X-ENS Maths A PSI 2025Fonction, Dérivation et Convexité ⚡️ (Partie 2)

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00:00Correction de MATA version PSY édition 2025, partie 2.

00:04Si tu veux voir la partie 1, check dans la description ou sur mon profil.

00:07On attaque donc la partie convergence rapide sous des hypothèses fortes.

00:11Je te laisse lire l'introduction et je lis la question 3.

00:13Dans cette question seulement, on pose f de x est égal 1 demi de L de x carré pour tout x dans R,

00:18où L est strictement positif fixé.

00:20Montrez que xn plus 1 est égal à 1 moins to L xn,

00:24puis exprimez directement xn en fonction de x0 et n.

00:26Donc pour rappel, d'après l'énoncé, xn plus 1 est défini par cette relation.

00:30Sauf qu'ici, f est donné par cette expression et donc f' de x est donné par L x.

00:36Donc soit n en entier naturel, xn plus 1 est égal à xn moins to L xn,

00:40puisqu'on a to fois f' de xn, mais f' c'est l'application qui a x associé L x,

00:45et donc j'ai bien ici to L xn.

00:47Et en factorisant par xn, j'obtiens 1 moins to L, tout ça fois xn.

00:51Check, et on reconnaît une suite géométrique de raison 1 moins to L,

00:54ce qui nous donne cette expression pour tout n.

00:56Check.

00:57B, on suppose x0 différent de 0, justifie que xn converge vers 0 si et seulement si.

01:020 est inférieur strict à taux, inférieur strict à 2 sur L.

01:06x0 est différent de 0, donc si la raison est égale à 1, on ne peut pas converger vers 0.

01:11Or pour une suite géométrique, les seuls cas de convergence,

01:13c'est quand la raison est comprise entre moins 1 strict et 1 large,

01:17mais ici on veut convergence vers 0, donc on exclut 1.

01:19Et donc ceci converge vers 0 si et seulement si la raison est comprise strict entre moins 1 et 1.

01:25Ce qui équivaut à dire qu'on a cette inégalité qui devient celle-ci en retranchant 1 à tous les membres,

01:30et qui devient celle-ci en divisant par moins L, et donc en changeant le sens des inégalités.

01:34Check.

01:35Je te laisse lire la petite introduction à la question 4, et moi je lis la question.

01:38Justifier que f' de x moins alpha x est une fonction croissante de x dans R,

01:42en déduire que alpha est inférieur ou égal à L.

01:45D'après l'énoncé, f est alpha convexe avec alpha strictement positif, autrement dit g est convexe.

01:50Or g est une fonction dérivable en tant que somme de fonctions dérivales,

01:52puisque f est c1 et que la fonction qui a x associé moins 1 demi alpha x carré est évidemment dérivable.

01:58Donc on peut conclure d'après le cours que g' est croissante.

02:01Or g' est donnée par cette expression pour tout x dans R.

02:03Donc on a bien que la fonction via x associée à f' de x moins alpha x est croissante sur R.

02:08Et deuxième partie, on va déduire que alpha est inférieur ou égal à L,

02:11et bien j'ai que 0 est inférieur ou égal à 1,

02:13mais comme on vient de montrer que g' est croissante, j'ai que g' de 0 est inférieur ou égal à g' de 1,

02:18je remplace par les expressions, ça me fait donc f' de 0 inférieur ou égal à f' de 1 moins alpha,

02:23je remplace x par 0 puis par 1,

02:25je passe le alpha à gauche et le f' de 0 à droite,

02:28et j'obtiens que alpha est inférieur ou égal à f' de 1 moins f' de 0.

02:31Or d'après l'énoncé f' et L Lipschitzien,

02:34donc ceci c'est inférieur ou égal à L fois 1 moins 0,

02:37qui est égal à L, et donc j'ai bien que alpha est inférieur ou égal à L.

02:40Check.

02:41Question 5, montrer que f de x est supérieur ou égal à f de 0 plus f' de 0 x plus alpha x carré sur 2,

02:47pour tout x dans R, on déduire que f a de bien un minimiseur sur R.

02:50Donc g est convexe sur R,

02:51pour rappel, donc g est au-dessus de chacune de ces tangentes, d'après le cours.

02:56Or si on considère sa tangente en 0,

02:58elle a pour équation y est égal à g' de 0 facteur de x moins 0 plus g de 0,

03:03autrement dit, y est égal à f' de 0 x plus f de 0.

03:07Je remplace x par 0, j'ai bien que g' de 0 c'est f' de 0,

03:10et que g de 0 c'est f de 0.

03:12J'ai donc bien cette équation de tangente,

03:14et du coup j'ai que pour toute x dans R,

03:16g de x est supérieur ou égal à f' de 0 x plus f de 0.

