Calculs de sommes et télescopage.Poly H4 vers la Prépa BL Ex21.#somme #prepa #h4

AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥

Regardez Calculs de sommes et télescopage.Poly H4 vers la Prépa BL Ex21.#somme #prepa #h4 - AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥 sur Dailymotion

Transcript

00:00Le télescopage, c'est vraiment un truc qui vous intrigue de fou.

00:03Panique pas, on va expliquer ça avec certains calculs de somme de cet exercice 21 du poly-Henri IV pour la préparation à la prépa BL.

00:11Il faut être solide sur l'utilisation du symbole somme avec le sigma,

00:14et on va expliquer un petit peu certains points pour voir comment le télescopage peut en fait être super intuitif.

00:20On commence par la première somme.

00:21En fait, il y a deux façons de faire le télescopage.

00:24La manière intuitive, la première façon que l'on va présenter tout de suite,

00:27et la manière un petit peu plus formelle, qui va beaucoup plus vite et que l'on peut faire une fois qu'on maîtrise la manière intuitive.

00:33Si vous avez du mal avec les sommes et voir intuitivement ce qui se passe,

00:36je vous conseille de faire d'abord la première manière, la manière intuitive.

00:39Il va s'agir simplement de séparer les sommes et de les écrire explicitement avec les petits points pour voir ce qui se passe.

00:46Tout d'abord, cette somme de différence, c'est tout simplement la différence des sommes.

00:49Ça vient des propriétés du symbole sigma.

00:52Si vous voulez que je détaille ça plus dans une autre vidéo, bombardez les commentaires.

00:55Et maintenant, je vais écrire explicitement ce que signifient ces deux sommes.

00:59La première, ça veut dire que je prends cette expression, je remplace k par 1, je l'écris, je fais plus,

01:05je reprends l'expression, je remplace k par 2, je l'écris, je fais plus, et ainsi de suite jusqu'à n.

01:11Et donc la première somme va bien s'écrire comme si.

01:14Donc l'avantage de cette notation, vous le sentez ici, c'est tout simplement qu'on ne sait pas il y a combien de termes,

01:20et donc si je devais l'écrire pour une valeur de n en général comme ça, je suis obligé de mettre des petits points.

01:25Ces petits points, attention, ça ne signifie pas qu'on passe comme ça de 3 à n.

01:29On prend toutes les valeurs entre 3 et n.

01:32Donc si n est égal à 10, j'ai 3, après j'ai 4 plus 1 au carré, 5 plus 1 au carré, etc.

01:36jusqu'à 10 plus 1 au carré.

01:39Et je n'oublie pas la deuxième somme, qui me fait ceci en appliquant la même procédure avec le symbole sigma.

01:44J'ai fait les additions dans les parenthèses et j'obtiens bien ceci.

01:48Parfois, quand on a des petits points, ça peut être utile de mettre l'avant-dernier, voire l'avant-avant-dernier terme,

01:52comme je viens de le faire là et là.

01:54Et là, on voit beaucoup mieux ce qui se passe.

01:55J'ai 2 au carré, plus 3 au carré, plus 4 au carré, ta, ta, ta, n au carré, n plus 1 au carré.

02:00Et là, je vais retrancher, puisque le moins va se distribuer.

02:03Donc j'aurai un moins 1 carré, moins 2 carré, moins 3 carré, moins 4 carré, ta, ta, ta, ta, ta, ta,

02:09moins n moins 1 carré, qui apparaîtra ici, moins n carré.

02:15Et donc, je fais cette simplification.

02:17Je vois que les termes se simplifient deux à deux, puisque j'ai le moins qui se distribue,

02:20et j'ai mis des couleurs pour réparer ceux qui sont pareils.

02:23Je vois beaucoup de terminales qui sont en difficulté sur ça.

02:25S'il vous plaît, ayez la présence d'esprit de vous dire que dans ces petits points,

02:28virtuellement, il y a d'autres valeurs, même si vous ne les voyez pas.

02:32Vous voyez le 4 carré ici ?

02:33Il apparaît là, puisque j'ai 2 carré, puis 3 carré, puis 4 carré.

02:38Donc ne vous faites pas bolosser naïvement en pensant que les seules valeurs

02:41qui apparaissent ici dans le calcul, ce sont celles qui sont écrites.

02:44C'est ce que cachent les petits points.

02:45Et justement, on a inventé ce symbole pour éviter d'avoir utilisé des petits points

02:50et ne pas voir clairement ce qui se passe dans tout le calcul.

02:53Et là, j'ouvre bien les yeux et je regarde ce qui ne s'est pas simplifié.

02:56Et il me reste un n plus 1 carré, puisqu'ici je termine à n carré.

02:59Et j'ai le 1 carré qui ne s'est pas simplifié, puisqu'ici j'ai commencé à 2 carré.

03:03Et donc je me retrouve finalement avec n plus 1 carré moins 1,

03:05et donc ceci, si je réarrange.

03:08Donc cette somme-là est égale à ceci après télescopage,

03:12c'est-à-dire simplification de la plupart des termes.

03:15Ça, c'était la première méthode.

