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AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
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00:00Ok, ça dit quoi ? Ça dit qu'on va se faire soulever par le poly LLG ?
00:03On attaque un exercice 4 étoiles et on veut démontrer que pour toute x dans R,
00:06cosinus de sinus de x est strictement supérieur à sinus de cosinus de x.
00:11Alors en regardant ça comme ça, a priori c'est vraiment l'horreur,
00:15mais calme-toi, ça va bien se passer.
00:16Quand on veut démontrer des inégalités,
00:19la première stratégie à laquelle il faut penser, c'est l'étude de fonctions.
00:23Je fais tout passer d'un côté, par exemple du côté gauche,
00:26j'étudie les variations de la fonction, je calcule son minimum
00:28et je montre que son minimum est plus grand que 0 et ça me donne l'inégalité.
00:32Eh bien ici, ça ne va pas marcher.
00:34Mais bien joué si t'y avais pensé,
00:35parce que c'est toujours une bonne idée à penser en premier lieu.
00:38Parce que ouais, là on va se retrouver avec des dérivés vraiment infects.
00:41Je ne sais pas quel genre de taré aurait le courage de faire ça,
00:43mais bon, je passe mon tour.
00:44On va essayer d'être un petit peu plus astucieux
00:45et déjà voir qu'on n'a pas besoin de démontrer ça pour tous les réels.
00:49Pourquoi ? Parce que ces fonctions sont particulières.
00:52Par exemple, on sait qu'on a 2π périodicité,
00:54du cosinus ici, du sinus ici.
00:56Donc si je fais x plus 2π ici et ici,
00:59l'inégalité ne change pas.
01:01Donc en fait, si je démontre cette inégalité stricte
01:03sur n'importe quel intervalle de longueur 2π,
01:06je l'ai bien démontré par 2π périodicité pour tout x dans R.
01:10Puisque n'importe quel réel,
01:12si je rajoute ou retranche suffisamment de 2π,
01:15m'amènera dans cet intervalle que j'aurais choisi de longueur 2π.
01:19Et à votre avis, quel intervalle de longueur 2π est-ce qu'on va choisir ?
01:22Astuce générale, quand vous faites comme ça des études de fonctions trigonométriques,
01:25il est toujours avantageux de prendre un intervalle symétrique par rapport à 0.
01:29Pourquoi me diras-tu ?
01:30Parce que si tu regardes bien ici, ces deux fonctions sont pairs.
01:34Et on peut encore couper l'ensemble d'études.
01:37Je te laisse montrer en commentaire que si on a démontré ça pour les positifs,
01:40eh bien alors on peut le démontrer pour les négatifs.
01:42Enfin, ça c'est bien pair, parce que si je mets du moins x,
01:45le moins sort du sinus et est absorbé par le cosinus puisque le cosinus est pair.
01:49De même ici, le moins est absorbé directement ici par le cosinus.
01:52Donc en fait, j'ai juste besoin de démontrer l'inégalité ici.
01:55Mais si on regarde de plus près cet intervalle,
01:57on voit qu'il y a une partie de l'intervalle en fait qui ne sert à rien,
02:00où l'inégalité est évidente.
02:02C'est quand x est dans π sur 2π.
02:04Bah oui, parce que qu'est-ce qui va se passer ?
02:06Si x est dans π sur 2π, le sinus de x sera entre 0 et 1.
02:11Trace un cercle trigonométrique sur ton bryon pour t'en convaincre.
02:14Mais un truc entre 0 et 1, c'est un truc qui est entre 0 et π sur 2,
02:18et donc le cosinus d'un truc entre 0 et 1, ça sera lui-même entre 0 et 1.
02:23Puisque le cosinus d'un truc entre 0 et π sur 2, c'est toujours entre 0 et 1.
02:28Encore une fois, trans un cercle trigo.
02:29En particulier, ça sera positif.
02:31Mais le cosinus d'un truc qui est entre π sur 2 et π,
02:35si tu traces bien ton cercle trigo, c'est quelque chose de négatif entre 0 et moins 1.
02:40Et quelque chose qui est entre 0 et moins 1 est entre 0 et moins π sur 2.
02:44Et le sinus d'un truc qui est entre 0 et moins π sur 2,
02:48c'est lui-même négatif, c'est entre 0 et moins 1.
02:52Donc quand x, attention, est dans π sur 2π,
02:55ça c'est négatif, ça c'est positif.
02:58Et pour qu'il y ait égalité, il faudrait que ceci soit égal à 0 et ceci aussi.
03:01Et je te laisse montrer en commentaire que ça n'est jamais possible sur π sur 2π.
03:06Donc l'inégalité est triviale sur π sur 2π,
03:08donc on peut réduire, encore une fois, 0π sur 2.
