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AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
  • 28/04/2025

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Personnes
Transcription
00:00Correction de centrales SUP-ELEC mathématiques 1 filière TSI 2025.
00:04Je fais une correction rapide des deux premières parties.
00:06Reste ici située en SPE et située en SUP, il y a beaucoup de questions instructives qui sont accessibles dès la SUP.
00:11Je laisse lire le blabla introductif et on passe à la question 1.
00:13Soit λ dans R, U dans Rn, V dans Rn.
00:16Montrez que la norme de λU est égale à la valeur absolue de λU fois norme de U, etc.
00:21Pour le premier, on revient simplement à la définition.
00:23Donc on a des λ² qui vont multiplier chacune des coordonnées.
00:26Et donc avec le carré, le λ sort avec une valeur absolue.
00:30Et donc j'aurai un valeur absolue de λ² qui sort de la racine,
00:34en donnant un valeur absolue de λ devant tout le reste, c'est tout simplement la norme de U.
00:37Pour la deuxième relation de norme de U plus V au carré,
00:39je fais simplement le produit scalaire de U plus V et U plus V,
00:42et je développe en utilisant les propriétés de bilinéarité du produit scalaire.
00:46Vidouillant bien, il y a un peu un calcul analogue avec les identités remarquables,
00:49et je me retrouve bien avec tout ceci. Check.
00:51Question 2, inégalité de cocher Schwartz CF court.
00:53Question 3, l'inégalité triangulaire.
00:55J'ai que ceci au carré est égal à ça d'après la première question,
00:58qui est égal à sa valeur absolue puisque c'est au carré,
01:00que je peux majorer par ceci, plus la valeur absolue de ceci, plus ceci.
01:04Chez Schwartz, j'ai un 2 fois norme de U fois norme de V qui majeure ce truc-là.
01:07Je suis majoré par norme de U² plus 2 norme de U norme de V plus norme de V².
01:12Je fais exactement norme de U plus norme de V, le tout au carré,
01:15et donc j'ai les carrés qui se majeurent, je passe à la racine, et j'ai bien ceci.
01:17La même partie de la question 4, on suit le conseil qu'il nous donne pour la décomposition.
01:21Pour décomposer, comme il le dit, j'ai norme de U qui est égal à ceci,
01:24et d'après l'inégalité triangulaire, c'est norme de U plus V plus norme de V,
01:27puisque j'ai la norme de moins V qui est égale à la norme de V d'après la question 1.
01:31J'ai le facteur moins 1 qui sort en valeur absolue, ça me fait un 1.
01:33En passant à la norme de V de l'autre côté de l'inégalité,
01:35j'ai bien norme de U moins norme de V qui est inférieure à norme de U plus V.
01:38Je refais la même et j'ai norme de V moins norme de U qui sera inférieure à norme de U plus norme de V,
01:42avec la deuxième indication qui est ici.
01:44Vu que j'ai un mec et son opposé qui sont tous les deux inférieurs à ça,
01:47j'ai bien que la valeur absolue du truc est inférieure à ça.
01:51Parce que l'un est positif, l'autre est négatif, peu importe lequel,
01:53mais les deux sont inférieurs à ça.
01:54Donc la valeur absolue, le positif, est inférieure à ça.
01:56Partie de question 5, on veut le signe de ces expressions, je te laisse lire la question.
02:00On a x étoile qui est plus grand que x1, donc au dénominateur c'est strictement négatif,
02:03au numérateur c'est positif puisque j'ai 2x étoiles et le minimum.
02:07Règle des signes, tout ça est négatif.
02:08Règle des signes, tout ça est positif.
02:10En haut, même bail.
02:11En bas, j'ai x2 qui est plus grand que x étoile, donc positif.
02:13Pour déduire, j'ai prime de x étoile est égal à 0, j'ai deux taux d'accroissement.
02:16Prendre la limite, donc quand x1 tend vers x étoile,
02:19tend vers x étoile par valeur inférieure,
02:20et x2 tend vers x étoile par valeur supérieure,
02:22vu que la fonction g est dérivable sur r, elle est dérivable en x étoile.
02:25Donc ces limites sont les mêmes.
02:26Ça c'est positif, donc la limite de ce truc-là est inférieure ou égale à 0,
02:29mais ça c'est négatif, donc la limite de ce truc-là est inférieure ou égale à 0,
02:32mais comme les limites sont les mêmes, on est forcément égal à 0.
02:34Check.
02:35Question 6, je te laisse lire la question,
02:36et on applique la question précédente en ces deux fonctions.
02:39Je tiens que les dérivés partiels en x et en y de f s'annulent bien en x étoile, y étoile.
02:43Vu qu'on est si un, on peut prendre ces limites-là,
02:45donc ça c'est la limite pour la première quand x tend vers x étoile,
02:47et ça quand y tend vers y étoile après avoir dérivé.
02:50Question 7, je te laisse vérifier que 0, 0 est un point critique,
02:53mais qu'en ce point on n'a pas de minimum.
02:54N'hésite pas si tu veux que je détaille quelque chose à poser tes questions en commentaire.
02:57Bisous !

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