00:00On corrige tout de suite l'exercice 4 qui est tombé au bac de physique 2025, jour 2.
00:04Je te laisse lire l'énoncé et on attaque tout de suite avec la question 1.
00:08Donc graphiquement, au bout de combien de temps le chariot aura-t-il parcouru 15 mètres dans la zone de freinage ?
00:13On lit le ou les antécédents de 15 par la fonction, il n'y en a qu'un seul puisqu'elle est strictement monotone.
00:17On est ici et on voit que c'est à 2.
00:20Donc c'est 2 secondes.
00:21La longueur minimale prévue pour la zone de freinage, ça doit être une valeur qui majeure en fait toutes les images de la fonction.
00:27Et là, on peut par exemple prendre cette valeur-là au-dessus du trait en pointillé 21, 22, 23.
00:31Donc 23 mètres.
00:33Que vaut des primes de 4,7 ? Interprétez ce résultat dans le contexte de l'exercice.
00:36Il va simplement falloir lire le coefficient directeur de la tangente grand T, puisque c'est celle en grand A qui a pour abscisse 4,7.
00:43J'ai donc pris le point A ici.
00:45Et le deuxième point que j'ai nommé B ici, il est plus ou moins une intersection de quadrillage, même si ce n'est pas exactement ça.
00:50Mais bon, on s'en fiche, on ne peut pas être hyper précis.
00:52Ce qui me donne ceci, ce qui me donne ceci, ça, ça veut dire que le 90 se répète à l'infini.
00:57Et l'interprétation du résultat, alors je suis un peu mitigé.
00:59Si on connaît son cours de physique, on sait que la dérivée de la distance, c'est la vitesse.
01:03Donc là, c'est la vitesse instantanée au point d'abscisse 4,7.
01:06Donc la vitesse qu'on a à 4,7 secondes.
01:09Mais pas ouf cette question, parce qu'il y en a plein qui n'ont pas fait sphysique, les potos.
01:13Enfin bref, dites-moi ce que vous en pensez en commentaire.
01:15Check, check, check pour la partie A.
01:16Partie B, vas-y, tu peux lire l'énoncé et j'attaque avec la question 1A.
01:20On considère l'équation différentielle de ceci, déterminez les solutions de cet équatif.
01:24Là, c'est du cours, c'est les C exponentielle moins 0,6 T, C dans R.
01:29Check.
01:29Soit G, la fonction définie sur 0 plus infini par G de T est égale ceci.
01:33Vérifiez que la fonction G est une solution de E, l'équation E étant ici.
01:37Comme d'hab, je calcule le membre gauche avec G et je regarde si ça me donne le membre droit.
01:41Tout d'abord, G est dérivable en tant que produit de fonction dérivable.
01:44Et pour tout T dans 0 plus infini, G' de T est égale, donc règle de dérivation d'un produit.
01:48Je dérive le T et donc j'ai exponentielle de 0,6 T plus T fois la dérivée de l'exponentielle moins 0,6 T.
01:56Donc il y a bien le moins 0,6 qui descend en facteur.
01:59Et en factorisant, j'obtiens bien ceci.
02:01Et maintenant, je forme l'expression G' plus 0,6 G,
02:04puisque je dois checker si on vérifie cette équation, donc le membre de gauche, c'est bien ça.
02:07Et après, calcule, factorisation et simplification, 1 moins 0,6 T plus 0,6 T, ça fait bien 1,
02:12donc j'ai bien l'exponentielle de moins 0,6 T.
02:14Ce qui était bien ce que je devais trouver, donc G solution.
02:17Check.
02:18C'est en déduire les solutions de l'équation E sur 0 plus l'infini.
02:21On applique le principe de superposition, on a une solution particulière de E qui est G,
02:26et on prend les solutions homogènes.
02:28Et donc l'ensemble des solutions de l'équation E, c'est toutes les fonctions de cette forme,
02:32T associé C exponentielle moins 0,6 T plus T exponentielle moins 0,6 T, C dans R, on précise.
02:40Check.
02:40D, on déduire que pour toute réalité, dans l'intervalle, on a V de T est égal à ceci.
02:45On nous dit que V est une solution de l'équatif E, mais on vient de montrer que toutes les solutions de l'équatif E s'écrivent de cette façon.
