Correction Sujet Mines Maths 1 filière PC/PSI 2025 - Question 1 à 5 - Polynômes Réciproques 🥝 - Vidéo Dailymotion

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00:00Correction de l'épreuve math 1-min 2025, filière PC et PSI.

00:04Regarde bien l'énoncé, on attaque avec la question 1, on a P, un polynôme à coefficient dans C de degré petit p,

00:11et on a AP différent de 0 vu qu'il est de degré p.

00:14Montrez que P est réciproque, si et seulement si pour tout entier K compris entre 0 et P,

00:18on a l'égalité A indice K est égale à A indice P moins K.

00:22Rappelons tout d'abord d'après l'énoncé qu'un polynôme réciproque vérifie ceci.

00:25Et donc je réécris l'expression de cette façon là,

00:27donc j'ai ceci, XP fois la somme des AK, X puissance moins K,

00:31puisque les ayants sur X puissance K deviennent des X puissance moins K.

00:34Ce qui me fait en faisant rentrer le X puissance P ceci,

00:37et je fais le changement de variable K' est égale P moins K.

00:40Et juste après je re-remplace K' par K, ce qui me donne cette somme.

00:44Donc faites bien attention aux indices, ici le P moins K est devenu un K',

00:48le K est bien devenu un P moins K',

00:51et donc les bornes vont bien de 0 à P, ça c'est inversé mais on remet dans le bon sens.

00:55Et après je remplace les K' par des K et j'obtiens bien ceci.

00:58Mais comme tout ceci c'est égal à P de X, j'ai cette égalité là.

01:01Et ça c'est tout simplement deux polynômes de degré P qui sont égaux,

01:05et par unicité de la décomposition dans la base canonique,

01:07j'ai que les coefficients sont égaux.

01:09Qui répond bien à la première question, check.

01:11Question 2, soit P, un polynôme écrit sous sa forme factorisée comme un fichier,

01:15on veut écrire sous forme factorisée X puissance P, P de 1 sur X,

01:18et montrer que si P est réciproque, alors,

01:20pour tout entier I entre 1 et D,

01:23lambda I est non nulle et 1 sur lambda I est racine de P avec la multiplicité MI.

01:27Je commence par écrire sous forme factorisée cette expression,

01:29et donc j'ai X puissance P fois l'expression factorisée de P en remplaçant X par 1 sur X,

01:34qui me donne ceci.

01:35Et là je note que comme cette expression ça correspond à la factorisation de P de 1 sur X,

01:41qui vient bien sûr à la base de celle de P,

01:43j'ai que la somme des MI pour I variant de 1 jusqu'à D est égale justement à P,

01:48puisque la somme des degrés de tous ces facteurs-là,

01:50ça fait le degré de P, qui est bien égal à petit P.

01:53Donc des facteurs dans ce produit, j'en ai exactement petit P.

01:56Et à chacun je leur distribue un X, vu que j'ai un X puissance P ici,

02:00ce qui me fait bien ceci.

02:01Donc notez que j'ai bien multiplié ceci par X,

02:04et donc j'obtiens bien 1 moins X lambda I puissance MI.

02:09Premier point, précisons que d'après la factorisation et les relations coefficients racines,

02:12on a que AP, le coefficient dominant,

02:14multiplié par moins lambda I puissance MI,

02:17est égal au dernier coefficient A0.

02:20Or AP est non nul, et donc A0 est non nul,

02:22puisque A0 est égal à AP d'après la question précédente.

02:25Mais là j'ai un produit de truc qui donne quelque chose de non nul,

02:28donc aucun des lambda I ne peut être égal à 0.

02:30Et vu que P est réciproque et qu'il est donc égal à ceci,

02:33il est donc aussi égal à cette factorisation-là,

02:35qui est une factorisation en polynôme de degré 1,

02:38qui indique donc les racines de chacun de ces polynômes,

02:40qui sont bien les 1 sur lambda I.

02:42Et la décomposition me dit très exactement

02:44que 1 sur lambda I est racine de P avec multiplicité MI.

02:49Check !

02:50Question 3, on a Q, un polynôme qui est antiréciproque,

02:52montré que si Q est antiréciproque,

02:541 est racine de Q,

02:55et il existe un polynôme P constant réciproque,

02:57tel que Q est égal à X moins 1 fois P.

03:00Tout d'abord, en remplaçant X par 1 dans la relation d'antiréciprocité,

03:04j'ai que Q de 1 est égal à moins Q 1 sur 1 est égal à moins Q de 1.

03:07Oui, on confond les polynômes et les fonctions polynomiales,

03:10ce qui est faisable quand on a des polynômes à coefficient

03:12dans un corps de caractéristique nulle,

03:14donc ici C.

03:15Et donc j'ai que Q de 1 est égal à son opposé,

03:17ce qui signifie que Q de 1 est égal à 0.

03:19Donc on n'a bien que 1 est racine du polynôme Q.

03:22Deuxième partie de la question,

03:23si P est égal à 1,

03:24alors on a que Q se factorise de cette façon,

03:26vu que 1 est racine.

03:28Et donc on a bien que le polynôme P est constant.

03:30Si P est supérieur ou égal à 2,

03:31on écrit Q comme X moins 1 fois P,

03:34vu que 1 est racine,

03:35je sais que je peux factoriser Q de cette façon.

03:37Et donc je vais évaluer cette expression

03:39en remplaçant Q par X moins 1 fois P.

03:42Ce qui me donne ceci,

03:43donc Q de 1 sur X,

03:45j'ai bien 1 sur X moins 1,

03:46donc il y avait un grand X moins 1,

03:48P de grand X,

03:49donc P de 1 sur X.

