- 26/07/2025
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00:00Ça va corriger ma 2-min-pont PC 2025, partie 2, et je te laisse checker les premières pages de l'énoncé pour voir un petit peu le contexte, et nous on commence avec la question 9.
00:10Il s'agit simplement de montrer que SPQ est égal à ln de 2 sur P quand PQ est dans l'ensemble E1, c'est-à-dire que P est égal à Q.
00:17Quand P est égal à Q, on a que cette somme partielle admet bien une limite quand elle est envers l'infini, je factorise par P, c'est du moins 1 puissance K sur K plus 1.
00:25Et d'après le critère des séries alternées, c'est le terme général d'une série convergente, c'est normalement ce qu'on a démontré dans le préliminaire.
00:33Donc on peut directement écrire, d'après ce qu'on a fait avant, que SPQ est la limite quand elle est envers plus l'infini de ceci, qui est égal à ceci après factorisation, qui vaut bien ln de 2 sur P, d'après la question 3 du préliminaire.
00:44On passe à la question 10. Pour tout couple PQ dans E2, montrer qu'il exige une conscience lambda dépendant de P et Q, que l'on déterminera tel qu'on est SPQ qui est égal à ceci.
00:54On rappelle que dans E2, on a PQ, P strictement inférieur à Q et P divise Q, ce qui signifie que Q s'écrit à un entier fois P.
01:03J'écris donc la somme partielle en question, je remplace Q par MP, je factorise par P, et donc j'ai ceci.
01:09Et comme ici j'ai la somme qui commence à partir de K est égal à 0 et que au dénominateur ça va me faire du M, je reconnais en fait le reste, quand on va prendre la limite en plus l'infini, d'une série moins 1 puissance K sur K.
01:22Donc il faut simplement que je réajuste les choses pour faire ressortir ce qu'il faut.
01:26Et donc le moins 1, vu que je veux 1 de plus que ça, je vais faire donc moins 1 puissance K plus M plus 1 sur K plus M.
01:33Et donc ça va me faire un moins 1 moins M moins 1, puisque la somme de tout ça fait bien K.
01:38Et je prends la limite quand on est envers plus l'infini de l'expression Phi PQ, donc ça va me donner ln de 2 moins les premiers termes de la somme.
01:44Donc on va aller bien jusqu'à M moins 1, puisque ici quand K est égal à 0, j'ai un M, donc je vais de M jusqu'à l'infini.
01:52On a montré que ça converge, on n'a pas besoin de s'embêter, donc j'ai bien de 1 jusqu'à M moins 1, et donc ln de 2 moins ceci.
01:58Et donc je peux montrer que le moins 1 puissance M moins 1 est égal à moins 1 puissance M moins 1.
02:04Pourquoi ? Parce que quand j'ai un négatif c'est un inverse, et pour le moins 1 ça ne choisirait rien, donc ça fait moins 1 puissance M plus 1.
02:09Et M plus 1 est de même parité que M moins 1, donc ça me fait tout simplement moins 1 puissance M moins 1.
02:15Et donc je vous retrouve avec cette expression-là, et en fait, donc là le moins 1 puissance lambda moins 1, G lambda est égal à M.
02:21Ce qui correspond bien à ce que je voulais trouver, je voulais le lambda ici et le lambda ici,
02:25et donc on avait même des petits indices sur ce que lambda devait être.
02:28Dans question 11, on veut montrer qu'il existe des constantes A0 jusqu'à B partiandière de P sur 2 moins 1,
02:34qui sont tous des nombres complexes, tels que F de X est égal à ceci, plus cette somme-là.
02:40Donc voici F de X, et PQ dans E3 signifie que P est strictement supérieur à Q,
02:45ce qui implique que P est strictement supérieur à Q moins 1,
02:49et donc vu que j'ai une fraction rationnelle à dénominateur qui a un degré strictement plus grand que le numérateur,
02:54je peux décomposer cette fraction rationnelle en éléments simples.
02:57Pour cela je vais factoriser le dénominateur, et j'ai deux cas, soit P est pair, soit P est impair,
03:02et donc dans le cas P est pair, on va se décomposer de cette forme-là,
03:05puisque moins 1 ne sera pas racine de 1 plus X puissance P,
03:09P est pair, moins 1 puissance 1 truc pair, ça va faire 1,
03:12donc le dénominateur ne s'annule pas en moins 1,
03:15et donc ici je sépare simplement en les produits des racines P et M de l'unité,
03:20et donc j'ai découpé le produit en 0 jusqu'à P moins 2,
03:23en partie entière de P moins 2, dans le cas pair ça fait P moins 2 moins 1,
03:27ce qui me fait bien P moins 2 terme, on va de 0 à truc moins 1,
03:31donc on a bien truc terme, fois, donc avec tout ça, et donc fois l'autre produit là,
03:38et donc j'ai bien P terme en tout, et donc j'ai bien les P racines,
03:42et donc j'ai bien X puissance P plus 1.
