00:02On corrige tout de suite l'exercice sur les suites pour le bac de maths 2025 tombé en Amérique du Nord, jour 1.
00:07Je te laisse checker l'énoncé et j'attaque avec la question 1, calculer le terme U1.
00:11Check pour U1, n'abusez pas les poteaux.
00:13Question 2, on a défini AN et on demande de calculer A0 et A1.
00:17Check et check.
00:19Question 2B démontrait que pour tout entier naturel N, AN plus 1 est égal 3N moins 1.
00:23Soit donc un entier naturel quelconque, AN plus 1 est égal UN plus 1 sur UN plus 1 moins 1.
00:29Par définition de AN.
00:30Or, UN vérifie cette relation de récurrence, c'est-à-dire que UN plus 1 est égal à 2UN plus 1 sur UN plus 2.
00:36Je remplace donc ici et au dénominateur, je mets au même dénominateur.
00:41Donc j'ai moins 1, je multiplie en haut et en bas par UN plus 2 le 1, ce qui me fait moins UN moins 2.
00:47Je ne me fais pas avoir, je distribue le moins.
00:49Sur UN plus 2, je mets sur la même fraction.
00:52Je simplifie ici et donc j'ai UN moins 1, 2UN moins UN UN, 1 moins 2 moins 1.
00:58Et cette fraction est divisée par celle-ci.
01:00Donc la fraction du haut est multipliée par l'inverse de celle-ci.
01:03J'ai un UN plus 2 qui passe en haut et un UN moins 1 en bas.
01:07Et les UN plus 2 se simplifient pour laisser place à cette expression.
01:10Ici, comme je veux du 3AN moins 1, ce que je peux faire, c'est calculer d'autre part 3AN moins 1
01:15et puis voir que c'est égal à ce que j'avais trouvé en mettant au même dénominateur.
01:18Et moi, je l'ai fait directement en anticipant l'expression.
01:22Donc je rajoute UN et je retranche UN, ça fait plus 0, donc effectivement ça marche.
01:26Je me retrouve ici avec un 3UN et un moins UN moins 1, puisqu'ici j'ai 1 moins UN.
01:34Ici, je factorise par moins, j'ai un moins devant UN moins 1, ce qui est bien ceci.
01:40Le tout sur UN moins 1, j'ai séparé les fractions.
01:42Simplification de celle-ci, ça me fait 1 et ça, ça me fait 3UN sur UN moins 1, ce qui est bien AN.
01:49Et donc j'ai bien ceci.
01:51Check.
01:52Question 2C, démontré par récurrence que pour tout entier naturel, N super ou égal à 1, AN est super ou égal à 3N moins 1.
01:58Je fais la rédaction de la récurrence à l'arrache, mais si tu veux la rédaction détaillée, va checker sur mon profil.
02:03Donc j'initialise à 1, pardon, je m'étais gouré, j'avais initialisé à 0.
02:06A1, ça vaut 5, qui est bien supérieur à 3 fois 1 moins 1, qui vaut 2.
02:11La propriété est initialisée pour N égale 1.
02:14L'hérédité, soit N un entier naturel tel que AN soit supérieur à 3N moins 1,
02:19montrons que AN plus 1 est supérieur à 3, facteur de N plus 1 moins 1, autrement dit 3N plus 3 moins 1, 3N moins 2, pardon.
02:27Par hypothèse de récurrence, j'ai que AN est supérieur ou égal à 3N moins 1.
02:30Je multiplie l'inégalité par 3 et j'ai que 3AN est supérieur ou égal à 3 fois ça.
02:34En distribuant, j'ai 9N moins 3.
02:37Et je retranche 1 pour avoir ceci.
02:39Or, je constate que 9N moins 4 est supérieur ou égal à 3N plus 2, car 6N est supérieur à 6.
02:45Et si je rajoute 3N des deux côtés, j'obtiens bien 9N supérieur ou égal à 3N plus 6.
02:50Et je retranche 4 et je retrouve cette inégalité.
02:53Les deux sont bien équivalentes quand N, bien sûr, est supérieur ou égal à 1.
02:56Et donc je reviens ici.
02:57Cette expression, c'est AN plus 1 qui est plus grand que 9N moins 4,
03:00qui lui-même est plus grand que 3N plus 2, qui est égal à 3N plus 1 moins 1.
03:05Check pour l'hérédité.
03:07Check pour l'initialisation.
03:09Check pour l'hérédité.
03:10On fait la belle rédaction de conclusion pour dire qu'on a montré par récurrence
03:13que la propriété est vraie pour toute N supérieur ou égal à 1.
03:16En vrai, elle est vraie à partir de 0, mais l'hérédité se montre facilement à partir de 1.
03:20Donc là, on a montré qu'elle est héréditaire à partir de 1.
03:232D, on déduire la limite de la suite AN.