02:51Donc, nécessairement, il existe une constante réelle telle que V de T de cette forme-là, pour tout T dans 0 plus l'infini.
02:56Mais l'énoncé nous disait que V0 est égal à 12.
02:59Donc, en remplaçant T par 0, j'ai ça qui dégage, j'ai un 0 ici, donc ça devient 1, donc j'ai C est égal à 12, puisque V0 est égal à 12,
03:06et donc j'ai que V de T est donné par cette expression.
03:09Après factorisation, bien sûr, check de A, montrer que pour toute réalité, V' de T est égal à ceci.
03:15V est dérivable sur 0 plus l'infini d'après l'énoncé, et pour tout T dans 0 plus l'infini, j'ai que V' de T, c'est égal à...
03:21J'applique la règle du produit, dérivé de ça fois ça, plus ça fois dérivé de ça.
03:25Ce qui fait 1 fois ça, moins 0,6 exponentielle de moins 0,6 T fois ça.
03:30Je factorise par exponentielle de moins 0,6 T, donc j'ai 1 moins 0,6 fois 12, qui fait 7,2.
03:371 moins 7,2 ça fait bien moins 6,2, et là j'ai un moins 0,6 fois T, qui apparaît bien ici.
03:43Et on trouve bien ce qu'il fallait. Check !
03:46En admettant que V de T est égal à cette expression, déterminer la limite de V en plus l'infini.
03:50Bon les frérots nous ont mâché le travail, on n'a que ceci tend vers 0, puisque dans l'exponentielle ça tend vers moins l'infini,
03:56donc par composition ça, ça tend vers 0 par produit 0, et par composition ceci, ça tend vers 0 d'après le théorème des croissances comparées.
04:040,6 T tend bien vers plus l'infini.
04:06Et par produit 0, 0 plus 0, pas la tête à toto, 0.
04:10Ce que j'ai bien indiqué ici. Check !
04:12Étudier petit c le sens de variation de V et dresser son tableau complet.
04:16Avec justification, donc on a que le signe dépend de cette expression-là, puisque ceci c'est strictement positif.
04:22Je résous l'équation de ceci est égal à 0, et j'obtiens que T va être égal à moins 31 sur 3, qui est strictement négatif.
04:28Mais comme on est sur 0 plus l'infini, du coup, on est du signe de cette expression affine, après la valeur moins 31 sur 3.
04:36Et comme le coefficient directeur de cette expression affine est négatif, on fait d'abord positif 0, négatif.
04:41Comme ça nous donne le signe de V', on a négatif ici, et donc on en conclut que V est strictement décroissante.
04:47Je mets l'image de 0 qui vaut 12, la limite en plus l'infini qui vaut 0. Check !
04:51Question D, montrez que l'équation V2t égale 1 admet une solution unique alpha dont on donnera une valeur approchée au dixième, enfin, le TVI en métropole.
04:58Donc on fait gaffe à bien valider les hypothèses. La fonction V est dérivable d'après l'énoncé, donc elle est continue sur R+,
05:03elle est strictement monotone décroissante d'après le tableau qu'on vient de faire à la question 2C.
05:07Et on a bien que 1 est dans l'intervalle 0, 12.
05:10Attention, rappelez-vous, c'est strictement décroissant, donc l'intervalle c'est 0, 12 et pas 12, 0.
05:14Donc d'après le théorème de la bijection, corollaire du TVI, c'est pareil, il existe une unique valeur de T dans 0 plus l'infini,
05:20tel que V2t est égal à 1. Et à la calculatrice, on trouve que c'est environ 4,7. Double check !
05:26Question 3, on fait du blabla et on demande quand est-ce que le système entre en action.
05:30D'après leur description, à partir du moment où on est inférieur ou égal à 1 mètre par seconde,
05:34ce qui d'après la question précédente arrive au bout de 4,7 secondes. Check !
05:38Partie C, tu peux lire l'énoncé, j'attaque avec la question 1, à l'aide d'une IPP, montrez que la distance vaut ceci.
05:43On choisit bien nos fonctions et on justifie qu'elles sont dérivables, ça c'est un polynôme, ça c'est une exponentielle,
05:48et à dérivée continue, sur 0 plus l'infini bien sûr. Et on écrit maintenant qui est U, qui est V', qui est U', etc.