03:45Parce que pour rappel, tout polynôme à coefficient réel,
03:48qui admet des racines complexes, admet aussi son conjugué,
03:51qui est nécessairement une valeur complexe non réelle, et donc qui est distincte,
03:55et donc on peut séparer comme ça,
03:58donc on peut prendre les premières racines P et M de l'unité,
04:01et on sait que le reste des racines P et M de l'unité,
04:03ce sont les conjugués respectives de chacune d'entre elles.
04:06Et on fait pareil dans le cas P impaire, sauf qu'on met en facteur X plus 1,
04:10puisque là pour le coup, moins 1 est bien racine de ceci,
04:12moins 1 puissance P, moins 1 puissance 1 impaire, ça fait moins 1,
04:16plus 1 ça fait bien 0.
04:17Donc j'ai ce facteur là, et du coup j'ai le reste des facteurs,
04:21pareil, les racines P et M de l'unité, on va de 0 à P sur 2 en partie entière,
04:26moins 1, et donc des termes dans le produit, j'en ai bien partie entière de P sur 2,
04:31puisque là j'en ai partie entière de P sur 2, moins 1,
04:35et je démarre à 0, donc j'ai ça, moins ça, plus ça,
04:38donc j'en ai partie entière de P sur 2,
04:39et si on séparait les produits, on a deux fois partie entière de P sur 2,
04:43et donc on en a un là, et donc tout ça au total, ça nous fait bien P terme,
04:47et donc on a bien notre 1 plus x puissance P, avec chacune des racines qui apparaissent ici.
04:53Je te laisse montrer en commentaire que leurs conjugués,
04:55ce sont bien les racines P et M de l'unité restante,
04:58c'est-à-dire que si tu prends K au-dessus de ça,
05:01et bien tu vois que tu retrouves les conjugués de ces valeurs-là.
05:05Et donc en effectuant la décomposition en éléments simples sur C,
05:09j'ai tout simplement ceci sur x plus 1,
05:11ceci éventuellement égal à 0,
05:13et j'ai cette somme-là,
05:15où le bk' ici, qui apparaît comme coefficient,
05:17est égal en fait à bk bar.
05:19Pourquoi ? Parce qu'en voyant qu'en mettant au même dénominateur,
05:23avec le x moins une racine et le x moins son conjugué,
05:27on a nécessairement que bk' va être à bk bar,
05:30puisqu'il faut que le numérateur soit à coefficient réel,
05:33étant donné que le dénominateur sera un polynôme de degré 2
05:36à discriminant strictement négatif, à coefficient réel.
05:39Je te laisse faire les détails de cette preuve en commentaire.
05:41Et comme on le disait avant, α0 vaut 0 quand p est paire,
05:44et quand p est impaire, on a un coefficient α0 qui est non nul,
05:48et donc on va le réexprimer de cette façon-là,
05:50pour pouvoir être en accord avec la présentation de l'énoncé,
05:53mais peu importe, notre coefficient α0, c'est tout ça fois a0.
05:57Je crois qu'on est bon là, check, il est check d'avant.
06:00Et on peut passer à la question 12,
06:01calculer alors a0 dans les cas p impaire,
06:04et montrer que pour tout entier cas là-dedans,
06:07bk peut s'écrire de cette forme-là,
06:08où on l'a posé θk est égal à ceci.
06:10Si p est impaire,
06:12donc on multiplie la fraction rationnelle par x plus 1,
06:15et donc j'ai le reste de l'expression,
06:17après avoir simplifié par le facteur x plus 1.
06:20Donc j'ai un x plus 1 en haut,
06:22j'ai un x plus 1 qui est dans le polynôme dénominateur du bas,
06:25ça se simplifie, et il me reste bien ceci.
06:27Pourquoi ? Parce que d'après la formule géométrique,
06:29j'ai que ceci multiplié par x plus 1,
06:31c'est bien égal à 1 plus x puissance p.
06:34Et donc j'évalue cette expression en moins 1,
06:37ce qui va me donner donc alpha 0,
06:39puisque f de x multiplié par x plus 1,
06:41ça libère le alpha 0,
06:43et ça fait tout ceci fois x plus 1,
06:45et en évaluant en moins 1,
06:47tout ça, ça dégage,
06:48et donc ça me laisse juste le alpha 0.
