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AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
  • 29/05/2025

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Transcription
00:00Baccalauréat, Amérique du Nord, sujet 2, de ce cours, on corrige l'exercice 1, partie A.
00:05Tu peux lire l'énoncé, on attaque avec la question 1, déterminer les limites de la fonction f en moins et plus l'infini.
00:10On commence par moins l'infini, la limite de exponentielle moins x en moins l'infini c'est plus l'infini,
00:15puisqu'à l'intérieur de l'exponentielle ça tend vers plus l'infini, et par composition on a tout ça qui tend vers plus l'infini,
00:20la limite de x c'est moins l'infini, et donc par produit la limite de x exponentielle moins x c'est moins l'infini.
00:25Et par addition on a que cette limite est moins l'infini, puisque f de x c'est ceci, plus 2x, moins 1.
00:32Ok pour cette limite.
00:33En plus l'infini maintenant, cette limite là vaut 0 d'après le théorème des croissances comparées,
00:37et par composition, et cette limite là vaut plus l'infini, et donc par addition on a que la limite de f c'est plus l'infini en plus l'infini.
00:44Ok, on passe à la question 2.
00:46Pour tout réel x, calculez f' de x.
00:48L'énoncé nous dit que la fonction est deux fois dérivable, en particulier elle est dérivable,
00:51et pour toute x de R on a que f' de x est égale à ceci.
00:54Attention, vous ne faites pas avoir, règle de dérivation d'un produit, puis la dérivée de 2x c'est 2, moins 1 c'est 0.
00:59Check !
01:00Montrez que pour tout réel x, f seconde de x égale x moins 2 fois exponentielle de moins x.
01:04Même by, on sait qu'elle est deux fois dérivable, on n'a pas à justifier,
01:07et donc j'applique la règle de dérivation d'un produit, et j'obtiens ceci, qui me fait ceci, qui me fait ceci.
01:14J'appliquais la règle de dérivation de produit sur ce terme là.
01:16Check pour ça !
01:174, étudiez la convexité de f.
01:19f est deux fois dérivable, donc sa convexité est donnée par le signe de sa dérivée seconde,
01:23et donc ce signe là est lui-même donné par x moins 2,
01:26puisque l'exponentielle de moins x est strictement positive pour tout x dans r.
01:29Et donc on n'a que f est convexe sur 2 plus l'infini, puisque ceci est positif,
01:34concave sur moins l'infini 2, et on a un point d'inflexion en 2,
01:37puisqu'on a changement de signe en 2, juste avant et après.
01:425, étudiez les variations de f', dressez son tableau de variation en faisant apparaître la valeur exacte de l'extrémum.
01:47On vient de trouver le signe de f' seconde, on en déduit donc les variations de f',
01:52et donc négatif, on s'annule en 2, puis positif, donc décroissant, croissant pour f', attention.
01:59Et donc je calcule f' de 2 ici, je suis à la ligne de f', ça me fait bien ceci.
02:04Puisqu'en remplaçant ici par 2, j'ai exponentielle moins 2, moins 2 exponentielle de moins 2, plus 2.
02:10Donc j'ai bien 1, moins 2, moins 1 exponentielle de moins 2, plus 2.
02:14Check pour ces deux questions.
02:16Si sans déduire le signe de f' sur r, peut-je y sépire que f est strictement croissante sur r ?
02:20On a que 2 moins exponentielle de moins 2 est strictement positif,
02:23parce que 2 est plus grand que exponentielle de moins 2,
02:26parce que 2 exponentielle de 2 est plus grand que 1.
02:29Chacun d'entre eux est plus grand que 1.
02:31Et vu que cette valeur est le minimum de f', ça veut dire que toutes les f' de x sont supérieures ou égaux à ceci,
02:36et donc sont tous strictement positifs.
02:38Donc on en déduit le signe et les variations de f en mettant les limites.
02:42Check !
02:43C'est de justifier qu'il existe un unique réel alpha tel que f de alpha égale 0 et encadré alpha.
02:48f est continue parce qu'elle est dérivable d'après l'énoncé,
02:50elle est strictement monotone, strictement croissante d'après la question 6,
02:54et sa limite en moins l'infini c'est moins l'infini,
02:56sa limite en plus l'infini plus l'infini,
02:58et 0 appartient bien à l'intervalle.
02:59On peut donc conclure d'après le théorème de la bijection
03:02que f de x égale 0 admet une unique solution dans moins l'infini plus l'infini,
03:06et après à la calculatrice on trouve cet encadrement,
03:09donc vous allez dans votre calculatrice,
03:11vous mettez l'expression de la fonction f,
03:13vous faites un tableau de valeur avec un pas 0,01 qui est la précision demandée,
03:18et donc vous allez voir à quel moment est-ce qu'on passe de négatif à positif,
03:23puisqu'ici on veut la valeur qui annule,
03:25et vous allez constater que c'est de 0,37 à 0,38.
03:29Check pour ceci.
03:29Question 8, on considère la droite delta d'équation y est égale 2x moins 1,
03:34on veut étudier la position relative entre la courbe cf et delta.
03:37C'est une question qui met énormément d'élèves en PLS,
03:39pourtant elle est très facile,
03:40il suffit simplement d'étudier le signe de la différence entre les deux expressions.
03:44Et cette différence vaut simplement x exponentielle de moins x,
03:48qui est du signe de x sur r,
03:50donc négatif, s'annule en 0,
03:52et positif sur 0 plus l'infini.
03:54Donc sur moins l'infini 0, on a cf au-dessus de delta,
03:57puisque f de x est inférieur à 2x moins 1,
04:00puisque ceci est négatif,
04:02et sur 0 plus l'infini, cf est au-dessus de delta,
04:05puisque f de x est supérieur à 2x moins 1,
04:07puisque ceci est positif,
04:09et on a un point d'intersection en abscisse 0.
04:12Donc retenez bien ça,
04:14étudier les positions relatives,
04:15c'est ni plus ni moins qu'étudier le signe de la différence des deux fonctions.
04:19Check pour ça et ça.
04:20Rendez-vous dans la prochaine vidéo pour la partie B,
04:22n'hésite pas à poser tes questions en commentaire si jamais tu en as.
04:25Bisous !

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