05:55J'applique la règle LPET et je choisis de dériver le polynôme, donc U ça va être lui, et U' ça va donner 1,
06:01et donc je choisis de primitiver l'exponentielle, et donc j'ai V' ici, et j'ai donc ceci divisé par moins 0,6.
06:08Et donc D2t est égal à cette intégrale-là, qui d'après la formule d'intégration par partie,
06:12est égal à ce crochet moins l'intégrale, mais là j'ai un moins, donc le produit est négatif par l'inérité, je le sors,
06:18et donc j'ai ce crochet plus cette intégrale.
06:21Je calcule le crochet en T, donc je remplace X par T et X par T, j'ai bien 12 plus T ici,
06:27avec le moins 0,6 en bas et le T dans l'exponentielle, ce qui est ce terme,
06:30moins, avec le moins ça va faire plus, je remplace par 0, donc là 1, 0,12,
06:3512 sur 0,6, qui correspond à ceci, et je peux primitiver ça, puisque c'est juste une exponentielle,
06:41et simplement ce qui est dans la puissance en facteur de X, je le mets au dénominateur.
06:46Je multiplie par 10 en haut et en bas pour ne plus me retrouver avec des virgules,
06:49donc j'ai 6 et j'ai 120 plus 10T, et j'ai décalé le moins devant la fraction,
06:53même bail ici, et même bail, et puis après j'évalue en T et en 0.
06:57Là par contre, comme j'ai 0,6 au carré, pour avoir un 6 et un 6, j'ai multiplié par 100,
07:0210 fois 10 en bas, et donc 100 en haut.
07:04Ce qui fait 36 et j'ai le moins devant, attention le moins n'est pas dans le carré,
07:07puisque ici je n'avais pas de signe, et j'ai un signe qui est apparu là.
07:11Donc j'ai un moins ici, j'ai ceci, et j'ai l'évaluation en 0,
07:16avec le moins, la fonction appliquée en 0, donc avec ce moins ça me fait bien 1+,
07:201 sur 0,6 au carré, que je multiplie en bas par 100, ce qui me fait bien 100 sur 36.
07:25Je factorise par exponentielle tous les termes qui sont en exponentielle,
07:28donc j'ai exponentielle 2, moins 120 sur 6,
07:32ici, moins 10t sur 6, qui se simplifie en moins 5t sur 3 par 2,
07:37et moins 100 sur 36 ici.
07:40Il me reste 120 sur 6, plus 100 sur 36,
07:43120 sur 6 je simplifie par 2, ça me fait 60 sur 3,
07:46100 sur 36 je simplifie par 4, ça me fait 25 sur 9.
07:49Je multiplie par 3 ici, je mets au même dénominateur,
07:51180 plus 25, 205 sur 9.
07:54Je bidoue les calculs et je trouve bien ceci.
07:56ce qu'on voulait trouver.
07:57Check !
07:58On rappelle que le dispositif d'arrêt se déclenche,
08:00blablabla, déterminé selon ce modèle,
08:02une valeur approchée au centième de la distance parcourue par le chariot
08:04dans la zone de freinage avant le déclenchement de ce dispositif.
08:07Ça se déclenche quand la vitesse est inférieure ou égale à 1 mètre,
08:10ce qui arrive quand t est égal à alpha.
08:11Donc en fait, ce qu'on attend de nous, c'est de calculer d2alpha.
08:14Mais vu que v2alpha est égal à 1,
08:16en remplaçant par l'expression,
08:17j'ai que l'expression de v avec les t remplacées par d1alpha,
08:21ceci est égal à 1,
08:22et donc l'exponentiel de ceci est égal à 1 sur 12 plus alpha
08:26après avoir divisé par 12 plus alpha.
08:28Et donc je reprends mon expression de d2t
08:30et je remplace les t par d1alpha
08:33et ceci par 1 sur 12 plus alpha,
08:35ce qui donne ceci,
08:36avec ceci dans la parenthèse,
08:37plus 205 sur 9.
08:39Et à la calculatrice, je trouve approximativement ceci.
08:42Donc on parcourt à peu près 21 mètres
08:43avant le déclenchement du dispositif.
08:46Check !
08:46Voilà, n'hésite pas, si jamais tu as des questions,
08:48à les poser en commentaire.
08:49Et précise-moi quelle question a été le plus difficile pour toi.