03:50Je distribue le moins dans la parenthèse,

03:52et j'obtiens X puissance P facteur de 1

03:54moins 1 sur X,

03:56P de 1 sur X.

03:57Et ici je découpe le X puissance P

03:58en X fois X puissance P moins 1.

04:01Je rappelle que P est supérieur ou égal à 2,

04:03ce qui me donne X puissance P moins 1 fois X moins 1,

04:05puisque j'ai distribué le X ici,

04:06X moins 1.

04:07Donc j'ai bien X moins 1 fois P de 1 sur X,

04:09ce qui est égal à ceci en réordonnant.

04:11Or Q est un polynôme anti-réciproque,

04:13donc toute cette expression-là

04:15qui vaut moins X puissance P fois Q de 1 sur X

04:17est en fait égale à Q de X,

04:19qui lui se factorisait pour rappel

04:21en X moins 1 fois P ici.

04:23Et donc en simplifiant par X moins 1,

04:24j'obtiens que P est égal à X puissance P moins 1

04:26fois P de 1 sur X,

04:27ce qui signifie bien que P est réciproque,

04:29puisque P est de degré P moins 1,

04:31puisqu'il est dans la factorisation de Q

04:33qui lui est de degré petit p.

04:35Et donc check pour ça aussi.

04:36Question 4,

04:37on a R qui vérifie la propriété affichée.

04:39Démontrer que le produit des racines de R

04:40compté avec multiplicité

04:41ne peut prendre que les valeurs 1 ou moins 1.

04:43On pourra remarquer que l'égalité

04:45A est égal à 1 sur 1

04:45n'a lieu que pour A égal à 1 ou moins 1.

04:47Et bien tout d'abord,

04:48notons que cette application

04:49est une bijection

04:50sur l'ensemble des racines de grand R.

04:52Elle est bien définie parce que A est non nul.

04:54Et pourquoi c'est une bijection ?

04:55Parce que sa composée avec elle-même

04:57fait l'identité.

04:58Donc son inverse selon la composition,

05:00c'est elle-même.

05:01Et donc vu qu'on a une bijection,

05:02le produit pris sur toutes les racines

05:04vaut le produit de tous les 1 sur A

05:06pris sur toutes les racines.

05:08Ce qui vaut 1 sur le produit

05:09pris sur toutes les racines,

05:10à chaque fois on les prend avec multiplicité.

05:12Donc elles sont répétées autant de fois

05:13qu'elles apparaissent

05:14dans la décomposition du polynôme grand R.

05:16Et donc d'après l'indication,

05:18j'ai que nécessairement,

05:18ce produit vaut plus ou moins 1.

05:20Puisque l'égalité A est égal à 1 sur A

05:22n'a lieu que lorsque A vaut 1 ou moins 1.

05:25Ça équivaut à dire que A carré est égal à 1.

05:27Check pour ceci.

05:28Question 5.

05:29Quand déduire que R est réciproque

05:30ou anti-réciproque ?

05:32Bien tout d'abord,

05:33j'ai créé la décomposition de Rx et de XP Rx.

05:35Pour XP Rx, je prends celle que j'ai faite avant.

05:37Et pour Rx, je prends la décomposition

05:39de l'énoncé qui était donnée à P.

05:41C'est X puissance P R de 1 sur X, pardon.

05:44Et donc dans son expression,

05:45je vais factoriser par lambda I puissance MI.

05:47Donc à l'intérieur, j'ai un lambda I puissance MI qui sort ici.

05:50Et je sépare les produits.

05:52J'ai un produit d'un produit.

05:54Ce qui me fait ce produit-là fois AP fois ce produit restant.

05:57Ici, j'ai un moins 1 puissance D

05:59puisque j'ai inversé l'ordre.

06:00Vu que là, on avait 1 sur lambda I moins X.

06:03Et qu'on se retrouve ici avec X moins 1 sur lambda I.

06:05Donc je factorise ceci par moins 1.

06:07Donc j'ai un moins 1 puissance MI qui sort.

06:10Et donc je sépare les produits des moins 1 puissance MI.

06:13Donc j'ai un produit de 1 à D de moins 1 puissance MI.

06:17Ce qui me fait moins 1 puissance la somme des MI.

06:18Ce qui me fait moins 1 puissance P, pardon.

06:21Mais d'après la biéjection que j'ai mis en évidence tout à l'heure,

06:23ici, je reconnais tout simplement avec le coefficient AP

06:26l'expression de mon polynôme P.

06:28Donc ça, c'est tout simplement AP fois le produit des racines

06:31avec les mêmes multiplicités de 1 à D.

06:33Et je balance devant le moins 1 puissance P

06:35fois le produit des racines puissance MI.

06:37Ce qui me fait tout ceci fois le polynôme Rx que j'ai reconnu.

06:41Et d'après la question précédente,

06:42ceci c'est plus ou moins 1.

06:43Et ceci c'est plus ou moins 1.

06:45Et donc j'ai bien plus ou moins Rx.

06:47Et j'ai bien la relation que Rx est égal plus ou moins

06:49x puissance P R de 1 sur X.

06:51Ce qui signifie bien que si R vérifie cette propriété,

06:54il est bien réciproque ou antiréciproque.

06:57Check final.

06:58Voilà pour les notes.

06:58Et encore une fois, n'hésite pas si jamais tu as des questions.

07:01Tu as le droit bien sûr de les poser en commentaire

07:03et de partager avec nous si ça s'est bien passé pour toi cette épreuve.

07:06Bisous !

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