06:50Donc alpha 0 vaut ceci en moins 1,
06:52ce qui me fait moins 1 puissance q moins 1,
06:54sur la somme,
06:55moins 1 puissance k,
06:56fois moins 1 puissance p moins 1,
06:58moins k,
06:58donc moins 1 puissance p moins 1.
07:00Je sors ceci du facteur,
07:02j'ai 1 que je somme de 0 à p moins 1,
07:04qui me fait p,
07:05et donc j'ai moins 1 puissance p moins q,
07:08sur p.
07:09Et donc dans le cas impaire,
07:10a0 vaut bien ceci.
07:12Check.
07:13Et on fait exactement la même mani
07:14pour trouver les coefficients
07:15qui correspondent à la fraction avec ceci.
07:19Et donc j'évalue l'expression en wpk,
07:21ce qui avec le facteur me dégage ceci,
07:23me libère juste le terme de la somme qu'il faut,
07:26et donc dégage tous les autres.
07:27Et donc je me retrouve avec wpk puissance q moins 1,
07:30sur la somme des wpk puissance k',
07:32fois wpk puissance p moins 1 moins k',
07:36puisque je reprécise que ici,
07:37j'ai utilisé la factorisation du polynôme 1 plus x puissance p
07:41en x moins wpk,
07:43et donc là j'applique la formule géométrique
07:45de factorisation du polynôme.
07:47Je me retrouve avec un wpk puissance p moins 1
07:49qui sort de la somme.
07:50Une somme de 1, de 0 à p moins 1,
07:52ça me fait bien un facteur p,
07:53donc j'ai wpk puissance q moins 1.
07:56Je me retrouve donc avec un wpk puissance q moins p sur p.
08:00Mais wpk est égal à ce truc-là,
08:02c'est les premières racines p et m de l'unité.
08:05On distribue q moins p,
08:07donc je me retrouve avec un moins p,
08:08donc ça va me faire, après la simplification du p en bas,
08:10un moins pi,
08:12et donc ici un moins i2kpi,
08:15ce qui va me faire un facteur exponentiel i2kpi,
08:18avec un moins, ce qui fait simplement 1,
08:20et un moins pi, ce qui me fait un facteur moins 1
08:22qui apparaît ici,
08:23et je distribue le q,
08:24et j'ai bien q sur ppi 1 plus 2k et le i devant.
08:30Check, c'est bien ce que je voulais.
08:32Pour rappel, si tu veux vérifier.
08:3313, en déduire la décomposition en éléments simples de f2x dans R2x,
08:37et donc on doit avoir cette égalité,
08:39avec k entre ces deux valeurs,
08:41fk2x qui donne ceci.
08:44Donc d'après les questions 11 et 12,
08:45j'ai que f2x s'écrit de cette forme-là,
08:47donc là j'ai bien mis les valeurs de bk et donc de bk bar.
08:51Je fais apparaître mon a0 ici,
08:54je mets ces deux fractions au même dénominateur,
08:56donc je multiplie ici par ça et ça par ceci,
08:59ce qui me fait donc ce polynôme fois ceci,
09:01et donc ce polynôme fois ceci,
09:03avec un moins entre les deux,
09:05et un moins aussi devant.
09:06Le produit des deux polynômes dénominateurs de degré 1,
09:09ça me donne ceci,
09:11et donc je reconnais la formule de l'air ici,
09:13et donc j'ai que ça, c'est le double du cosinus,
09:15de l'angle qui apparaît dans l'exponentiel ici,
09:18et donc j'ai bien x² moins ceci plus 1.
09:20Avec le x ici,
09:22et donc si on reprend la notation avec θk,
09:24ici on a bien moins deux cos θk fois X.
09:27Je te laisse bien vérifier la distribution du numérateur,
09:30que j'ai ceci,
09:31qui me donne bien ceci,
09:32qui me donne bien finalement ceci,
09:34après avoir rassemblé les termes en x,
09:35donc ça fois x,
09:37et ceci fois x,
09:38et les termes sans x,
09:39donc ça fois ça,
09:41et ceci fois ça.
09:42Et donc je me retrouve bien avec l'expression voulue ici.
09:45Check.
09:46On admet que les fk sont continus sur 0,1,
09:48et que pour k entre ces valeurs,
09:50on a que l'intégrale de fk est égale à cette expression.
09:53Non, non, non, on n'admet rien du tout,
09:54nous, on va le démontrer.
09:55On a que les fk sont continus sur 0,1,
09:58car cette application-là ne s'annule pas sur 0,1,
10:01pour tout cas dans n,
10:03k compris entre ces deux valeurs.