03:19Et on remplace g par son expression,

03:21donc j'obtiens bien f de x moins 1 demi alpha x carré supérieur ou égal à tout ceci,

03:25et je dégage ceci en le faisant passer du côté droit,

03:28et j'obtiens finalement que pour toute x dans R,

03:30f de x est supérieur ou égal à f de 0 plus f' de 0 fois x plus alpha sur 2 x carré.

03:35Check.

03:36En déduire que f admet un minimiseur sur R.

03:39Et on peut noter que f est une fonction qui vérifie les conditions de la partie 1 dans le préliminaire.

03:43Non seulement elle est continue,

03:44mais en plus, ça limite en moins l'infini c'est plus l'infini,

03:47et sa limite en plus l'infini c'est plus l'infini.

03:49Pourquoi ?

03:50Eh bien déjà on précise que comme elle est c1, elle est bien évidemment continue.

03:53Et ensuite, par l'inégalité que je viens de montrer ici,

03:55je prends la limite de toute cette expression quand x tend vers moins l'infini,

03:59j'ai que tout ceci tend vers moins l'infini,

04:01je factorise par x carré,

04:02donc j'ai 0, 0,

04:04et donc j'ai un truc positif,

04:06et donc le x carré va tendre vers plus l'infini en moins l'infini,

04:09et donc d'après le théorème de comparaison,

04:11j'ai que la limite de f aussi,

04:13c'est plus l'infini en moins l'infini,

04:14et exactement le même raisonnement quand x tend vers plus l'infini.

04:17Donc la limite de f en plus ou moins l'infini est égale à plus l'infini,

04:20f est de plus continue sur r,

04:23donc d'après la question 1,

04:24f admet un minimiseur.

04:26Check !

04:26Question 6,

04:27Montrez que pour tout x, y dans r,

04:29alpha, valeur absolue de x moins y au carré,

04:31est inférieure ou égale à f prime de x moins f prime de y,

04:33tout ça fois x moins y.

04:35Soit donc x, y dans r, tel que y est inférieur ou égal à x.

04:37Pour rappel, g est convexe,

04:39et en plus g est dérivable.

04:40Donc g' est croissante.

04:42Et donc en appliquant g',

04:43j'ai g' de y inférieur ou égal à g' de x,

04:45et donc je remplace par les expressions,

04:47j'obtiens bien ceci.

04:48Et donc je fais passer le moins alpha x côté gauche

04:50et le f prime de y côté droit,

04:52et j'obtiens ceci.

04:53Et je multiplie par x moins y qui est positif,

04:55et donc qui préserve l'inégalité,

04:56j'obtiens bien l'inégalité voulue.

04:58Ici j'ai un carré,

04:59donc c'est pareil, j'ai des valeurs absolues.

05:01Et de même, on a ceci dans le cas où x est inférieur ou égal à y.

05:04Je te laisse vérifier qu'on obtient bien aussi l'inégalité voulue.

05:07Check !

05:07On attaque donc en écrivant x tilde moins y tilde en valeur absolue au carré,

05:30et donc je réécris les expressions en remplaçant ici.

05:33Et je rassemble x et y et moins taux f prime de x et taux f prime de y,

05:38ce qui me donne ceci.

05:40Et je peux enlever les valeurs absolues,

05:41puisque c'est au carré,

05:42donc ça me donne cette expression-là, au carré.

05:45J'utilise l'identité remarquable,

05:46donc j'ai le premier terme x moins y au carré,

05:48moins le double produit,

05:49donc moins 2 fois taux f prime de x moins f prime de y fois x moins y,

05:55plus taux carré f prime de x moins f prime de y au carré.

05:58Je vais un peu l'arranger,

06:00et donc je vais factoriser le terme de fin

06:02par moins taux f prime de x moins f prime de y x moins y,

06:07ce qui me donne dans le crochet ceci,

06:09puisque en distribuant,

06:10j'ai bien moins 2 taux f prime de x moins f prime de y,

06:13ce qui était ce truc-là,

06:15fois x moins y, pardon.

06:16Et en développant ça au moins ceci,

06:19j'ai bien moins et moins plus taux carré fois f prime de x moins f prime de y au carré,

06:24et les x moins y se simplifient.

06:26Et je précise ici que je le fais pour x différent de y,

06:28parce que quand x est égal à y,

06:30l'inégalité est évidente.

06:31Or, je sais que f prime de x moins f prime de y sur x moins y est inférieur ou égal à l.

06:36Pourquoi ?

06:37Parce que f prime est l lipsitienne.

06:39Et donc on a que valeur absolue de ça est inférieure ou égale à l fois valeur absolue de ça.

