer als minus 4 und kleiner als 3 ist.
04:17Das Ganze wird so dargestellt mit dem kleiner als Zeichen.
04:20Man liest, E, besteht aus X, wobei minus 4, kleiner als X, und X kleiner als 3, ist.
04:30In dieser Version sind eigentlich alle Zahlen mit inbegriffen.
04:35Das heißt auch, dass zum Beispiel die Zahl 2,3756 auch ein Element dieser Menge ist.
04:41Zum Schluss nehmen wir noch ein weiteres Beispiel, in dem wir eine Menge auf verschiedene Arten darstellen.
04:50E ist die Menge aller X, für die gilt.
04:53X ist eine natürliche Zahl, größer oder gleich 5, und kleiner als 10.
04:58In der expliziten, beziehungsweise aufzählender Form, würde das dann folgendermaßen aussehen.
05:07Die Elemente sind 5, 6, 7, 8, und 9.
05:12Dann in der impliziten, beziehungsweise beschreibenden Form, sieht das Ganze so aus,
05:18X ist ein Element von N, was für die natürlichen Zahlen steht.
05:22Dann folgt ein senkrechter Strich, gefolgt von den Eigenschaften.
05:26X ist größer oder gleich 5, und kleiner als 10.
05:32Zum Schluss sehen wir noch das Wenn-Diagramm.
05:36Der Kreis steht für die Menge I, und die einzelnen Elemente werden in den Kreis geschrieben.
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