03:11Maintenant pour l'inégalité, il faut réfléchir à ce qu'on sait sur sinus de truc.
03:15Sinus de truc, dans le bon intervalle, on sait que c'est majoré par truc.
03:19On a que x majeure sinus x quand x est positif.
03:23Et on a dit que quand x est dans 0π sur 2,
03:26le cosinus de x est entre 0 et 1, donc est positif.
03:29Et donc j'ai bien que sinus de cosinus de cosinus est inférieur ou égal à cosinus.
03:32Check !
03:33Maintenant l'idée, ça serait de comparer ces deux-là.
03:35Parce que si on trouve que lui est plus grand que lui,
03:36j'aurais que lui est plus grand que lui, qui est plus grand que lui.
03:39Et donc j'aurais que lui est plus grand que lui.
03:41Et je montre que je n'ai jamais égalité, donc on est bien strict.
03:43Mais on l'a dit, quand x est dans 0π sur 2,
03:45quand x est positif, mais dans 0π sur 2 on est bien positif,
03:48on a que sinus x est plus petit que x.
03:50On s'entretour, on l'a dit là.
03:51Et ça c'est bien dans l'intervalle 0π sur 2
03:53sur lequel la fonction cosinus est décroissante.
03:57La fonction cosinus ici en rouge, on est bien décroissant.
04:00Jusqu'à π même.
04:01En particulier sur 0π sur 2, on est bien décroissant.
04:03Donc si je l'applique à l'inégalité, j'inverse le sens.
04:06Et en particulier, je trouve bien que ceci est plus grand que le cosinus de x.
04:11J'ai donc bien démontré que pour tout x dans 0π sur 2,
04:13sinus de cosinus x est inférieur ou égal à cosinus x.
04:18Mais on ne s'en j'ai pas trop tout de suite.
04:20On voulait montrer un strict non.
04:22Donc on va exclure le cas d'égalité.
04:24Pour que ça et ça se soient égales, il faut que ça se soit égal à ça,
04:28qu'il soit égal à ça.
04:29En particulier, ça doit être égal à ça.
04:31Et sinus x est égal à x dans l'intervalle 0π sur 2.
04:35Si et seulement si, x est égal à 0.
04:36Mais ici, cosinus x est entre 0 et 1,
04:38donc est bien dans l'intervalle 0π sur 2.
04:40Attention, le truc qu'on met dans le sinus, c'est lui qui doit être en 0π sur 2.
04:43Et donc, je peux avoir cette égalité là entre ces deux membres.
04:46Si et seulement si, cosinus x est égal à 0 pour x dans 0π sur 2.
04:50Ce qui implique que nécessairement x est égal à π sur 2.
04:53Et si on teste dans l'inégalité, on verra que ça ne va pas marcher.
04:56Ça nous donne ceci quand on remplace x par π sur 2,
04:59puisque ici, donc cosinus x sur 2, ça vaut 0.
05:01Et donc sinus 0, 0.
05:03Cosinus x sur 2, 0, j'ai bien 0 ici.
05:05Et cosinus x sur 2, sinus x sur 2 vaut 1.
05:07Donc j'ai bien cosin.
05:08Et cosin est strictement positif.
05:110 est différent de cosin, donc je ne peux pas avoir ceci égal à ceci.
05:14Or, si j'avais l'égalité, j'aurais égalité entre ces deux là.
05:17Et l'égalité entre ces deux là implique que x est égal à π sur 2.
05:21Mais pour π sur 2, c'est faux.
05:23On a donc bien montré que pour toute x dans 0π sur 2, on a cette double inégalité stricte.
05:28Check !
05:28Mais on avait dit que l'inégalité était évidente sur π sur 2π.
05:31Donc en particulier, en fait, on l'a démontré sur 0π.
05:35Recheck !
05:35Mais par parité, puisque rien ne change si je remplace les x par des moins x,
05:39et j'ai toujours l'inégalité par parité de chacun des termes de l'expression.
05:42Inégalité est toujours valide.
05:44Check !
05:44On l'a donc bien démontré sur cet intervalle-là.
05:47Et par 2π périodicité, je l'ai bien montré sur R,
05:50puisque n'importe quel réel s'écrit quelqu'un de cet intervalle-là plus 2π fois un entier relatif.
05:57Et j'aurais toujours les inégalités, puisque le 2π fois un entier relatif va disparaître
06:01dans le cosinus ici, le cosinus là et le sinus là par 2π périodicité de ces fonctions.
06:06Check again !
06:07Voilà, n'hésite pas à poser tes questions en commentaire si jamais tu en as ou si quelque chose n'est pas clair.
06:11N'hésite pas également à mettre les détails que j'ai passés un petit peu rapidement.
06:14Et on skip it touch pour la suite des corrigés de cahiers de vacances.
06:17Bisous !

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