10:05Oui, rappelle-toi,
10:05ce polynôme,
10:06il se factorise en ceci fois ceci,
10:09et tu vois que les racines,
10:10ce sont des nombres complexes non réels.
10:12Donc en particulier, on ne s'annule pas sur 0,1.
10:14Et donc soit qu'un entier naturel,
10:16k compris entre 0 et partie entière de p sur 2,
10:18moins 1,
10:19on va calculer l'intégrale de cette expression,
10:21ce qui nous donne donc l'intégrale de ceci,
10:23d'après ce qu'on vient de faire juste avant,
10:25ce qui nous fait l'intégrale de ceci,
10:28et on va expliquer ce qui s'est passé pour arriver ici.
10:30Alors tout d'abord,
10:31on note qu'au dénominateur,
10:32on a cette expression,
10:34et on veut faire apparaître au numérateur
10:36la dérivée de ceci,
10:37pour primitiver un terme en ln.
10:39Mais la dérivée de ceci,
10:40c'est 2t moins 2 cos θ k.
10:44On a un cos q θ k fois t,
10:46donc on a quasiment un facteur 2t,
10:49il faudra juste mettre le 2 et puis factoriser.
10:52Et donc il nous faut le terme intermédiaire,
10:54donc le moins 2 cos θ k.
10:56Et donc vu que j'ai un facteur cos q θ k,
10:59je vais simplement introduire un cos q θ k
11:03fois moins 2 cos θ k.
11:06Je fais donc plus moins ce terme,
11:08et je mets moins ce terme avant,
11:10et plus ici,
11:11donc ça c'était la fin,
11:12c'est ce qui apparaît ici.
11:14Et j'ai cos q θ k t,
11:16moins cette expression-là,
11:18donc qui apparaît ici,
11:20et donc je fais apparaître un 2 ici,
11:21je divise par 2,
11:22et je factorise par cos q θ k.
11:25J'ai un cos q θ k ici en facteur,
11:27pareil, j'ai un cos q θ k,
11:30donc j'ai bien cos q θ k facteur de tout ça,
11:32avec le 2 ici,
11:34et un 2 au dénominateur pour simplifier.
11:36Et là, bingo,
11:37j'ai la dérivée au numérateur
11:38de l'expression du dénominateur,
11:40donc je peux primitiver ça,
11:42ça va être ln de ce truc-là.
11:44Et pour rappel,
11:44c'est bien défini,
11:45parce que ce polynôme
11:46est un coefficient réel
11:47à discriminant strictement négatif,
11:49puisque pour rappel,
11:50ses racines sont des nombres complexes
11:52non réels,
11:53et donc le polynôme
11:54est de signe du coefficient dominant,
11:55ici 1 positif sur tout r,
11:57et même strictement positif.
11:59Et donc avec le facteur que j'ai ici,
12:01ça me fait bien ceci,
12:02fois ce crochet.
12:03Ici, j'utilise la formule de Trigo
12:05pour séparer le q θ k
12:07et le – θ k,
12:09donc dans le cos,
12:10j'applique la formule de cosinus.
12:12Je me retrouve avec cos q θ k
12:13fois cos θ k,
12:16et donc vu que j'ai un moins
12:16qui sépare,
12:17j'ai un plus après les sinus
12:18des trucs respectifs,
12:19mais j'ai un moins devant,
12:21donc j'ai ça,
12:22moins la même chose qui se simplifie,
12:24et j'avais le plus du sinus,
12:25donc j'ai un moins devant le sinus
12:27qui me reste,
12:27et donc j'ai moins l'intégrale
12:29de tout ceci.
12:30Pour le crochet,
12:31aucun souci,
12:31j'évalue en 1 et en 0,
12:33donc en 0,
12:34t égale 0,
12:35t égale 0,
12:35ça me fait l'end de 1,
12:360,
12:36pas de problème,
12:37j'évalue en 1,
12:38et ça me donne cette expression-là,
12:40donc moins l'intégrale restante
12:42que je vais mettre sous cette forme,
12:44parce que, en fait,
12:44je regarde bien ici,
12:46ici, pardon,
12:47et je ne dépends que de t ici,
12:49donc ça,
12:49je peux le sortir,
12:51et là, en fait,
12:51je reconnais quelque chose
12:52qui va être sous une forme arrangeante.
12:54Pourquoi ?
