Passer au player
Passer au contenu principal
Passer au pied de page
Rechercher
Se connecter
Regarder en plein écran
Like
Commentaires
Favori
Partager
Ajouter à la playlist
Signaler
Caractérisation d'un sous groupe H.#algebra #algebre
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
Suivre
02/07/2025
Catégorie
✨
Personnes
Transcription
Afficher la transcription complète de la vidéo
00:00
Aujourd'hui, ton toit algébrique explique cette propriété sur la caractérisation des sous-groupes.
00:04
Elle n'est pas nécessairement évidente à première vue, mais quand on regarde de plus près la démonstration,
00:08
on comprend pourquoi on a cette équivalence.
00:10
On va donc faire la preuve de ce résultat et l'explication intuitive qui explique pourquoi ceci, c'est équivalent à ceci.
00:17
Tout d'abord, on pose bien les choses. On a que G est un groupe que l'on a noté multiplicativement.
00:23
H, c'est un sous-ensemble de G.
00:24
Être un sous-groupe, d'après le cours, ça signifie que H, si on prend la loi de G en restriction à H,
00:31
c'est-à-dire que H muni de cette loi-là, qui est la restriction, a aussi une structure de groupe.
00:37
Donc formellement, il faudrait prendre H muni de cette loi et vérifier tous les axiomes de groupe.
00:41
C'est-à-dire ceci, l'associativité, l'existence d'un neutre et l'existence d'un inverse pour tout élément.
00:46
En plus du fait, bien sûr, que la loi soit une loi de composition interne,
00:49
c'est-à-dire qu'il prend deux éléments de H et renvoie un élément de H.
00:53
Et comme la loi est associative sur G, elle est forcément en restriction à H.
00:58
Puisque l'associativité, c'est-à-dire que pour tout XY de G, on a ceci,
01:01
et donc pour tous ceux de H, on a aussi ceci.
01:04
Et donc, en pratique, il suffira de vérifier ces trois points.
01:07
Celui-ci nous garantit qu'on ait une loi de composition interne,
01:09
on a l'associativité, on a le neutre qui appartient à l'ensemble,
01:12
et on a l'existence d'un inverse dans H.
01:15
Maintenant, pourquoi est-ce que ceci, c'est équivalent à ceci ?
01:18
Eh bien, grosso modo, l'idée de cœur, c'est-à-dire que cette condition-là,
01:20
avec la non-vacuité de H, bien sûr, elle contient en fait ces différents points-là.
01:26
Ça, c'est en gros un raccourci pour dire ces trois choses-là.
01:29
Et c'est précisément ce qu'on va voir dans la preuve.
01:32
Implication trivale, si H est un sous-groupe, alors H est évidemment non-vide,
01:35
puisqu'il contient l'élément neutre.
01:37
Et pour tout Y dans H, il contient Y moins 1, d'après la troisième propriété ici en vert.
01:42
Et donc, il contient X multiplié par Y moins 1, d'après la deuxième propriété en vert,
01:47
puisqu'on contient le produit de tout élément de H.
01:50
Donc ça, c'est plutôt évident, on check.
01:53
Réciproque, on vérifie ceci, et on veut montrer qu'on a ceci.
01:56
Déjà, est-ce que E appartient à H ?
01:58
Premier point, c'est que H est non-vide.
02:00
Donc je peux affirmer qu'il existe un Z qui appartient à H.
02:03
Mais d'après cette propriété, pour n'importe qui dans H, j'ai ce produit-là qui est dans H.
02:08
Donc je vais l'appliquer en X égale Z et en Y égale Z.
02:11
Donc pour tout ZZ, c'est le même, Z, Z moins 1 est dans H.
02:16
Mais Z, Z moins 1, d'après les propriétés de groupe de G, c'est l'élément neutre de G.
02:21
Donc on a bien qu'il appartient à H.
02:24
Je vais prouver le dernier point, c'est que pour tout élément, son inverse est dans H.
