00:00On attaque cet exercice du poly de Tossel pour le passage en maths P.
00:05Et voici l'énoncé, donc on a une matrice nilpotente d'ordre N, si et seulement si, elle est semblable à cette matrice N.
00:12L'indice de nilpotence, pour précision, c'est la plus petite valeur entière telle que la matrice M puissance cette valeur est égale à la matrice nulle.
00:21Voici donc ce qu'on doit montrer, et on va supposer que N est super ou égal à 2, N égale 1 est un cas complètement inintéressant.
00:27On va déjà faire l'implication d'ici vers ici, c'est-à-dire que si M est semblable à la matrice N, alors M va être nilpotente d'indice N.
00:37C'est-à-dire que M puissance N vaut 0, et que M puissance D est différent de la matrice nulle, quel que soit D dans 1, N-1.
00:45Pour montrer l'implication, il faut simplement montrer que cette matrice-là est nilpotente d'indice N.
00:51Alors tu peux faire le calcul à la main matriciellement pour voir ce qui se passe.
00:54Quand tu vas multiplier, en fait, tu vas soulever à chaque fois la diagonale, et donc tu vas monter, monter, et donc il va y avoir des zéros.
01:00Et tu peux montrer qu'avant N, en fait, on a des éléments non nuls sur au moins une des diagonales strictes là.
01:07Et donc on ne sera pas la matrice nulle, et on sera la matrice nulle que quand on aura élevé à la puissance N.
01:12Tu peux faire ça à partir de la formule de calcul des coefficients d'un produit matriciel.
01:16Nous, on va le faire avec une méthode un petit peu plus algébrique, et donc on va reproduire la matrice N.
01:20Et on va simplement essayer de se rappeler ce que signifie la notation d'une matrice.
01:25Qu'est-ce que ça veut dire, ces coefficients-là ?
01:27Ça veut dire, si on prend cette matrice comme étant la représentation d'un endomorphisme dans la base canonique,
01:32que l'image du premier vecteur de la base canonique, c'est le vecteur nul,
01:35l'image du deuxième vecteur de la base canonique, c'est le premier de la base canonique,
01:39donc E1, l'image de E2 c'est E1, ta ta ta ta ta ta ta, et l'image de E n, c'est donc celui d'avant.
01:46Et donc on poursuit le raisonnement, si jamais il existe un nombre entier d'estrictement plus petit que E n,
01:51tel que f puissance d est égal à 0, alors en particulier fd de E n,
01:56le nième élément de la base canonique, est égal à 0.
01:58Et donc je vais calculer fd de E n, fd de E n, c'est fd moins 1 de f de E n,
02:04et f de E n, on avait vu avant que c'est E n moins 1, donc ça fait fd moins 1 de E n moins 1,
02:10mais de même, si j'en déplace 1 de f, j'aurai fd moins 2 de f de E n moins 1,
02:16ce qui me fait fd moins 2 de E n moins 2, puisque f de E n moins 1, c'est E n moins 2,
02:21d'après ce qu'on a fait avant.
02:22Et je fais pareil, je déplace des f jusqu'à ne plus en avoir, j'ai un 0,
02:25tu vois, moins 1, j'en ai déplacé 1, moins 2, j'en ai déplacé 2,
02:28donc quand j'en déplace D, là j'ai un 0, ce qui me fait en fait l'identité de E n moins D,
02:33ce qui vaut E n moins D.
02:34Pourquoi ? Parce qu'à chaque fois en déplaçant un f, je remonte,
02:38f de E3, c'est E2, f machin, donc f de quelque chose, c'est celui d'avant.
02:43Et donc je me retrouve avec un E n moins D,
02:46mais comme n est strictement plus grand que D,
02:49donc ça c'est bien un certain vecteur de la base canonique,
02:51et est censé être égal à 0, ce qui est absurde pour la base canonique.
02:56Et donc l'indice de nilpotence ne veut pas être strictement inférieur à n.
03:01Check pour ceci, et donc c'est gagné une fois qu'on a ça,
03:03puisque vu que l'indice de cette matrice-là, c'est exactement petit n,
03:08et bien en utilisant cette relation,
03:11donc il existe une matrice inversée, peut-être qu'on a ça entre grand M et grand N,
03:15j'ai nécessairement que grand M est elle-même nilpotence d'indice petit n.
03:20Pourquoi ? Parce que déjà, tout ça, puissance petit n,
03:24ça va me faire P fois grand N puissance petit n, P moins 1,
03:28qui va faire 0, et donc j'aurais bien que M puissance petit n vaut 0.
03:32Par contre, si j'inverse la relation,
03:35je ne peux pas avoir que M puissance D soit égal à 0,
03:38avec un D strictement plus petit que N.