12:54Parce que ici,
12:55j'ai t moins quelque chose au carré,
12:56moins quelque chose qui est un carré,
12:58parce que 1 moins cause carré,
12:59c'est sinus carré,
13:01et donc je vais factoriser par sinus carré,
13:03donc je vais avoir un sinus carré devant,
13:05et ça carré sur sinus carré,
13:07donc ça moins ça sur sinus,
13:09le tout au carré,
13:10ce qui me donne bien cette expression-là,
13:111, 1 ici,
13:121, 1 en haut,
13:13j'ai factorisé par tout ça devant.
13:15Après simplification de ceci,
13:17avec le sinus carré du bas,
13:19donc ça me fait bien un sinus ttk en bas seulement.
13:21Et on précise bien qu'on peut factoriser
13:23par le sinus ttk,
13:24puisque sinus ttk est différent de 0,
13:26pour que ce soit égal à 0,
13:27il faudrait que ttk soit un multiple de pi,
13:30ce qui n'est pas possible,
13:31vu que p est strictement plus grand que 2k plus 1.
13:34Rappelez-vous,
13:35k il est là-dedans,
13:36ça veut dire que k il est majoré
13:37par la partie entière de p sur 2 moins 1,
13:40et donc il est majoré par p sur 2 moins 1,
13:42et donc 2k plus 1 est majoré par 2 fois p sur 2 moins 2,
13:47et je rajoute 1,
13:49et donc j'ai que 2k plus 1,
13:50c'est majoré par p moins 1,
13:52et donc on a bien que p est strictement plus grand que 2k plus 1,
13:56et donc ceci,
13:562k plus 1 divisé par p,
13:58ça ne peut pas être un entier relatif.
14:00Mais en ayant mis cette forme-là,
14:01je reconnais un arc tangente,
14:03et donc je primitive en ceci,
14:05avec mon facteur sinus q ttk,
14:07qui était celui qui est ici,
14:09et je vérifie bien que la dérivée de ça,
14:11qui me fait sortir un 1 sur sinus ttk,
14:14qui est le facteur de t,
14:15va bien donner donc 1 sur sinus ttk,
14:18fois la dérivée de l'arc tangente en la quantité.
14:21Je transforme cette expression en utilisant la relation trigonométrique
14:25entre l'angle et l'angle moitié,
14:26et donc j'ai que 2 moins 2 cos ttk,
14:29c'est égal à ceci,
14:31parce que cos ttk est égal à 1 moins 2 sinus carré ttk,
14:35sur 2,
14:36et donc en réarrangeant,
14:38j'ai bien que ceci est égal à ceci,
14:40qui est en fait le carré de ceci,
14:42et de ce côté-là,
14:42j'évalue mon expression en 1 et 0,
14:44ce qui me donne donc cette égalité-là,
14:46j'ai fait sortir le carré du logarithme,
14:48et donc ça s'est simplifié avec le 2 du dénominateur,
14:52j'ai évalué le crochet en 1 moins l'évaluation du crochet en 0,
14:55donc j'ai arc tangente de 1 moins cos ttk sur sinus ttk,
14:58ce qui est le terme ici,
14:59moins arc tangente de 0 moins ceci,
15:01mais comme arc tangente est une fonction impaire,
15:03j'ai arc tangente de moins cos sur sin,
15:04qui fait sortir le moins,
15:06donc il me fait un plus arc tangente de cos ttk sur sin k.
15:09J'utilise la formule de duplication pour le numérateur,
15:13et la formule de duplication du sinus pour le dénominateur,
15:15et je transforme le 1 moins cos ttk en 2 sinus carré ttk sur 2,
15:20et le sinus ttk en 2 cos ttk sur 2 sinus ttk sur 2.
15:24Parce que pour rappel,
15:25on a cos ttk qui est égal à cos 2 ttk sur 2,
15:28donc cos ttk sur 2 plus ttk sur 2,
15:31et avec la duplication,
15:32j'ai que cos ttk est égal à 1 moins 2 sinus carré ttk sur 2,
15:38et en reversant la relation,
15:39j'obtiens bien ceci.
15:40Je simplifie les deux,
15:41je simplifie les sinus ttk sur 2,
15:43et il me reste un temps ttk sur 2.
15:46Mais ttk est supérieur à 0 strictement,
15:48et inférieur strictement à pi,
15:50ce qui implique que ttk sur 2 est bien dans cet intervalle,
15:54et donc ici on me retrouve avec du arctan tangente de ceci,
15:58arctan et tangente sont bien réciproques sur cet intervalle,
16:01ça me fait tout simplement ttk sur 2.
16:03Je me retrouve ici avec du arctan de cos ttk sur sinus ttk,
16:08et en fait on peut montrer que cette expression est égale à pi sur 2 moins ttk.