06:44Et donc le quotient des valeurs absolues est inférieur ou égal à l,

06:47mais le quotient des valeurs absolues,

06:48c'est la valeur absolue du quotient.

06:50Et pour rappel, f prime est croissante parce que f est convexe,

06:54et donc ce quotient-là est bien positif,

06:57puisque x moins y et f prime de x moins f de y sont de même signe.

07:01Donc je peux enlever les valeurs absolues,

07:02et j'ai bien que ceci est inférieur ou égal à l.

07:04Je fais passer le l côté gauche, ceci côté droit,

07:07je multiplie par taux et j'ajoute 2,

07:08et j'obtiens finalement cette inégalité-là,

07:11que je multiplie par moins taux f prime de x moins f prime de y fois x moins y.

07:15Encore une fois, ceci, vu que les deux facteurs sont de même signe,

07:19ça c'est positif, et avec le moins taux c'est négatif.

07:22Donc le terme qui était là, multiplié par ça, passe ici, en inférieur.

07:26Et on devient bien inférieur donc au terme multiplié par 2 moins taux l,

07:31qui était plus petit à la base.

07:32Sauf que d'après la question 6,

07:34tout ça, c'est inférieur ou égal à moins taux alpha x moins y au carré.

07:39Pourquoi ? Parce que ici, si je passe de l'autre côté,

07:41j'ai moins ça qui est inférieur à moins ça,

07:44et je multiplie des deux côtés par taux,

07:47et après je multiplie par 2 moins taux l,

07:50qui est positif d'après l'énoncé.

07:52Donc j'ai que ceci est supérieur à ceci,

07:55qui est supérieur à ceci,

07:57donc ça c'est supérieur à ça.

07:59Et donc en reprenant mon expression de valeur absolue de x tilde moins y tilde au carré,

08:03je majore tout le terme en moins patati patata,

08:06et j'obtiens la majorité suivante,

08:08valeur absolue de x moins y au carré,

08:09moins taux alpha x moins y au carré,

08:12facteur de 2 moins taux l.

08:14Je factorise par la valeur absolue de x moins y au carré,

08:16et j'obtiens bien l'inégalité voulue.

08:18Check !

08:19Question 8, on suppose que 0 est inférieur strict à taux,

08:22qui est inférieur strict à 2 sur l.

08:23Montrez que valeur absolue de xn moins x étoile

08:25est inférieur ou égal à rho puissance n,

08:27valeur absolue de x0 moins x étoile,

08:29où rho est une constante que l'on précisera,

08:31et telle que 0 est inférieur ou égal à rho inférieur strict à 1.

08:34L'inégalité est évidemment vraie quand n est égal à 0,

08:37et donc je pose n dans n étoile quelconque.

08:39On va utiliser l'inégalité précédente en posant x est égal à xn moins 1,

08:43et y est égal à x étoile.

08:45Pour rappel, x étoile tilde est égal à x étoile,

08:47puisque x étoile est un minimiseur,

08:50donc annule la dérivée,

08:51et donc le terme taux dérivé en x étoile vaut 0.

08:54J'ai donc que la valeur absolue de xn moins 1 tilde moins x étoile tilde au carré,

08:59qui est égale à la valeur absolue de xn moins x étoile en valeur absolue au carré,

09:05est inférieure donc à ceci fois le facteur d'après la question 7.

09:10Et comme j'ai pris n quelconque,

09:11je viens de prouver ceci pour toute n,

09:13et donc je réapplique la même chose ici pour n moins 1.

09:16Et après plusieurs applications,

09:17j'obtiens bien le facteur à la puissance n,

09:20et ceci, valeur absolue de x0 moins x étoile au carré.

09:23En prenant les racines carrées,

09:25j'ai donc que la valeur absolue de ceci est inférieure à ceci,

09:28et voici mon rho.

09:29Notez que ceci est bien positif,

09:30donc je peux en prendre la racine,

09:32car ceci est positif,

09:33on a un polynôme en taux,

09:35parce que si je prends le discriminant,

09:36il est négatif,

09:37et donc je suis du signe du coefficient dominant,

09:39qui ici est αL,

09:40qui est strictement positif.

09:42J'ai donc rho égal à ceci,

09:43et je peux noter que rho est inférieur strict à 1,

09:45car taux est inférieur strict à 2L d'après l'énoncé,

09:48et donc j'ai ceci supérieur strictement à 0,

09:50j'ai un produit de positif,

09:51je passe de l'autre côté et j'ajoute,

09:54et je prends la racine carrée,

09:55et j'ai bien que rho est inférieur strict à 1.

09:57Check pour cette deuxième partie,

09:58n'hésite pas si tu as des questions,

09:59à les poser en commentaire,

10:00bisous !

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