02:27
Et j'applique ça pour X est égal E et pour Y quelconque dans H.
02:31
Donc soit Y dans H, je prends X est égal E, donc j'ai XE fois Y moins 1 qui est égal à Y moins 1,
02:37
puisque c'est l'élément neutre, qui appartient à H.
02:41
Donc on a prouvé que H est stable par passage à l'inverse.
02:44
Et enfin, je vais appliquer ceci en X et Y moins 1.
02:46
Et donc ça me donne que X soit Y moins 1, moins 1 est dans H.
02:50
Et ça, je te laisse faire la preuve en commentaire que C, Y est donc X, Y est dans H.
02:54
Et on vérifie bien le deuxième point.
02:55
Check pour la réciproque.
02:57
Donc comme tu le vois dans les manips, ici, ça condense tout simplement l'info ici.
03:00
Et on vérifie bien le deuxième point.
Recommandations
2:59
|
À suivre
Représentation d'application linéaires avec des matrices et des bases.La base en algèbre linéaire (oui joli jeu de mot je sais 😎)#algebre #algebrelineaire #vecteur #matrice
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
23/06/2025
2:01
Matrice et inversibilité: comment le démontrer sans le déterminant ? #matrice #determinant #algebrelineaire #algebra
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
08/04/2025
0:26
Équivalence et relation d'équivalence.#algebra #algebre #logique #limite
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
aujourd’hui
0:05
piège classique
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
aujourd’hui
4:45
Exo 115 116 et 119 p.20 du poly de Tosel vers la spé.Notions: Matrices, Similarité, Base, équivalence, espace vectoriel et diagonalisation.#matrice #algebra
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
aujourd’hui
6:18
Exercice 104 p.40 polycopié Louis Le Grand pour préparer sa rentrée en prépa.Notions de Trigonométrie et Inégalités.#trigonometry #calcul #fonction
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
avant-hier
0:10
llg ça apprend la life
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
il y a 3 jours
5:04
Factoriser des expressions qui interviennent dans des sommes connues 😌.#somme #factorisation
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
il y a 3 jours
8:06
Possible d'intégrer une grande école si je bloque sur LLG? 📖
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
il y a 3 jours
7:11
Exercice 117 du Poly de Tosel pour le passage en MP. Matrice et nilpotence.#matrice #nilpotent
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
il y a 5 jours
0:05
on se sait 😅
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
il y a 5 jours
0:12
après 3 minutes de poly LLG
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
10/07/2025
0:08
Bac de Mauritanie 2025 séries M et TMGM#bac2025 #mauritanie
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
10/07/2025
1:07
bravo à tous
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
08/07/2025
0:10
Check ma Masterclass (1er lien en bio) pour propulser tes progrès en maths! 🔥
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
07/07/2025
0:10
Divertissez nous 🍿👀
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
07/07/2025
2:03
Le Rattrapage du Bac de Maths 🙀
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
05/07/2025
0:06
résultats ? 👀
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
04/07/2025
0:12
On souffle ok? 🙂↕️#cyclades #bac2025
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
03/07/2025
0:11
Épreuve du Bac de Maths 2025 séries C et E tombé au Burkina Faso.#bacmath #bac2025 #burkinafaso
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
02/07/2025
0:07
Épreuve du Bac de Maths 2025 option SM tombé en Guinée.#bacmath #bac2025 #guinée
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
02/07/2025
0:13
Bac de Maths tombé au Sénégal filière S1.#bacmath #bac2025 #sénégal #senegal
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
02/07/2025
0:21
flemme de bosser
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
02/07/2025
8:45
Une méthode plus simple pour calculer l'aire d'un triangle 🔼
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
28/06/2025
0:20
Top beaucoup des 🐐 en maths dans l'histoire 😎.Lesquels j'ai oublié selon toi? 😁#CapCut #animeeffect #jojopose #mathematician #math #maths
AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
27/06/2025