03:27Après le théorème de comparaison des limites, on a que la limite de AN est égale à plus l'infini
03:31puisque la limite de 3N moins 1 quand N tend vers plus l'infini, c'est plus l'infini par addition et produire.
03:37N tend vers plus l'infini, fois 3 positif, plus l'infini, moins 1, tout ça, ça fait bien plus l'infini.
03:42Et comme AN est plus grand qu'un truc qui tend vers plus l'infini, le théorème de comparaison nous permet de conclure.
03:46Check pour ça.
03:473A démontrait que pour tout entier naturel N, UN est égal à AN sur AN moins 1.
03:52Soit N un entier naturel quelconque, AN est égal à UN sur UN moins 1.
03:57Je multiplie de part et d'autre par UN moins 1 et j'obtiens UN moins 1 fois AN.
04:01Donc j'ai multiplié ici, est égal à ceci fois UN moins 1.
04:05Donc j'ai simplification et j'ai bien UN tout seul.
04:07Je distribue le AN ici et donc j'ai UN fois AN moins AN est égal à UN.
04:12Et je retranche UN de chaque côté et j'ajoute AN de chaque côté.
04:16Donc celui-ci se retrouve ici en positif et celui-ci ici en négatif.
04:20Et je factorise ici par UN, ce qui me fait UN facteur de AN moins 1 est égal à AN.
04:26Et je divise par AN moins 1.
04:27AN est différent de 1 car c'est supérieur à 3N moins 1 qui lui-même est supérieur à 1 strictement.
04:33Et donc j'obtiens bien que UN est égal à AN divisé par AN moins 1.
04:37Check !
04:38En déduire la limite de la suite UN.
04:40Eh bien j'ai d'après ce que je viens de démontrer à la question précédente que UN est égal à AN sur AN moins 1.
04:45Et je vais donc factoriser en bas par AN parce que je vais reproduire la même idée que pour les quotients de polynôme en factorisant par le terme de plus haut degré.
04:53Donc ici il n'y a pas de notion de degré mais je factorise par le plus fort entre guillemets.
04:58Et donc j'ai AN en facteur ici qui va simplifier avec ce AN là.
05:01Et donc je me retrouve avec 1 sur 1 moins 1 sur AN.
05:04Or je sais que la limite de 1 sur AN c'est 0.
05:07Pourquoi ? Parce que d'après ce qu'on a fait avant, la limite de AN c'est plus l'infini.
05:11Et donc par quotient, j'ai que cette limite là donc est bien 0.
05:14Et je peux conclure que par quotient et addition, la limite de UN est égale à 1.
05:18Pourquoi ? Parce qu'au dénominateur 0 et donc là j'ai 1.
05:21Donc j'ai 1 en bas et par quotient 1 sur 1, 1.
05:25Check pour ça !
05:26Question 4, on introduit l'algorithme Python suivant et on admet qu'UN est décroissante
05:31à interpréter les valeurs de N et U renvoyées par la peine de la fonction algopée dans le contexte de l'exercice.
05:36Et bien tout simplement, ça va nous renvoyer la plus petite valeur de N pour laquelle UN est inférieur ou égal à 1 plus P.
05:43Pourquoi ? Parce qu'on démarre avec le premier terme 2 qui correspond en fait à U0 dans l'énoncé N égale à 0.
05:49Et tant qu'on est strictement plus grand que P, en fait on va incrémenter en transformant U en l'expression du terme suivant.
05:57Donc là je commence à 2, je vais prendre la valeur suivante et N prend N plus 1.
06:01Et je recommence ceci tant qu'on est plus grand que P.
06:04Donc on va faire ça, on va recommencer et donc U va prendre la valeur de UN plus 1 à chaque fois.
06:09Et N la valeur de N plus 1.
06:10Et on continue, on continue, on continue jusqu'à un moment où la condition ne sera plus vérifiée.
06:14Et on passera en dessous de P.
06:16Puisque la différence entre les deux va tendre vers 0 vu que U tend vers 1.
06:20Et donc on va retourner N et U, c'est-à-dire la première valeur de N pour laquelle U moins 1 est inférieur ou égal à P.
06:28Et le terme U correspondant.
06:29Donc check pour ça.
06:31Et enfin, donnée sans justifier, la valeur de N pour P est égale 0,001.
06:35A la calculatrice, j'obtiens que N égale 6 et que la valeur de U c'est U6 avec U6 qui est environ égal à ceci.
06:41Et on précise que U5 ça vaut environ ça.
06:44Et on a bien que U6 est inférieur à 1 plus P, donc 1,001.
06:48Par contre, on a que U5 est strictement plus grand que 1,001.
06:52Parce que U5 c'est 1,003 environ, enfin 2,7.
06:56Voilà, je te laisse regarder les réponses et n'hésite pas si jamais tu as des questions.
06:59Force à toi et si tu n'as pas encore passé le bac, profite-en pour bien te préparer.
