Caractérisation d'un sous groupe H.#algebra #algebre

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00:00Aujourd'hui, ton toit algébrique explique cette propriété sur la caractérisation des sous-groupes.

00:04Elle n'est pas nécessairement évidente à première vue, mais quand on regarde de plus près la démonstration,

00:08on comprend pourquoi on a cette équivalence.

00:10On va donc faire la preuve de ce résultat et l'explication intuitive qui explique pourquoi ceci, c'est équivalent à ceci.

00:17Tout d'abord, on pose bien les choses. On a que G est un groupe que l'on a noté multiplicativement.

00:23H, c'est un sous-ensemble de G.

00:24Être un sous-groupe, d'après le cours, ça signifie que H, si on prend la loi de G en restriction à H,

00:31c'est-à-dire que H muni de cette loi-là, qui est la restriction, a aussi une structure de groupe.

00:37Donc formellement, il faudrait prendre H muni de cette loi et vérifier tous les axiomes de groupe.

00:41C'est-à-dire ceci, l'associativité, l'existence d'un neutre et l'existence d'un inverse pour tout élément.

00:46En plus du fait, bien sûr, que la loi soit une loi de composition interne,

00:49c'est-à-dire qu'il prend deux éléments de H et renvoie un élément de H.

00:53Et comme la loi est associative sur G, elle est forcément en restriction à H.

00:58Puisque l'associativité, c'est-à-dire que pour tout XY de G, on a ceci,

01:01et donc pour tous ceux de H, on a aussi ceci.

01:04Et donc, en pratique, il suffira de vérifier ces trois points.

01:07Celui-ci nous garantit qu'on ait une loi de composition interne,

01:09on a l'associativité, on a le neutre qui appartient à l'ensemble,

01:12et on a l'existence d'un inverse dans H.

01:15Maintenant, pourquoi est-ce que ceci, c'est équivalent à ceci ?

01:18Eh bien, grosso modo, l'idée de cœur, c'est-à-dire que cette condition-là,

01:20avec la non-vacuité de H, bien sûr, elle contient en fait ces différents points-là.

01:26Ça, c'est en gros un raccourci pour dire ces trois choses-là.

01:29Et c'est précisément ce qu'on va voir dans la preuve.

01:32Implication trivale, si H est un sous-groupe, alors H est évidemment non-vide,

01:35puisqu'il contient l'élément neutre.

01:37Et pour tout Y dans H, il contient Y moins 1, d'après la troisième propriété ici en vert.

01:42Et donc, il contient X multiplié par Y moins 1, d'après la deuxième propriété en vert,

01:47puisqu'on contient le produit de tout élément de H.

01:50Donc ça, c'est plutôt évident, on check.

01:53Réciproque, on vérifie ceci, et on veut montrer qu'on a ceci.

01:56Déjà, est-ce que E appartient à H ?

01:58Premier point, c'est que H est non-vide.

02:00Donc je peux affirmer qu'il existe un Z qui appartient à H.

02:03Mais d'après cette propriété, pour n'importe qui dans H, j'ai ce produit-là qui est dans H.

02:08Donc je vais l'appliquer en X égale Z et en Y égale Z.

02:11Donc pour tout ZZ, c'est le même, Z, Z moins 1 est dans H.

02:16Mais Z, Z moins 1, d'après les propriétés de groupe de G, c'est l'élément neutre de G.

02:21Donc on a bien qu'il appartient à H.

02:24Je vais prouver le dernier point, c'est que pour tout élément, son inverse est dans H.

02:27Et j'applique ça pour X est égal E et pour Y quelconque dans H.

02:31Donc soit Y dans H, je prends X est égal E, donc j'ai XE fois Y moins 1 qui est égal à Y moins 1,

02:37puisque c'est l'élément neutre, qui appartient à H.

02:41Donc on a prouvé que H est stable par passage à l'inverse.

02:44Et enfin, je vais appliquer ceci en X et Y moins 1.

02:46Et donc ça me donne que X soit Y moins 1, moins 1 est dans H.

02:50Et ça, je te laisse faire la preuve en commentaire que C, Y est donc X, Y est dans H.

02:54Et on vérifie bien le deuxième point.

02:55Check pour la réciproque.

02:57Donc comme tu le vois dans les manips, ici, ça condense tout simplement l'info ici.

03:00Et on vérifie bien le deuxième point.

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