03:40Si c'était le cas, en inversant, j'aurais que N puissance D est égal à 0
03:45pour une valeur D strictement plus petite que N,
03:48et on a vu que ce n'était pas possible.
03:50Donc je rappelle ici les relations que l'on peut déduire de ceci,
03:54ça se démontre par récurrence,
03:55et ça se démontre en multipliant de chaque côté par P moins 1 et P.
04:00On a donc bien que ceci implique cela.
04:03S'il existe une matrice grand P qui vérifie ceci,
04:06alors M est d'indice de nilpotence petit n,
04:09puisque grand N est d'indice de nilpotence exactement petit n.
04:14Le sens direct maintenant,
04:15et on va encore une fois se demander ce que signifie la matrice N.
04:19Dire qu'on peut trouver une matrice P telle qu'on est ceci,
04:22c'est simplement dire qu'on peut représenter M dans une base
04:26à l'aide de la matrice N.
04:28Il faut simplement construire des vecteurs
04:30tels que les conditions qui sont données ici sur les images
04:34font qu'on correspond bien à ces coefficients.
04:38Donc je veux trouver une base de vecteurs
04:41telle que ici, l'image du premier vecteur, ça donne 0,
04:44l'image du deuxième vecteur, ça donne le premier, etc.
04:49Et toujours en considérant F, l'endomorphisme associé,
04:51je vais considérer un X dans Rn tel que Fn-1 de X est différent de 0.
04:55C'est possible puisque Fn-1 n'est pas l'application identiquement nulle,
04:59vu que F est d'indice de nilpotence exactement N
05:02et que N-1 est strictement inférieur à N.
05:03Pourquoi est-ce que j'ai pensé à cet objet-là ?
05:07Parce que j'ai du n-1 et je sais qu'en appliquant F,
05:10je vais avoir du F puissance N,
05:11mais par nilpotence d'indice N,
05:13je n'aurai que F puissance N de X sera égal à 0.
05:16Et du coup, ça me donne un bon candidat
05:17pour le premier élément que je vais mettre ici
05:19puisque je veux que son image ne soit que des 0.
05:21Et je veux qu'ici, ça me donne celui d'avant.
05:23Donc je veux appliquer F à quelqu'un
05:25tel que ça me donne celui que j'ai choisi en premier,
05:27c'est-à-dire exactement celui-ci.
05:30Donc ça va être Fn-2 de X.
05:34Et après, on voit le pattern,
05:36puisqu'à chaque fois, je veux celui d'avant,
05:38quand je fais une certaine colonne,
05:40il suffit simplement de diminuer la puissance de F.
05:44Et voilà les vecteurs que je suppose qui vont fonctionner.
05:46Alors il faut s'assurer que c'est une base
05:48et donc on va simplement démontrer que c'est une famille libre
05:50puisqu'on en a bien N.
05:53Et donc une famille libre qui contient N vecteurs
05:55dans un espace de dimension N, c'est bien une base.
05:59Je te laisse démontrer ça en commentaire,
06:00je fais la correction si jamais il y a besoin
06:02et on passe à la suite.
06:04Et on voit, après calcul des images,
06:05qu'on a bien sûr 7 représentations matricielles.
06:10Donc N est bien la représentation matricielle
06:13de l'endomorphisme canoniquement associé à M
06:16dans la base donnée par ces vecteurs-là.
06:20Oui, oui, tu peux checker les calculs.
06:21L'image de ça, ça fait bien 0,
06:23donc 0 dans la base.
06:25L'image de ça, ça fait bien fn-1 de x.
06:27Donc dans la base, j'ai bien 1 ici qui correspond à lui
06:30et que des zéros partout ailleurs.
06:32L'image de celui-ci, ça nous fait fn-2,
06:34donc 1 ici correspondant à la ligne fn-2
06:37et que des zéros.
06:38Et ainsi de suite, ainsi de suite.
06:39L'image de x, c'est f2x,
06:41qui correspond bien à cette ligne-là.
06:44Et donc d'après le cours,
06:45pour obtenir notre matrice P inversible,
06:47il suffit d'écrire les vecteurs de cette base en colonne
06:49et ça, ça nous forme P,
06:52qui sera bien évidemment une matrice inversible
06:54puisque c'est une base de vecteurs qu'on a écrite en colonne.
06:56Et donc on aura d'après le cours la relation
06:58que grand M est égal à P fois n fois P-1.
07:02Check et check !
07:03N'hésite pas à poser tes questions en commentaire
07:05ou si tu veux que je fasse une autre vidéo
07:06pour préciser les points que j'ai laissés faire en suspens.