16:12Tu prends cette expression là,
16:14donc tu remplaces ttk par x,
16:15tu la dérives,
16:16et donc tu vas obtenir moins 1,
16:18ce qui veut dire qu'une primitive,
16:20donc cette expression est de la forme moins x plus une constante,
16:23tu l'évalues en une valeur bien choisie,
16:25tu vas voir cette constante est pi sur 2,
16:27et donc on a pi sur 2 moins x pour l'expression,
16:28et donc évalué en ttk,
16:30ça nous fait bien pi sur 2 moins ttk.
16:33Et donc j'ai tout ce que j'avais avant dans l'expression,
16:35qui me donne ceci, ceci,
16:36qui est égal à ceci,
16:38moins sinus qtk,
16:40pi sur 2 moins 2k plus 1 sur 2 fois pi sur p,
16:43ça c'est le moins ttk sur 2,
16:45qui vient de ttk sur 2 moins ttk,
16:48qui fait bien moins ttk sur 2,
16:50et en factorisant ici par pi sur 2p,
16:52je me retrouve donc avec un p ici,
16:55et donc pi sur 2p moins 2k plus 1 entre parenthèses,
16:58donc moins 2k moins 1,
17:00donc j'ai p moins 2k moins 1 avec le pi sur 2p,
17:04et le sinus qtk,
17:05qui était bien ici,
17:07et le terme qui était avant,
17:09et donc j'obtiens bien que mon expression intégrale est égale à ceci.
17:12Exactement comme le précise l'énoncé,
17:15check !
17:15Question 14,
17:16montrer maintenant que cette somme-là est égale à ceci,
17:19si p est paire et si p est impaire.
17:21Je vais évaluer l'expression de la question 13 en 0,
17:24c'est bien ça qui va me faire apparaître les termes que je veux,
17:27puisque moi je veux une somme de cos qtk,
17:30et donc ceci ça devient 0,
17:31donc ceci 1,
17:32et donc les fk évalués en 0,
17:34et bien ça ça dégage,
17:35ça ça dégage,
17:36ça ça dégage,
17:37donc ça devient moins cos q moins 1tk sur 1,
17:39ce qui me donne bien que f de 0 est égale à ceci,
17:43avec le plus devant la somme,
17:44puisque j'avais un moins juste ici,
17:47et donc je me retrouve avec ce moins-là,
17:48donc un plus.
17:49Mais rappelle-toi que f de x,
17:51c'est cette expression-là.
17:52Donc f de 0 vaut 0,
17:53et j'ai que 0 est égal à tout ceci.
17:56Autrement dit,
17:57si j'isole la somme,
17:58j'ai que cette somme-là,
18:00donc je déplace ça à côté gauche,
18:03je multiplie par p,
18:04je divise par 2,
18:05va être égal à tout ceci.
18:07Car en déplaçant ceci côté gauche de l'égalité,
18:10je prends un signe moins,
18:10donc je fais un moins 1 puissance q,
18:13et donc en multipliant par p,
18:15je simplifie le p qui est ici,
18:16et en divisant par 2,
18:17je mets un 4,
18:18ce qui est bien l'expression qui est donnée là.
18:20Et cette expression vaut bien 0 quand p est pair,
18:23et vaut ceci quand p est impaire.
18:25Pourquoi ?
18:25Parce que quand p est pair,
18:26moins 1 puissance p vaut 1,
18:281 moins 1, 0 fois ceci, 0.
18:30Et quand p est impaire,
18:32j'ai moins 1 puissance 1 impaire qui vaut moins 1,
18:35donc j'ai 1 moins moins 1,
18:36autrement dit,
18:371 plus 1, 2 sur 4, 1 demi,
18:39donc j'ai bien moins 1 puissance q sur 2.
18:42On obtient quasiment ce qu'il faut,
18:43sauf que là, on a un q moins 1,
18:45donc si on remplace q moins 1 par q prime,
18:47sachant que q est supérieur ou égal à 1,
18:49ça nous fait que q prime est supérieur ou égal à 0,
18:52et donc ici, j'ai bien un q prime plus 1,
18:55ce qui est bien la relation que j'ai ici.
18:57Mais étant donné que j'ai p qui est strictement supérieur à q,
19:00c'est les valeurs pour lesquelles j'ai démontré ces relations-là,
19:03et que q est strictement supérieur à q prime,
19:06ils sont écartés de 1,
19:07et bien en fait, je n'ai fait que les cas pour p et q prime,
19:10où p est strictement supérieur à q plus 1,
19:13donc là, je reviens du q,
19:14mais c'était le q prime d'avant.
19:16Donc, p est strictement supérieur à q plus 1,
19:19c'est OK,
19:19puisque la relation me donne bien ce qu'il faut.
