00:00Aujourd'hui, on va répondre à la question la plus dure de tous les temps de l'histoire du brevet de mathématiques de France,
00:05qui est de calculer l'aire de ce triangle.
00:07Eh bien, je peux intégrer, ok ? L'aire du triangle, il est donné par la double intégrale d'X, d'Y.
00:13Alors, ok, c'était pas donné donné, mais faut pas abuser, c'était pas non plus si difficile que ça.
00:18D'ailleurs, je me permets de faire un collage pour reprendre la vidéo, parce qu'on pouvait faire quand même beaucoup plus simple.
00:22Comme vous l'avez vu en intro, Girafe a utilisé une intégrale d'eau pour calculer l'aire de ce triangle en réponse à la question 4 du brevet.
00:28Perso, moi, je trouve ça un petit peu abusé, vu que les intégrales doubles, c'est pas quelque chose avec lesquelles les élèves sont généralement très à l'aise.
00:34Et on peut s'en sortir avec des intégrales curvilignes.
00:36Tu vas voir, c'est beaucoup plus simple, je te montre tout de suite comment on fait.
00:39Bon, déjà, pour plus de clarté, moi, j'ai fait la figure de cette façon-là, contrairement à lui.
00:43J'ai indiqué les coordonnées, tu peux vérifier que les longueurs ici, AC, AB et BC, ont bien respecté celle de l'énoncé.
00:49Maintenant, une première question qu'on peut se poser, c'est est-ce qu'on est sûr qu'on calcule bien la même chose,
00:53puisque ma figure n'est pas la même que la sienne, qui n'est pas la même que celle qui est affichée dans l'énoncé du brevet.
00:58Eh bien, je vous affirme que l'aire de sa figure est égale à l'aire de ma figure, qui est égale à l'aire de l'énoncé.
01:04Pourquoi ? Parce que ma figure, je vais l'appeler donc ABC, je vais appeler la sienne A'B'C',
01:09est obtenue à partir de la sienne, à partir d'une réflexion suivie d'une translation.
01:13Je lui fais subir une réflexion d'axe Y égale X, donc on se retrouve avec le triangle rectangle comme ça,
01:19genre ici, et après je fais une petite translation.
01:22Deux vecteurs U de coordonnées 2,0.
01:24J'ai bien sûr choisi ces coordonnées, parce que c'était plus simple, calculatoirement, on va être plus à l'aise comme ça.
01:29Eh bien déjà, on peut noter qu'une translation et une réflexion, ce sont des isométries.
01:33Et on sait que la mesure de Lebeck dans R2, puisqu'ici on cherche à calculer une R,
01:37elle est invariante par les isométries.
01:39Autrement dit, on a que la mesure 2 de Lebeck de U de B, où B est un borélien et U est une isométrie,
01:47c'est égal à la mesure de Lebeck 2 du borélien.
01:50On est bien sûr dans l'attribut de Borrel de R2.
01:52De manière générale, on a même cette propriété-là si U est une isométrie qui est à la fois une application linéaire.
01:57On a le déterminant en valeur absolue qui sort ici.
02:00C'est d'ailleurs cette propriété qui est à la base de la formule de changement de variable.
02:04Donc on a bien les mêmes R.
02:05Et pour faciliter le calcul d'une intégrale double, qu'est-ce qu'on va utiliser ?
02:08La formule de Green-Reyman !
02:10Et oui, je vous avais dit qu'au lieu de se farcir une intégrale double, on pouvait simplifier ça en une intégrale curviligne.
02:15Je rappelle la formule de Green-Reyman, soit ω, une C1 forme différentielle.
02:20Ça signifie en particulier que P et Q sont des fonctions à deux variables, C1 sur R2.
02:24D est un compact qui est délimité par son bord, orienté positivement, et son bord est C1 par morceau.
02:29Alors, on a que l'intégrale curviligne sur le bord de D orienté positivement de la forme différentielle ω est égale à la double intégrale sur la surface D de cette expression-là, dx, dy,
02:43où bien sûr P et Q sont les composantes dans la décomposition d'ω dans la base duale de la base canonique.
02:50Eh bien, on va voir si on peut appliquer ce théorème.
