00:00Et les amis, vous êtes vraiment beaucoup trop nombreux à galérer à représenter des applications linéaires dans des bases.
00:05Sérieusement, il ne faut pas stresser. Reste bien jusqu'au bout de la vidéo parce que je t'explique ça de manière claire et concise.
00:09Déjà, petit rappel de cours, c'est quoi la matrice d'une application linéaire entre deux espaces vectoriels E et F de dimension finie tous les deux ?
00:17Eh bien, pour qu'on parle d'une matrice qui représente une application linéaire, il faut déjà qu'on ait fixé une base dans l'espace de départ et une base dans l'espace d'arrivée.
00:25Ces bases ne sont pas nécessairement les mêmes si E et F sont égaux. Et bien sûr, si E et F ne sont pas les mêmes espaces vectoriels, évidemment, on n'a pas les mêmes bases.
00:32Je nomme B1 la première base et B2 la deuxième base. Et on va dire que dans B1, j'ai les E1, EI, etc. et que ici, j'ai des F1, F2, FJ.
00:42Et là, on va jusqu'à N parce qu'on est de dimension N et ici de dimension P.
00:45La matrice, qu'est-ce qu'elle vous dit ? En fait, elle vous donne des informations sur les images par votre application F des éléments de la base que vous avez fixée dans E.
00:54Donc la première étape, c'est de calculer les images des éléments de la base par l'application.
00:59Ensuite, vous avez fixé une base à l'arrivée dans F.
01:03Donc ces gens-là, qui sont les images d'éléments de E, sont des éléments de F et s'expriment donc dans cette base.
01:09Et donc les coordonnées de ces gens-là dans la base B2 apparaissent ici en colonne.
01:15Ainsi, F de E1, qui est un élément de grand F, va s'écrire quelque chose fois petit F1, plus autre chose fois petit F2, plus nanana, plus quelque chose fois petit Fp.
01:26Et c'est quelque chose, les coefficients, c'est ce qui apparaît ici en colonne.
01:30Donc ligne I colonne J, vous avez la ième coordonnée du vecteur image F de EJ.
01:37Donc notez que la représentation de votre application linéaire en matrice dépend des bases que vous avez fixées au départ et à l'arrivée.
01:45Maintenant, très souvent, on vous demande de représenter des applications linéaires dans ce style, dans la base canonique.
01:50Qu'est-ce que ça veut dire ? Puisqu'on a précisé qu'il fallait fixer deux bases, une au départ et une à l'arrivée.
01:55Eh bien, dans le cas où l'espace de départ est le même que l'espace d'arrivée, ou alors que l'espace de départ et l'espace d'arrivée ont des bases canoniques,
02:03on fixe simplement la base canonique au départ et la base canonique à l'arrivée.
02:07Donc ici, pour R2 crochet X, notre base canonique, ça va être 1 grand X grand X2, et pour R3, notre base canonique, ça va être simplement ces vecteurs-là.
02:14Et je calcule simplement l'image par cette application F qui est définie de cette façon des vecteurs de la base canonique de R2 crochet X,
02:23qui pour rappel est l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égaux à 2.
02:27On va donc calculer F de 1, sachant que 1, il a A et B qui valent 0 et C qui valent 1,
02:33et donc son image, ça va être 0 moins 1, 2 fois 0, 4 fois 0, plus 1, moins 2 fois 0.
02:42Ce qui nous fait bien ceci.
02:44Pour F de X, on a 1 pour B, 0 pour A et C, et donc je te laisse vérifier qu'on obtient bien ceci.
02:50Et voilà pour F de X2.
02:51Allez, à toi de jouer, tu me fais pareil pour cette application G.
02:54Et en prime, j'aimerais que tu me dises aussi en commentaire si ceci est un isomorphisme d'espace vectoriel.
