00:00Oui, je sais, les résultats centrales sont tombés, mais je vais quand même corriger une question de ce sujet avec la somme infinie 1 plus 2 plus 3, etc. vaut moins 1 douzième.
00:09Et on attaque la question 12, montrer que pour tout k dans n et pour tout l dans n, la limite quand x tend vers 0 de 1 sur x puissance k intégrale de partie entière de k sur x fois x à k de psi l'im de t dt est égal à 0.
00:21Soit donc k et l des entiers naturels.
00:23On va majorer en valeur absolue cette quantité et déjà on va la réexprimer autrement à l'aide de la question 11,
00:28puisqu'on avait ceci ici, que psi l'im de t est égal à cette intégrale.
00:34Je la remplace donc ici.
00:36D'après l'inégalité triangulaire pour les intégrales, je fais rentrer les valeurs absolues dans l'intégrale.
00:41Et donc à l'intérieur de l'intégrale, j'ai valeur absolue de ça fois valeur absolue de ça.
00:44Et on rappelle que psi est une fonction c'infini à support compact et que son support est inclus dans 0k, c'est-à-dire qu'elle est nulle sur k plus l'infini.
00:52Mais vu qu'elle est c'infini, elle est en particulier continue, continue sur un compact, elle est bornée, donc son sup existé est fini.
00:59Et cela est vrai pour n'importe laquelle de ces dérivés qui est évidemment continue, puisque chacune de ces dérivés est dérivable vu qu'elle est c'infini.
01:05Je peux donc majorer ceci par ceci.
01:08Et donc j'ai plus que ceci dans l'intégrale.
01:10Et ici j'inverse les bornes, puisque t est inférieur à k, on a dt pour t variant entre ces deux valeurs-là.
01:16En réécrivant bien et en tenant compte du signe, j'ai plus que 1 sur x puissance k double intégrale de ceci fois la norme infinie de psi l plus k unième.
01:27Et donc là c'est du bête calcul intégral, un jeu primitif par rapport à s.
01:31Ce qui me donne ce crochet que j'évalue d'abord en k, k moins t, et puis je l'évalue moins en t.
01:36En t moins t ça fait 0, donc j'obtiens ça avec l'intégrale et le facteur devant.
01:42Et dans l'intégrale cette expression k moins t puissance k plus 1 sur k plus 1 factoriel.
01:47Parce qu'ici on était passé à k plus 1 en primitivant ici, puisqu'on était puissance k.
01:51Et de même jeu primitif par rapport à t, et j'obtiens cette expression entre ces deux bornes.
01:57Et ceci s'annule en k, donc j'ai moins moins ceci évalué en ceci.
02:01Ce qui me fait cette expression-là.
02:03Mais d'après la question 6, ce truc entre parenthèses, qui est positif d'ailleurs, est majoré par x.
02:08Donc je peux majorer tout ça à puissance k plus 2, par x puissance k plus 2, et donc je garde tous les autres facteurs positifs.
02:14Ce qui me dit finalement que mon intégrale est majorée par ceci.
02:18Je te laisse bien vérifier les étapes de calcul.
02:20Et donc j'ai un truc positif, donc plus grand que 0, qui est majoré par un truc qui tend vers 0.
02:25D'après le théorème d'encadrement, j'ai que la limite de mon truc en valeur absolue vaut 0,
02:29et donc la limite du truc en question vaut le même 0.
02:31Et ça, quel que soit k et l, dans n, check !
02:35Retenez bien ce genre de manipulation, c'est vraiment très caractéristique de l'analyse de savoir faire ça.
02:40Assurez-vous que vous savez reproduire ce genre de raisonnement.
02:43Voilà, si vous avez des questions, n'hésitez pas à les poser en commentaire.