02:52Ici, on a bien un ensemble qui est compact et son bord est bien C1 par morceau.
02:57Ici, on a des segments de droite, c'est C1.
02:59Alors, ici, on n'est pas C1, on n'est pas dérivable parce qu'on a des pics.
03:02Pareil ici et ici, mais ça ne pose pas de problème, on a juste besoin d'être C1 par morceau.
03:06On est C1 sur tout ça, sur tout ça et sur tout ça.
03:09Donc ici, l'ensemble D et son bord ne vont pas poser de problème.
03:12Maintenant, la question légitime, c'est à qui qu'on va appliquer comme forme différentielle ω ?
03:17Eh bien, déjà, notons que l'R, c'est l'intégrale de 1dx, dy sur la surface D.
03:22Et donc, il va falloir qu'on trouve Q et P, tels que d rond Q sur d rond X moins d rond P sur d rond Y soit égal à 1.
03:29Eh bien, on va prendre cette forme différentielle-là.
03:31On a P qui va être égal à moins Y sur 2 et Q qui va être égal à X sur 2.
03:36Si on fait dQ sur dx, ça nous fait 1 demi.
03:39Et si on fait d rond P sur d rond Y, ça nous fait moins 1 demi.
03:42Donc, j'ai 1 demi moins moins 1 demi, ce qui me fait bien 1 demi plus 1 demi, ce qui me fait bien 1.
03:47Donc, cette première condition-là est validée.
03:49Maintenant, est-ce qu'ω est une C1 forme différentielle ?
03:52On a moins Y sur 2 qui est C1.
03:55C'est C infini puisque c'est polynomial en les coordonnées.
03:58Et de même pour X sur 2.
04:00Donc, ω convient.
04:01Notre compact D et son bord conviennent.
04:03On applique la formule de Green-Riemann et on obtient que l'intégrale est égale à ceci,
04:07qui est égale à l'intégrale sur le chemin orienté dans le sens positif de ω.
04:14Maintenant, la question, c'est de savoir comment est-ce qu'on va retrouver ces chemins.
04:17Et bien, on va simplement les paramétrer.
04:19On est orienté dans le sens positif, c'est-à-dire le sens trigonométrique.
04:22Donc, de B vers A, de A vers C et de C vers B.
04:25Attention à ne pas vous tromper sur ça.
04:26Donc, je vais considérer le premier chemin qui va de B vers A.
04:30On peut noter qu'il est paramétré par cette fonction 2 plus 6t, 0.
04:34Pourquoi ? Parce qu'un segment qui va du point M vers un point N,
04:37où les coordonnées de grand M, c'est x petit m, y petit m,
04:40et les coordonnées de grand N, c'est x petit n, y petit n,
04:43ce sera toujours donné par ceci.
04:45Donc, on a ça en abscisse et ça en ordonnée.
04:48Parce qu'un point du segment MN,
04:50quand on part de M et qu'on va jusqu'à N,
04:53ça sera toujours donné par 1 moins t fois M plus t fois N,
04:58t appartenant à 0,1.
05:00On pourrait paramétrer dans un autre intervalle,
05:02mais c'est plus simple sur 0,1.
05:03Donc, quand t est dans 0,1, on voit qu'on a bien un point du segment MN.
05:08T vaut 0, j'ai bien M.
05:11Et quand t vaut 1, 1 moins 0, j'ai bien N.
05:14Donc, je vais bien de M vers N.
05:16Et on peut voir que pour les différentes valeurs de t,
05:18ça nous décrit bien le segment.
05:20Et j'applique ça avec les coordonnées de B et de A.
05:23Donc, j'ai 2 fois 1 moins t plus 8t,
05:27ce qui me fait, après simplification, 2 plus 6t.
05:300 fois 1 moins t plus 0 fois t,
05:33ce qui me fait bien 0.
05:34Et je fais la même chose pour paramétrer le segment de A jusqu'à C.
05:38Et j'obtiens ceci, je te laisse mettre les calculs en commentaire.
05:41Et enfin, le chemin de C jusqu'à B.
05:44On obtient ce chemin-là.
05:46Pareil, je te laisse mettre le calcul en commentaire.
