On rappelle un critère de co-diagonalisabilité. Il faut savoir lenl redémontrer rapidement; c'est un classique d'algèbre linéaire.#matrice #algebre #vecteur #algebrelineaire

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00:00Cher Spé qui passe des concours, ceci est un petit rappel quotidien que si A et B sont des matrices diagonalisables,

00:05alors il est équivalent d'affirmer que A et B sont co-diagonalisables et que A et B commutent.

00:09Je m'explique.

00:10Être des matrices co-diagonalisables pour deux matrices A et B toutes les deux déjà diagonalisables

00:14signifie qu'il existe une matrice inversible P,

00:18telle qu'on a les égalités suivantes où DA et DB sont les matrices diagonales correspondantes à A et B respectivement.

00:23P DA P-1 est égal à A et B est égal à P DB P-1.

00:28Autrement dit, j'arrive à trouver une même base de vecteurs propres qui diagonalisent à la fois A et B.

00:34Le sens comme ça est facile à démontrer car il nous suffit de décomposer A et B de la façon précédente

00:39et donc j'ai ceci et au milieu j'ai P-1 fois P qui fait l'identité donc je me retrouve avec DA fois DB

00:44hors des matrices diagonales commutent puisque leur produit c'est simplement le produit des éléments diagonaux

00:49et le produit sur le corps K est commutatif et je fais apparaître P-1 et P

00:54et je me retrouve bien ici avec B et ici avec A.

00:56J'ai donc bien AB est égal BA.

00:59L'autre implication passe par la manipulation d'un sous-espace propre d'une des matrices

01:02pour montrer que c'est aussi un sous-espace propre de l'autre.

01:04Je te laisse mettre la démo en commentaire. Bisous !

01:06Sous-titrage Société Radio-Canada

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