19:22Maintenant, il faut que je traite un dernier cas,
19:23c'est si p est égal à q plus 1.
19:26Et donc, je reprends l'égalité,
19:27si p est égal à q plus 1,
19:29et donc ça me donne cette expression-là,
19:31et cette expression-là fait bien 0 et moins 1 puissance q sur 2,
19:36dans les cas paire et impaire respectivement.
19:38Pourquoi ?
19:39Parce que si p est paire,
19:41et bien on a que p est égal à q plus 1,
19:43et donc là, j'ai un truc paire dans le moins 1,
19:45ce qui me fait bien 0,
19:46et donc j'ai bien 0.
19:47Par contre, si p est impaire,
19:50p étant toujours égal à q plus 1,
19:52j'ai donc ici un truc impaire,
19:53donc j'ai un moins 1,
19:54donc j'ai un moins moins 1,
19:552 sur 4,
19:57ce qui me fait 1 demi,
19:58fois moins 1 puissance q,
20:01ce qui fait bien un moins 1 puissance q sur 2.
20:04On récapitule.
20:05Dans cette relation,
20:06j'ai remplacé q moins 1 par q prime.
20:09Donc, comme q moins 1 est supérieur ou égal à 0,
20:12vu que q est supérieur ou égal à 1,
20:14ça veut bien dire que q prime qui est q moins 1 est supérieur ou égal à 0,
20:18et donc la relation est bonne pour tous les q prime supérieurs ou égaux à 1,
20:21puisque c'est vrai pour tous les q prime supérieurs ou égaux à 0.
20:24Mais on se rappelle que toutes les relations avaient été démontrées pour p supérieurs strictes à q.
20:29C'était bien notre ensemble 3.
20:30Or, q c'est q prime plus 1,
20:33je renverse la relation,
20:34et donc j'ai que p est strictement supérieur à q prime plus 1.
20:38Et pour ne pas me traîner les q prime,
20:39je reviens avec des q,
20:40c'est pour ça que ici j'ai écrit p strictement supérieur à q plus 1.
20:45Et la relation d'avant nous donne bien uniquement ce cas-là,
20:48puisque p était strictement supérieur à q,
20:52qui lui-même valait q prime plus 1.
20:54Donc en revenant à q,
20:56c'est-à-dire que les q prime sont redevenus des q,
20:58et donc là j'ai bien la relation pour p strictement supérieur à q plus 1,
21:02avec q supérieur ou égal à 1,
21:04il me reste le cas où p est égal à q plus 1,
21:07puisque je veux p strictement supérieur à q.
21:10Et vu que p est strictement supérieur à q plus 1,
21:13et bien je n'ai pas le cas où p est égal à q plus 1,
21:15qui serait aussi strictement supérieur à q.
21:18Voilà pourquoi j'ai fait ce cas à part ici.
21:20Et donc à la fin,
21:21j'ai bien démontré que pour tout p strictement supérieur à q,
21:24strictement supérieur à 0,
21:25pq dans n étoiles,
21:27j'ai la relation de cette somme de cosinus qui vaut ceci.
21:30Check !
21:31Question 15, déduire des questions précédentes que pour tout pq dans E3,
21:35j'ai que spq est égal à toute cette somme-là.
21:38D'après la question 8,
21:40j'ai que spq est égal à cette intégrale.
21:43Je commence donc mon calcul,
21:44et j'utilise la question 13,
21:45où j'ai fait la décomposition en éléments simples de ceci,
21:48pour écrire que c'est l'intégrale de tout ceci.
21:51J'utilise la linéarité de l'intégrale,
21:53donc ici,
21:53je vais avoir ça qui sort,
21:55puisque ça ne dépend pas de t,
21:56l'intégrale de ceci,
21:57qui se primitive en ln de t plus 1,
21:59en 1, ln de 2, en 0,
22:01ln de 1, donc 0,
22:03moins 2 sur p l'intégrale du reste en échangeant avec la somme.
22:07Ce qui me fait bien le facteur fois ln de 2,
22:10moins 2 sur p somme de l'intégrale,
22:12par l'inéarité de l'intégrale,
22:13j'ai interverti le symbole somme et intégrale,
22:16l'intégrale de fk,
22:17qui d'après la remarque est égale à ceci.
22:21C'est dit ici,
22:21mais c'est ce qu'on s'est embêté à démontrer juste avant.
22:24Juste ici,
22:25j'utilise la propriété du logarithme
22:26pour séparer ln de 2 et ln de sinus,
22:29donc je vais me retrouver avec
22:30moins 2 sur p 7 somme fois ln de 2,
22:32et moins 2 sur p 7 somme,
22:34où j'ai ceci fois ln de sinus.
