Corrigé Exercice 3 Affirmations Suites et Fonctions Sujet Bac Métropole J2 2025 🥨

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00:00Exercice 3 du sujet de Bac tombé le jour 2 en métropole.

00:03Je suis sûr que tu t'es fait douiller à au moins une affirmation.

00:05On check ça tout de suite et balance ton score en commentaire à la fin de la vidéo.

00:08On doit bien évidemment justifier et on attaque avec l'affirmation 1.

00:12Est-ce que UN converge vers 5 tiers ?

00:15On vous voit les gens qui ont conclu vite parce qu'on a du 5 et du 3 ici.

00:18Ça ne marche pas comme ça la vie les poteaux.

00:20On factorise par 5 puissance n en haut et par 3 puissance n en bas.

00:23Et donc je rassemble les deux en une puissance qui me fait 5 tiers puissance n.

00:26Et donc j'ai 1 sur 5 puissance n, j'avais 1. J'ai 1. J'ai 2 sur 3 puissance n plus 1.

00:312 sur 3 puissance n plus 1. 1 sur 5 puissance n plus 1.

00:34Par quotient en haut, on tend vers 1. On tend vers 1 en bas.

00:37Et ceci, vu que c'est une suite géométrique de raisons strictement supérieures à 1 et de premier terme strictement positif,

00:43ça tend vers plus l'infini.

00:45Donc limite finale plus infinie par produit. Faux !

00:48Affirmation 2. On a la suite WN qui est définie de cette façon.

00:51Et on prétend que pour toute N antinaturelle, WN est supérieur ou égal à N.

00:56Comment faire pour s'en sortir et intuiter le résultat ?

00:59Parce qu'en regardant la tête de la suite, on n'a absolument aucune idée de si ça peut être vrai ou faux.

01:03Eh bien on calcule quelques termes pour se faire une intuition.

01:05Si on calcule W1, W2, W3, je te laisse le mettre en commentaire, moi j'ai la flemme de calculer,

01:09on se rendra compte que c'est vérifié.

01:11Du coup on va prouver par récurrence que c'est vrai.

01:13W 0 c'est égal à 0, c'est supérieur ou égal à 0, ok pour l'initialisation.

01:17Je ne rédige pas la récurrence, mais tu as des rédactions modèles sur mon profil,

01:20n'hésite pas à les checker.

01:21Donc par hypothèse de récurrence, j'ai que WN est plus grand que N,

01:24je multiplie par 3 puisque l'idée c'est de faire apparaître l'expression de WN plus 1,

01:28et je retranche moins 2N et je rajoute 3.

01:30Ce qui me donne ceci de l'autre côté, 3N moins 2N plus 3,

01:33ce qui fait N plus 3 et donc j'obtiens que WN plus 1 c'est ceci,

01:37est plus grand que N plus 3, mais ça c'est strictement plus grand que N plus 1.

01:40Ce qui est bien ce que je voulais démontrer, j'ai prouvé l'hérédité,

01:42donc c'est vrai, pas récurrence.

01:44Check ! Petite remarque, on a même que WN est strictement plus grand que N plus 1

01:47pour toute N dans N étoile.

01:49Je te laisse faire la récurrence pour t'entraîner BG.

01:51Je te laisse lire les informations sur la fonction,

01:53et on passe donc à l'affirmation 3.

01:55D'après le graphique, la fonction F est convexe sur son ensemble de définitions.

01:58Alors on pouvait s'amuser à essayer de regarder la courbure

02:01pour induiter si elle est convexe ou pas,

02:02mais on avait un point quand même qui nous le disait immédiatement.

02:05On est en dessous d'une tangente.

02:07Yep, grand T, c'est une tangente.

02:09Or, une fonction convexe est toujours au-dessus de ces tangentes

02:12sur l'ensemble où elle est convexe.

02:14Donc nécessairement, l'affirmation 3 est fausse

02:16puisque la courbe est en dessous d'une de ces tangentes.

02:19Et donc je te laisse checker la justification que j'ai mise en prise de note.

02:22Et enfin, 4 pour tout réel X strictement positif.

02:24LN de X moins X plus 1 est inférieur ou égal à 0

02:26où LN désigne le logarithme n'est pas rien.

02:29En fait, on est dans les mêmes bailles de convexité.

02:31Une comparaison entre une fonction et une fonction affine,

02:33c'est souvent une question de convexité qui se cache derrière.

02:36Mais je sais que la fonction est concave

02:37puisque ça, c'est strictement négatif sur R plus étoile.

02:40Et si je prends la tangente au poids d'abscisse 1,

02:41j'obtiens bien Y est égal à X moins 1.

02:44Par concavité, j'ai que LN de X est inférieur ou égal à X moins 1

02:47sur R plus étoile,

02:48soit que LN de X moins X plus 1

02:51est inférieur ou égal à 0.

02:52Autrement dit, l'affirmation 4 est vraie.

02:54Check !

02:55Voilà, n'hésite pas, si tu as des questions,

02:56à les poser en commentaire.

02:57Bisous !

02:58Et n'oublie pas de lâcher ton score en com.

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