Correction Exercice 1Sujet Bac Maths Centres Étrangers Jour 1 2025 - Probabilités 🎲 - Vidéo Dailymotion

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00:00On corrige le bac de maths tombé en centre étranger jour 1, j'ai dit que je ne ferais pas la correction du jour 2 tombé en Asie,

00:05mais que je pourrais voir, question par question, s'il y a eu des choses difficiles, donc n'hésitez pas à le dire en commentaire.

00:09Exercice 1, je te laisse lire l'énoncé, et donc moi j'attaque avec la question 1,

00:14construire un arbre pondéré représentant la situation puis déterminer P de T bar inter E.

00:17Donc voici l'arbre pondéré, on fait attention à bien prendre les données qui sont dans l'énoncé.

00:22Par exemple ici on nous dit que si un contrôle est déclenché, une fois sur 10 il est total,

00:26donc j'ai bien une fois sur 10 0,1 et 0,9 du coup partiel.

00:30Et en cas de contrôle total on a eu une erreur détectée dans 30% des cas,

00:34et en cas de contrôle partiel il n'y a pas d'erreur dans 85% des cas.

00:3830% des cas, pas d'erreur dans 85% des cas dans le cas partiel, voici donc l'arbre.

00:43Check, on passe à la probabilité de T bar inter E, c'est tout simplement ceci fois ça,

00:47c'est à dire P de E sachant T bar multiplié par P de T bar, et donc j'obtiens bien ceci, 0,135, check.

00:53Question 2, calculez la probabilité qu'une erreur soit détectée lors du contrôle.

00:57On veut la probabilité de E qui va être égale à ceci d'après la formule des probabilités totales,

01:02pourquoi ? Parce que T et T bar forment une partition de l'univers.

01:05Donc d'après les probes à total j'ai ceci, et ceci, je lis mon arbre,

01:10la probabilité de E inter T c'est ça fois ça,

01:13la probabilité de E inter T bar je l'avais déjà fait juste avant,

01:16et donc comme résultat final je trouve 0,165, check.

01:203 détermine la probabilité qu'un contrôle total ait été effectué,

01:23sachant qu'une erreur a été détectée, on veut arrondir au centième.

01:26L'événement réalisé au su, c'est ça, c'est E,

01:29et on veut calculer la probabilité de T sachant E.

01:31Donc on applique la définition,

01:33P de E inter T divisé par P de E,

01:36et j'ai calculé chacune des valeurs à la question précédente,

01:39donc ça me fait ceci, qui me fait ceci,

01:40qui s'arrondit environ à 0,18, check.

01:43Lié attentivement à l'énoncé de la partie B,

01:45et à la question 1, on nous dit,

01:46on admet que la variable X suit une loi binomiale précise ses paramètres.

01:49Il suffit d'être un temps, soit peu concentré,

01:51un 15 contrôle, P est égal à 0,165,

01:54et l'erreur donc c'est le succès de notre expérience de Bernoulli associée.

01:57Donc X suit une loi binomiale de paramètre 15, 0,165,

02:01N égale 15, P est égal à 0,165, check.

02:03Déterminez la probabilité qu'exactement 5 erreurs soient détectées,

02:06on veut arrondir au centième.

02:07Exactement 5 erreurs, c'est P de X égale 5,

02:09on applique la formule,

02:115 parmi 15, fois ceci, puissance 5,

02:13fois 1 moins ceci, puissance 15, moins 5, 10,

02:16et à la calculatrice, je trouve environ 0,06, check.

02:20Question 3, déterminez la probabilité qu'au moins une erreur soit détectée,

02:22on veut arrondir au centième.

02:24Au moins une erreur, c'est 1 ou plus,

02:26donc on essaye d'évaluer la probabilité que grand X soit super ou égal à 1,

02:30et l'événement grand X super ou égal à 1,

02:31c'est le complémentaire de l'événement X égale 0,

02:34donc ça, c'est 1 moins la probabilité de l'événement contraire, X égale 0,

02:38ce qui fait 1 moins ceci,

02:39j'applique la formule avec K égale 0,

02:410 parmi 15, ceci puissance K, 0,

02:43donc ceci puissance 1 moins K, donc 15.

02:450 parmi 15, si on revient aux formules des facturiels,

02:47ça fait toujours 1,

02:48truc puissance 0, ça fait 1,

02:50donc j'ai 1 moins 0,835 puissance 15,

02:53j'arrondis, ça me donne environ 0,93.

02:56Check.

02:57Question 4, on souhaite modifier le nombre de contrôles déclenchés par la caisse,

03:00de manière à ce que la probabilité qu'au moins une erreur soit détectée chaque jour soit supérieure à 99%,

03:05déterminer le nombre de contrôles que doit déclencher la caisse chaque jour,

03:09pour que cette contrainte soit respectée.

03:10Donc là, le paramètre N n'est plus égal à 15, mais juste à N,

03:14et donc on reprend la probabilité que X soit supérieure ou égale à 1,

03:18puisqu'on est toujours sur la proba qu'au moins une erreur soit détectée,

03:21ce qui vaut ceci, en appliquant exactement cette même formule,

03:24et on vaut que ceci soit supérieur à 0,99.