22:36Donc j'ai le premier terme avant,
22:38j'ai bien ceci avec le ln de 2,
22:40et le moins 2 sur p somme cosinus machin,
22:43ln de sinus θk sur 2.
22:45Et le dernier terme ici vient tout simplement
22:47de cette expression-là,
22:49j'ai moins 2p de la somme,
22:52de moins pi sur 2p de tout ceci.
22:55Donc ça me donne bien plus pi sur p carré
22:59de ce qui est dans la somme,
23:01c'est-à-dire cette expression fois ceci.
23:04Bien sûr, les deux ici et ici se sont simplifiés,
23:07ce qui fait qu'on a bien juste
23:08plus pi sur p carré,
23:10moins par moins plus.
23:12Mais d'après la question 14,
23:13la somme pour k variante de 0
23:14à ceci des cos q θk est égale à
23:170 si p est pair,
23:19ou ceci si p est impair.
23:20Si p est pair,
23:21et si j'ai un 1, 1 moins 1,
23:23donc ça, ça fait 0,
23:24et si p est pair, du coup,
23:25cette somme-là vaut 0,
23:27d'après ce qu'on vient de dire.
23:28Et donc j'ai bien 0 fois ln de 2,
23:29moins 0 fois ln de 2,
23:30qui me fait bien 0.
23:32Et si p est impair,
23:34ici j'ai un 2.
23:35Et donc avec le 2 qui simplifie,
23:37j'obtiens moins 1 puissance q moins 1 sur p,
23:40fois ln de 2.
23:41Et pareil, j'ai la somme ici,
23:43fois ln de 2,
23:44fois moins 2 sur p,
23:46qui va me faire donc ceci,
23:47fois moins 2 sur p,
23:48fois ln de 2,
23:49les deux vont simplifier,
23:50donc j'ai bien moins ceci sur p,
23:54fois ln de 2.
23:55Et le moins,
23:55ça me fait un moins 1 puissance q plus 2.
23:57q plus 2 est de même parité que q,
23:58donc moins 1 puissance q plus 2,
24:00ça me fait moins 1 puissance q.
24:01Donc j'ai bien un moins 1 puissance q sur p,
24:04fois ln de 2,
24:05qui va bien se simplifier avec celui-ci,
24:07puisque là j'ai un moins 1 puissance q moins 1,
24:09donc ils sont de signes opposés.
24:11Et je prends ce qui me reste dans la somme,
24:12en factorisant par 1 sur p,
24:14donc j'ai mis celui-ci devant,
24:16donc en factorisant par 1 sur p,
24:17j'ai bien pi sur p fois toute cette somme,
24:18moins 2 fois toute cette somme,
24:20j'avais un moins 2 sur p ici,
24:22ce qui est exactement la relation f3
24:23que je voulais démontrer.
24:25Check !
24:26Et enfin, question 16,
24:26on déduit les valeurs exactes de s21, s31.
24:29Donc p égale 2 et q est égal à 1,
24:32je remplace ce qu'il faut,
24:33je fais attention aux sommes,
24:34je vais jusqu'à la partie entière de p sur 2 moins 1,
24:38vu que p est égal à 2,
24:402 sur 2 ça fait 1,
24:41partie entière ça fait 1,
24:43donc à moins 1, 0,
24:44donc la somme va bien de 0 à 0 ici et ici,
24:46et je remplace k par les valeurs en fonction,
24:50juste après,
24:51je te laisse vérifier les calculs,
24:52ça me donne donc pi sur 4.
24:53Je fais la même chose après pour s31,
24:56p vaut 3,
24:57et donc pareil,
24:58la partie entière de p sur 2,
25:001,
25:00donc j'ai la partie entière de 1,5
25:02qui fait 1,
25:021 moins 1, 0,
25:03donc la somme va bien de 0 à 0,
25:05de ceci,
25:06et je remplace donc k juste par la valeur 0,
25:09pareil ici pour la deuxième somme,
25:11et je te laisse vérifier les calculs,
25:13je remplace,
25:13je ne me trompe pas dans les valeurs trigonométriques,
25:15et ça me donne ceci finalement.
25:17Voici donc les valeurs de s21 et s31,
25:20check !
25:21Alors c'était assez cardio,
25:22on ne va pas se mentir,
25:23je te laisse regarder la rédaction
25:24des différentes questions en mode prise de notes,
25:26et comme d'habitude,
25:27pose tes questions en commentaire
25:28si jamais quelque chose n'est pas clair.
25:30Bisous !
25:31Sous-titrage ST' 501,
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