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00:00Et ça dit quoi, ça dit quoi ?
00:01Eh ben on va s'auto-sale les matrices.
00:03Aujourd'hui, t'ont auto-fait one-shot le 115, 116 et 119.
00:06Oui, je sais, les énoncés sont un peu différents,
00:09mais en vrai, quand ils regardent de plus près, c'est un peu les mêmes bails.
00:12Pourquoi ?
00:12115, montrer qu'une matrice M, blablabla, est semblable à une autre matrice.
00:16La similarité entre les matrices,
00:18c'est dire que si la première matrice est la représentation d'un endo dans la base canonique,
00:22alors la deuxième matrice est la représentation du même endo dans une base bien choisie.
00:26Donc pour montrer des similarités de matrice,
00:28il suffit simplement de choisir une base adaptée dans laquelle l'endomorphisme aura cette gueule-là.
00:34Donc exercice 115, il va falloir trouver une base.
00:36D'ailleurs, j'ai inclus aussi le 114, mais je ne l'ai pas corrigé parce que tu as vu, trop relou.
00:39Et le 117 que j'ai déjà corrigé, check dans la description ou sur mon profil.
00:43116, on montre une équivalence.
00:44Et la deuxième, s'il existe une base de E dans laquelle la matrice de U est de cette forme-là.
00:48119, montrer que la matrice J, dont tous les coefficients sont 1,
00:51est semblable à la matrice diagonale, dont les termes diagonaux sont ceci.
00:55Donc trouver une base où on est la matrice diagonale ceci.
00:58Alors je sais, je sais, les SP, ne vous excitez pas.
01:01Oui, c'est des exercices de diagonalisation, et ça se torche assez rapidement avec la diagonalisation.
01:06Mais on va le faire de manière « élémentaire » en donnant simplement les bases.
01:09Alors mets bien pause avant que je donne les bases pour les chercher par toi-même,
01:13parce que c'est un exercice intéressant de réflexion.
01:15Et après que j'ai donné les bases, je vais te demander déjà de vérifier que c'est bien des bases,
01:19mais en plus de montrer la matrice qui représente l'endomorphisme dans ces bases.
01:23Pour le 115, on a une application qui est assez évidente.
01:26Si on est semblable à une matrice comme ça,
01:29alors ça implique bien sûr qu'on est de rang R et qu'on vérifie M² égale M.
01:32Car la similarité préserve le rang, et la tête de cette matrice montre bien évidemment qu'on est de rang R,
01:37puisque la taille maximum de colonne qui forme des vecteurs libres, c'est R.
01:40Et si tu calcules le carré de cette matrice, tu vas voir que tu obtiendras bien la même chose.
01:44Réciproque maintenant, si elle vérifie M² égale M et qu'elle est de rang R,
01:48alors on peut montrer facilement que son image et son noyau sont en somme directe.
01:52Vu que son image est de dimension R, je concatène ses R vecteurs et ses N moins R vecteurs.
01:58La preuve que Im, F et quart de F sont en somme directe vient de cette décomposition.
02:02Ceci est dans l'image, ceci est dans le noyau,
02:04puisque quand j'applique F par linéarité, j'ai F de X moins F de F de X,
02:08qui vaut 0, puisque M² vaut M, donc F² vaut F.
02:11Et donc ceci est bien dans le care.
02:12Et si un mec est à la fois dans l'image et dans le care,
02:15ça veut dire que c'est F de quelqu'un d'autre,
02:18mais en même temps dans le care, ça veut dire que F de ce mec-là vaut 0.
02:21Vu que lui c'est F de quelqu'un d'autre, ça veut dire que F de F du mec vaut 0,
02:25mais F² du mec, c'est F du mec, parce que M² vaut M.
02:29Et donc finalement, on a bien que X est égal à 0, la somme est directe.
02:32A toi de jouer, représente-moi cet endomorphisme dans cette base.
02:35Le 116, on suppose que noyau et image sont en somme directe,
02:37et on veut montrer qu'il existe une base telle qu'on est comme ça.
02:40Une base, et montre que dedans, on est bien de cette tête-là,
02:43avec A qui est inversible en tant que matrice de taille R.
02:47Et inversement, si on est représenté de cette façon-là,
02:49on peut montrer, vu qu'on a une base en haut,
02:51que la famille ici jusqu'à A, c'est une base de 1 de F,
02:54et que le reste est une base de care F.
02:56On en a R, c'est libre, donc ça génère bien l'image qui est de dimension R.
03:00Théorème du rang, je ne peux pas avoir une base plus grosse,
03:02donc mon care est de dimension N-R, et là j'en ai N-R, qui sont libres.
03:06Et donc j'ai bien écrit le care et l'image en somme directe,
03:09comme étant égale à tout l'espace.
03:11119, on a cette matrice dont on va supposer qu'elle représente
03:14l'endomorphisme dans la base canonique.
03:15J'ai que des 1, donc j'ai évidemment un rang de 1,
03:17c'est-à-dire que la dimension de l'image c'est 1,
03:19et j'ai un vecteur qui engendre l'image, c'est 1, 1, 1.
03:23Théorème du rang, le care est de dimension N-1.
03:25Je prends une base du care, je concatène avec le vecteur 1 dans la base canonique,
03:29et je te laisse vérifier que dans cette base,
03:31la représentation de notre endomorphisme,
03:33c'est bien la matrice diagonale,
03:34dont tous les termes diagonaux sont 0, 0, 0, 0, 0 et N en dernier.
03:38Check, check, check !
03:39Ok, ok, les 5 demi, vous insistez, on va le faire en mode diagonalisation.
03:42Polynome annulateur scindé, donc M est évidemment diagonalisable,
03:45les valeurs propres sont parmi 0 et 1.
03:48Si M n'est ni l'identité ni la matrice nulle,
03:50alors on a bien et du 0 et du 1,
03:52et donc on s'écrit comme matrice diagonale avec des 1 et des 0.
03:55Si c'est l'identité, c'est que des 1,
03:56si c'est la matrice nulle, c'est que des zéros, donc R vaut 0, R vaut N dans le cas de l'identité,
04:01et si on n'est ni l'un ni l'autre, on a certains 1 et certains 0, R1 précisément sur la diagonale.
04:07Et même pas pour le 119, si on calcule le carré de J, on obtient la relation que J² est égal à NJ,
04:13et donc polynôme annulateur X facteur de X moins N, sin D à racine simple, donc J est diagonalisable,
04:19J n'est clairement pas la matrice nulle ou juste la matrice N identité,
04:22donc 0 et N sont toutes les deux valeurs propres,
04:26et en résolvant l'équation J d'un vecteur X est égal à N fois le vecteur X,
04:30on trouve un sous-espace propre associé à la valeur propre N de dimension 1,
04:34donc comme on est diagonalisable, l'autre sous-espace propre est de dimension N-1,
04:38et nécessairement on a N-1, 0 sur la diagonale, et un N sur le dernier élément de la diagonale.
04:43Des bisous mon chou !

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