03:27Donc je retrends 0,99 des deux côtés, ça me fait 0,01 à gauche,

03:31je rajoute ceci, ça me fait ceci à droite,

03:33je prends le logarithme, par stricte croissance de la fonction logarithme,

03:36je suis toujours dans le même ordre, et j'ai la puissance qui descend devant le logarithme,

03:40je divise par LN de 0,835,

03:43attention, LN de 0,835 est strictement négatif,

03:47car ceci, c'est entre 0 et 1, et entre 0 et 1, logarithme est strictement négatif,

03:52et donc j'obtiens ce quotient inférieur ou égal à N,

03:56et ce quotient vaut environ 25,53,

03:59donc N est supérieur ou égal à 26,

04:01donc pour tous les entiers supérieurs ou égaux à 26,

04:03on respecte la contrainte de l'énoncé.

04:05Check.

04:06Je te laisse lire la partie C, et avec la question U que j'attaque,

04:09déterminer les valeurs exactes de l'espérance de la variance de la variable aléatoire X1.

04:12Binomial de paramètre 20, 0,165,

04:15donc l'espérance après le cours c'est N fois P,

04:17donc ça fait ceci, 3,3,

04:19la variance après le cours c'est N fois P fois A moins P,

04:21donc 20 fois ceci, fois ceci,

04:23ce qui fait 2,7555.

04:25Check et check.

04:26Deux, on définit la variable aléatoire S comme la somme de X1, X2, X3,

04:30calculer l'espérance et la variance.

04:32L'espérance de S est égale à la somme d'espérance d'après la propriété de linéarité de l'espérance,

04:37et donc c'est 3 fois ça, puisqu'elles suivent la même loi,

04:40et donc c'est égal à 9,9, 3 fois 3,3.

04:43La variance de S c'est la somme des variances,

04:45pourquoi ? Attention, parce que X1, X2, X3 sont indépendants.

04:48Il faut bien le préciser, la variance n'est pas linéaire.

04:51C'est égal à 3 fois la variance de X1,

04:53puisque X1, X2, X3 ont la même loi,

04:55donc la même variance,

04:56et donc c'est égal à ceci,

04:57j'ai fait ceci fois 3.

04:59Check et check.

05:003, pour cette question,

05:01on utilisera 10 comme valeur de l'espérance.

05:03A l'aide de l'inégalité de bien-aimé Tchévitchev,

05:05on est gentil, on vous le donne,

05:07montrez que la probabilité que le nombre au total d'erreurs sur la journée

05:10soit strictement compris entre 6 et 14

05:11est supérieur à 0,48.

05:14Concentrez-vous les potos,

05:15on veut la probabilité que S soit strictement compris entre 6 et 14.

05:18Cet événement-là, je vais le réexprimer,

05:21puisque c'est une inégalité,

05:22et l'inégalité, je peux la réécrire en retranchant 10 dans tous les membres.

05:26Ça me donne une autre inégalité équivalente,

05:28donc c'est le même événement,

05:29et donc c'est la même probabilité.

05:31J'ai retranché 10 là, là et là,

05:33donc j'ai S moins 10,

05:34supérieur strict à moins 4,

05:366 moins 4,

05:376 moins 10, pardon,

05:38moins 4,

05:38et 14 moins 10, 4.

05:40Mais dire qu'un truc est compris entre quelque chose de négatif

05:43et le même truc en positif,

05:45c'est dire que la valeur absolue du truc est plus petite que le truc positif.

05:49Donc valeur absolue de S moins 10 est plus petite que 4, strictement,

05:53et l'événement complémentaire de valeur absolue de S moins 10 plus petit que 4,

05:58c'est valeur absolue de S moins 10 supérieure ou égale à 4.

06:01Je passe donc à l'événement complémentaire,

06:03la proba de ce truc,

06:05c'est égal à 1 moins la proba de l'événement complémentaire,

06:08et donc ceci, c'est égal à ça.

06:09Et ce truc-là,

06:11c'est ce qui apparaît dans l'inégalité de Bien-aimé Chebyshev.

06:13Donc j'applique Bien-aimé Chebyshev à la VAS,

06:16là on suppose que c'est son espérance,

06:18d'après l'énoncé,

06:19et je l'applique en petit a où delta est égal à 4.

06:21Donc j'ai que cette probabilité,

06:24d'après Bien-aimé Chebyshev,

06:25est plus petite que la variance de S sur 4 au carré.

06:29Je multiplie par moins,

06:30donc j'ai que moins la proba est plus grande que moins la variance sur 4 au carré,

06:34et je rajoute 1,

06:34donc j'ai bien l'inégalité dans ce sens,

06:36que j'écris directement,

06:37mais faites les étapes à partir de Bien-aimé Chebyshev au prof.

06:40Vous faites ça, plus petite que la variance,

06:42vous multipliez par moins 1,

06:43l'inégalité change,

06:44et vous rajoutez 1,

06:45et vous obtenez bien ceci,

06:47qui est égal, pour rappel, à la proba qu'on veut,

06:50supérieur ou égal à 1 moins la variance sur 4 carré,

06:52c'est-à-dire ceci,

06:53c'est-à-dire ceci,

06:54et ceci, c'est supérieur à 0,48.

06:57Et c'est bien ce qu'on voulait démontrer,

06:58que c'est supérieur à 0,48.

07:00Check !

07:01Voilà, n'hésite pas si jamais tu as des questions,

07:03les poser en commentaire.

07:04Bisous !

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