03:16Maintenant, deuxième méthode en restant formelle avec juste les symboles sigma.

03:20On va reprendre à partir de cette expression où j'ai séparé les sommes

03:23en faisant sortir le signe moins.

03:25Et en fait, comme je vois que les expressions sont presque similaires,

03:28mais décalées de plus simple,

03:29je vais faire ce qu'on appelle un changement de variable.

03:31C'est quelque chose que je peux faire dans une somme.

03:33Puisque rappelez-vous, le symbole sigma,

03:34c'est juste une procédure algorithmique

03:36qui vous dit quoi écrire pour sommer des trucs.

03:40Et donc, le changement de variable,

03:41c'est dire que je vais simplement légèrement changer

03:44la façon dont je procède pour sommer.

03:47Et au final, ça va donner la même somme.

03:48Notamment ici, au lieu d'avoir un k plus 1,

03:50je vais mettre un k' directement.

03:53Et donc, le changement de variable,

03:54la relation, c'est que k plus 1 est égal à k'.

03:56Donc, k' va être une nouvelle variable

03:58qui va varier dans la somme.

04:01On verra après de où à où.

04:03Et qui est reliée à k par cette relation-là.

04:06Maintenant, le but, c'est de trouver,

04:07ça va varier de où à où pour k'.

04:09Eh bien, il suffit de se concentrer sur k.

04:11k' c'est k plus 1.

04:13Et k, il commence à 1.

04:15Donc, quand k commence à 1,

04:17je remplace le k par 1.

04:181 plus 1.

04:19k' commence par 2.

04:21Et c'est cohérent, puisque k plus 1,

04:23quand k est 1, ça vaut 2.

04:25Donc, k' va bien commencer à k' égale 2.

04:29Et de même, quand k est égal à n,

04:32n plus 1 k',

04:33du coup, k' vaudra n plus 1.

04:35Et donc, ça serait écrit comme ça.

04:37Cette somme-là peut s'écrire comme ça.

04:39Et vous allez voir que c'est la même procédure.

04:41Quand je fais commencer k' à 2,

04:43je commence donc avec un 2 carré,

04:44puis 3, 3 carré, etc., jusqu'à n plus 1 carré.

04:48Ce qui équivaut exactement à faire k plus 1 carré avec k égale 1.

04:52Donc, j'ai 1 plus 1, 2 carré.

04:543 carré, je vais bien jusqu'à n plus 1 carré.

04:56Donc, un changement de variable,

04:58c'est ni plus ni moins qu'une façon de faire la procédure un peu différemment,

05:01mais pour la même somme.

05:03Et maintenant, ici, une petite subtilité

05:04qui est parfois assez difficile à comprendre pour les élèves.

05:07On parle de variable muette.

05:09k' est une variable muette,

05:11et k, c'est pareil.

05:11Qu'est-ce que ça signifie ?

05:13Ça signifie que cette somme-là,

05:15quand vous l'explicitez,

05:16il n'y a pas de k',

05:18parce que k' va prendre les valeurs 2, 3, machin.

05:20Donc ça, si vous écrivez vraiment ce que ça veut dire,

05:23il n'y a pas de k' qui apparaît dans l'expression.

05:26Pour rappel, ici,

05:27quand on a mis les expressions explicites,

05:28vous voyez qu'il n'y a pas de k.

05:30K, c'est juste un outil,

05:32un artifice qui vous dit

05:33comment procéder pour écrire l'expression.

05:36Donc, le k' ici,

05:37importe peu,

05:38quelle que soit la lettre que vous mettez,

05:40c'est une lettre qui n'existe que dans le symbole.

05:43Et c'est pourquoi on dit qu'elle est muette

05:44et qu'elle peut être remplacée par n'importe quelle autre lettre.

05:47Je vais remplacer par k

05:48pour voir facilement ce qui se passe

05:49avec l'autre somme où j'ai du k.

05:51Et je me retrouve avec cette différence-là.

05:53Et là, c'est beaucoup plus facile

05:54puisque j'ai la même expression avec des sommes.

05:57Il va juste falloir faire attention aux bornes.

05:59Donc, j'ai une somme qui va de 2n plus 1

06:00de exactement la même chose

06:02avec l'autre somme correspondante

06:04qui va, elle, de 1 à n.

06:06Là, on voit bien que ça va se simplifier,

06:07mais il faut faire attention aux bornes.

06:09C'est les bornes qui vont être pareilles,

06:10qui vont dégager.

06:12Et donc, il faut se demander

06:12quelles sont les bornes,

06:14les valeurs de k

06:15que j'ai en commun dans ces deux sommes.

06:17Eh bien là, je vais de 2 à n plus 1.

06:19Vous pouvez le faire sur un intervalle.

06:20Et là, je vais de 1 à n.

06:22Donc, ce qu'on a en commun,

06:23c'est de 2 à n.

06:25Donc, je vais découper cette somme

06:26ainsi que la deuxième.

06:28Et je n'oublie pas les termes que j'ai dégagés.

06:29Donc ici, je vais de 2 à n.

