00:00Zahlenmengen können endlich oder unendlich sein.
00:04In diesem Video befassen wir uns vor allem mit den unendlichen, grundlegenden Zahlenmengen,
00:09natürliche, ganze, rationale, reelle und komplexe Zahlen.
00:15Zum Schluss schauen wir uns noch an, wie diese Zahlenmengen zusammenhängen.
00:22Beginnen wir mit zwei Beispielen zu endlichen Zahlenmengen.
00:26Als erstes Beispiel nehmen wir die Menge aller Teiler, von 20.
00:3220 ist ohne Rest durch 1, 2, 4, 5, 10 und 20 teilbar.
00:40Das sind insgesamt sechs Zahlen, die wir in endlicher Zeit aufzählen können,
00:44also ist es eine endliche Zahlenmenge.
00:47Als nächstes Beispiel nehmen wir die Menge der natürlichen Zahlen, bis zu einer Billion.
00:52Wir haben zwar sehr viele Elemente, aber auch die sind in einer endlichen Zeit aufzählbar,
00:59auch wenn es sehr lange dauert.
01:02Kommen wir nun zu einem Beispiel einer unendlichen Zahlenmenge.
01:06Wir nehmen alle natürlichen, ungeraden Zahlen.
01:10Es gibt unendlich viele davon, also ist es nicht möglich, sie alle in einer endlichen Zeit aufzuzählen.
01:18Daher ist es eine unendliche Zahlenmenge.
01:20Kommen wir nun zur ersten, grundlegenden Zahlenmenge, die Menge der natürlichen Zahlen.
01:28Als Symbol verwenden wir das große N als Buchstabe mit Doppelstrich.
01:34Es sind alle Zahlen, die man vom einfachen Zählen kennt, also 1, 2, 3, 4 und so weiter.
01:40Es gibt auch Definitionen, die 0 zu den natürlichen Zahlen zählen.
01:47Wenn man 0 explizit zu den natürlichen Zahlen zählen will, dann schreibt man beim N eine 0 als Index.
01:55Das ist dann 0, 1, 2, 3, 4 und so weiter.
01:59Das Symbol, das wie ein Bogen nach unten aussieht, bedeutet vereint.
02:06Mit den natürlichen Zahlen stößt man an seine Grenzen, wenn man zum Beispiel 3, minus 5, rechnen will, denn das Ergebnis ist keine natürliche Zahl mehr.
02:15Um dieses Problem zu lösen, gibt es die ganzen Zahlen.
02:21Als Symbol verwenden wir das große Z als Buchstabe mit Doppelstrich.
02:27Wir beginnen bei Minus unendlich, kommen dann irgendwann zu Minus 2, Minus 1, 0, 1, 2 und so weiter.
02:35Es sind also alle natürlichen Zahlen, plus die natürlichen Zahlen mit einem Minus davor und 0.
02:43Das nächste Problem tritt auf, wenn wir zum Beispiel 3 durch 8 teilen wollen, denn das Ergebnis ist keine ganze Zahl.
02:52Wenn man eine ganze Zahl durch eine andere ganze Zahl teilt, gibt das einen Bruch.
02:57So ist 3 Achtel ein Bruch und ausgerechnet gibt das 0,375, das ist eine endliche Dezimalzahl, bzw. ein endlicher Dezimalbruch.
03:10Der Bruch, 2 Drittel, gibt als Dezimalzahl 0,666 und so weiter, also ist es eine periodische Dezimalzahl.
03:20Diese Zahl spricht man entweder als 0,6 periodisch oder als 0,6 unendlich aus.
03:27Solche Zahlen nennt man rationale Zahlen.
03:31Als Symbol verwenden wir das große Q als Buchstabe mit Doppelstrich.
03:37Die rationalen Zahlen kann man nicht aufzählen, also verwenden wir die implizite Darstellung.
03:44Diese liest man wie folgt.
03:45Die Menge der rationalen Zahlen sind alle x, die man darstellen kann, als Division von A geteilt durch B, wobei A und B ganze Zahlen sind und B nicht 0 sein darf.
03:59Das dachförmige Zeichen bedeutet dabei und
04:02Zahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können, nennt man irrational.
04:09Das sind zum Beispiel die Wurzel aus 2, die Kreiszahl Pi, oder minus die Wurzel aus 3.
04:17Werden die rationalen und die irrationalen Zahlen vereint, ergeben sie zusammen die Menge der reellen Zahlen.
04:23Das Symbol ist ein großes R mit Doppelstrich.
04:29Die letzte Erweiterung der Zahlenmengen gibt es aus dem Umstand, dass die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht reell ist.
04:38Wir sind dann im Bereich der komplexen Zahlen, die mit einem großen C mit Doppelstrich dargestellt werden.
04:44Komplex bedeutet in diesem Zusammenhang zusammengesetzt, und nicht etwa kompliziert.
04:51Diese Zahlen bestehen aus einem Realteil, und aus einem Imaginärteil, wobei die imaginäre Grundeinheit als die Wurzel von minus 1 definiert ist.
05:03Verschaffen wir uns zum Schluss einen Überblick über diese Zahlenmengen.
05:08Ganz innen haben wir die natürlichen Zahlen, wie 2, oder 119.
05:12Dann erweitern wir auf die ganzen Zahlen.
05:16Als Vertreter nehmen wir minus 1, minus 20, und 0.
05:22Beachtet, dass alle natürlichen Zahlen, automatisch auch ganze Zahlen sind.
05:28Mit der Erweiterung auf die rationalen Zahlen, nehmen wir minus 0,25, und ein Neuntel dazu.
05:35Dann erweitern wir noch auf die reellen Zahlen, da kommt die Kreiszahl Pi, und die Wurzel aus 5, dazu.
05:43Und zum Schluss für die komplexen Zahlen ergänzen wir noch i.
05:47Wir sehen also in dieser Übersicht, dass jede Zahl in den inneren Zahlenmengen, auch automatisch in allen Erweiterungen enthalten ist.
05:55Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