05:48J'ai mis t dans 0,1 directement pour les trois.
05:49Donc, par propriété de l'intégrale,
05:52j'ai que l'intégrale de ω sur mon chemin.
05:54C'est l'intégrale de ω sur la première partie du chemin,
05:57plus l'intégrale de ω sur la deuxième partie,
05:59plus l'intégrale de ω sur la troisième partie.
06:02Tac, tac, tac.
06:04Petit rappel utile pour calculer une intégrale curviline,
06:07l'intégrale sur un chemin gamma-i de ω.
06:09C'est égal à l'intégrale de 0 à 1.
06:11On va supposer qu'on a paramétré de 0 à 1.
06:13De P de gamma-i, on est sur gamma-i de t.
06:17Donc, ça va être une fonction à deux coordonnées qui dépendent de t.
06:20Donc, c'est une variable à valeur dans R2.
06:23Et donc, P, c'est bien une fonction de deux variables.
06:25Et donc, j'ai les deux coordonnées de gamma-i ici.
06:28Donc, oui, ça a bien un sens de dire P de gamma-i de t.
06:31Je fais la dérivée de la première coordonnée de gamma-i par rapport à t,
06:35fois dt.
06:36Plus la deuxième coordonnée de ma forme différentielle appliquée en gamma-i de t.
06:42Donc, Q, qui est aussi une fonction de deux variables.
06:44Et qui prend donc en entrée les coordonnées de gamma-i de t,
06:48fois la deuxième coordonnée de gamma-i dérivée, fois dt.
06:52Petit rappel, pour ceux qui ne sont pas au point
06:54et qui ont oublié de réviser cette formule entre deux algorithmes scratch.
06:58Et bien maintenant, je l'applique sur mes différents chemins.
07:02Donc, mon P, c'est moins y sur 2.
07:03Et mon Q, c'est x sur 2.
07:05Et je l'applique en ce chemin.
07:07Donc, moins y sur 2, moins 0 sur 2.
07:09Ce qui apparaît ici.
07:11Fois la dérivée selon la première coordonnée de gamma-i de t.
07:15Première dérivée, c'est 6.
07:17Fois 6 de t.
07:19Plus x sur 2 de y.
07:22Donc, la première coordonnée du chemin, c'est ceci.
07:25Sur 2, fois la dérivée de la deuxième coordonnée.
07:280 fois de t.
07:30Et j'ai fait pareil pour le reste.
07:31Je te laisse bien vérifier à l'aide des chemins dont j'ai parlé tout à l'heure.
07:36Je simplifie par 2 et j'additionne tout.
07:37Et j'ai l'intégrale de 0 à 1 de 13,5 t plus 18 moins 13,5 t moins 4,5 dt.
07:44Parce que j'ai que des intégrales de 0 à 1.
07:46Et donc là, je ne suis passé que en dt.
07:48C'était fait pour les bornes de 0 à 1, comme vous vous en doutez.
07:50Et après simplification, j'obtiens l'intégrale de 13,5 dt.
07:55Et ça, ça se primitive en 13,5 t que je prends entre 0 et 1.
07:5913,5 fois 1 moins 13,5 fois 0.
08:01Ce qui me fait bien 13,5.
08:03Et donc le résultat est bien 13,5 cm².
08:06Donc c'était bien la réponse B.
08:08Donc au vu du temps total, il ne faut pas passer plus de 5 minutes sur une question comme ça.
08:12D'ailleurs, certains d'entre vous pouvaient se demander,
08:14mais comment on pouvait avoir l'idée de placer ce triangle dans un repère pour ensuite en calculer l'air ?
08:18Les amis, on vous préparait avec la question 2, on vous parlait déjà d'isométrie.
08:22Donc on sentait bien venir qu'il y allait avoir un petit lien avec la mesure de le bec.
08:26Allez, retiens bien toute cette méthode, si jamais tu n'es pas au point.
08:30Je répète que normalement, un élève sérieux de 3e qui a travaillé pendant l'année
08:34aurait dû être capable de faire tout ce calcul sans erreur.
08:38Ce n'est pas ultra trivial, mais ce n'est pas non plus très difficile.