06:32Donc, j'ai k carré

06:33quand k vaut n plus 1,

06:35ce que j'ai mis ici.

06:36Et là, pareil, je vais de 2 à n.

06:37Donc, je n'oublie pas le moins

06:39quand k vaut 1,

06:40moins 1 carré,

06:41ce que j'ai mis ici.

06:42Et là, j'ai exactement la même chose.

06:45Donc, je peux dégager ça.

06:46Et j'obtiens bien la même chose

06:48que ce que j'avais trouvé avant,

06:49n plus 1 carré, moins 1.

06:51Alors là, j'ai bien détaillé et insisté.

06:53Donc, ça a l'air plus long.

06:53Mais le changement de variable,

06:54ça se fait quasi immédiatement.

06:56Et après, on remplace par la nouvelle variable.

06:58Et on voit ça très rapidement

06:59quand on est à l'aise avec les calculs.

07:01Donc, cette méthode-là,

07:02elle est plus rapide que l'autre.

07:04Il faut simplement être plus à l'aise

07:05avec les calculs.

07:06Deuxième partie,

07:07on pourra en déduire la somme de ceci.

07:09Et bien là, au lieu de séparer les sommes,

07:11je vais simplement développer

07:12à l'intérieur du symbole sigma.

07:14Et donc, j'obtiens ceci.

07:16Identité remarquable,

07:17k carré plus 2k plus 1, moins k carré.

07:19Je simplifie, ça me fait 2k plus 1 en somme.

07:22Et je peux séparer les sommes.

07:23La somme d'une somme,

07:25c'est la somme des sommes.

07:27Et donc, je peux factoriser par 2.

07:29J'ai 2 fois la somme des k

07:31plus la somme des 1.

07:33Ça, c'est le truc que je veux.

07:34Je l'appelle s.

07:35Et donc, j'ai 2s plus n.

07:36La somme des 1, je somme 1

07:38de 1 à n.

07:39Et bien, j'en ai combien des 1 ?

07:41J'ai 1 plus 1 plus 1, n fois 1.

07:431, 2, 3, 4, n.

07:45Et donc, ça me donne bien 2s plus n.

07:47Et cette différence de somme,

07:48on avait vu juste avant

07:49qu'elle vaut n plus 1 carré moins 1.

07:51Et donc, j'écris la relation.

07:53Donc, j'ai développé,

07:54ça fait n carré plus 2n.

07:56Et donc, je retranche le n,

07:57ça me fait n carré plus n.

07:58Je factorise par n,

07:59ça me fait n facteur de n plus 1.

08:00Je divise par 2.

08:01J'ai que la somme voulue

08:02vaut n fois n plus 1 sur 2.

08:05Check.

08:05Et donc, ça va vraiment être

08:06les mêmes stratégies

08:07pour ceci et ceci.

08:09Sauf qu'on aura plusieurs termes

08:10intermédiaires qui se réfèrent

08:11aux sommes que vous avez

08:12déjà calculées avant.

08:14Pour les 4 à 8,

08:15il s'agit simplement

08:15de transformer l'expression

08:17pour faire apparaître

08:18le télescopage.

08:18Par exemple, pour le 4,

08:20si on écrit la somme,

08:21on a que la somme des ln

08:22c'est égal à ceci

08:23en mettant au même dénominateur

08:25k sur k plus 1 sur k.

08:26Ça me fait bien

08:27k plus 1 sur k.

08:28Et en utilisant

08:29les propriétés du logarithme

08:30néperien,

08:31j'ai ln de k plus 1

08:32moins ln de k

08:33et on reconnaît la forme

08:34d'un truc

08:34que l'on peut télescoper.

08:36De même pour le 5,

08:37ici,

08:37il fait apparaître

08:38un genre de k plus 1

08:39avec cette expression-là

08:40et puis vous allez voir

08:41que c'est pareil.

08:42Et pareil,

08:43ceci peut se réécrire simplement.

08:44Alors, il y a la méthode

08:45des compositions

08:46en éléments simples

08:46mais elle n'est pas vue en terminale.

08:48Une astuce,

08:49ça peut être de faire

08:50plus k moins k.

08:51Vous avez 1 plus k sur ça

08:53moins k sur ça.

08:55Vous simplifiez

08:56et vous allez obtenir

08:56des fractions

08:57dont les sommes

08:58vont se télescoper.

08:59Pour cette même astuce,

09:01vous écrivez k

09:01comme étant

09:02k plus 1 moins 1

09:04et vous distribuez

09:05le k factoriel

09:06à k plus 1

09:06et à moins 1.

09:07Ça va faire un k plus 1

09:08fois k factoriel

09:09k plus 1 factoriel

09:10moins k factoriel

09:11télescopage.

09:13Et ici,

09:13vous multipliez

09:13par la quantité

09:14conjuguée du dénominateur

09:16et pareil,

09:16vous allez voir

09:17une expression

09:17qui se télescope bien.

09:19Allez, à toi de jouer.

09:20Donne-moi les valeurs

09:20de ces sommes

09:21que je n'ai pas calculées

09:22en commentaire.

09:22Bisous !

Catégorie

Transcription

Recommandations