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AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
  • 18/06/2025

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Personnes
Transcription
00:00Ça va corriger l'exercice 2 qui est tombé au bac de métropole.
00:03Sur la géométrie dans l'espace, let's go !
00:04Question 1, montrer que les droites sont séquentes en s.
00:07Alors étant donné qu'on nous donnait le point qui va être le point d'intersection,
00:10on pouvait être astucieux et aller un petit peu plus vite.
00:12Et essayer de montrer directement que s appartient à ça et ça.
00:15En mettant que les coordonnées de s sont égales au système paramétrique,
00:17ça donnait que la première coordonnée de s est égale à petit s,
00:20et donc en mettant moins un demi ici, on trouve bien 1, 1, moins un demi, 2 sur 2, 1.
00:25Et si moins un demi, ça se transforme en 1, ce qui nous fait bien 4.
00:27Et même ici, on trouvait petit t égale moins 1.
00:30Et on voit avec des vecteurs directeurs que ces vecteurs directeurs de ces droites
00:33ne sont pas collinéaires, donc les droites ne peuvent pas être parallèles.
00:36Mais comme on a montré que s appartient au 2,
00:38ça veut dire nécessairement qu'elles sont séquentes en s.
00:40Sinon le système des familles, tu connais, classique, ça marche, blablabla, blablabla.
00:45Check !
00:45Montrer que le vecteur n est un vecteur normal au plan ABC.
00:48Vous ne faites pas avoir, il faut d'abord montrer que ABC est bien un plan.
00:51Donc on a calculé les coordonnées de AB et AC.
00:53Je te laisse vérifier à partir des coordonnées des points ABC.
00:56Et on a bien sûr qu'ils ne sont pas collinéaires et donc que ABC forme bien un plan,
01:00puisque là j'ai un 0 et là ici je n'ai pas un 0.
01:02Et on aura donc que n est normal au plan ABC,
01:04si et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs non collinéaires de ce plan,
01:08c'est-à-dire deux vecteurs qui engendrent le plan.
01:10Ce qui est bien le cas de AB et AC.
01:11On regarde les calculs, je te laisse vérifier les produits scalaires, ça fait bien 0.
01:15Donc n est orthogonal à ces deux vecteurs, orthogonal au plan, il est normal au plan ABC.
01:20Check !
01:20En déduire qu'une équation cartésienne du plan ABC est donnée par ceci.
01:24On a un vecteur normal, donc d'après le cours on est de cette forme-là,
01:26en ayant mis les coefficients du vecteur normal devant XY et Z respectivement,
01:30et j'ai un D inconnu.
01:31Or je sais que C appartient au plan ABC.
01:33Donc je remplace XYZ par les coordonnées de C qui sont 1, 1, 1.
01:36C'est le plus facile, et on pouvait le faire avec les autres,
01:38ce qui donne ceci, ce qui donne bien D égale moins 7.
01:41D'où une équation cartésienne du plan ABC est donnée par ceci.
01:44Check !
01:45Première chose à vérifier que vous oubliez souvent,
02:12c'est déjà que H appartient au plan ABC.
02:14Pour être le projeté orthogonal de quelqu'un sur un plan, il faut être dans le plan.
02:17On remplace ces coordonnées dans le membre gauche de l'équation cartésienne de plan,
02:21et on obtient bien 0.
02:22Donc oui, H est dans le plan.
02:24Deuxième propriété qui caractérise le projeté orthogonal de S sur le plan ABC,
02:28c'est que le vecteur HS doit être orthogonal au plan.
02:30On a ces coordonnées-là, et en fait il est collinaire à N,
02:33dont on a déjà montré à la question précédente qu'il était normal au plan.
02:36On a un facteur 2 entre les coordonnées.
02:38Donc HS est bien normal au plan, H appartient au plan,
02:41oui, H est le projeté orthogonal de S sur le plan.
02:44Check !
02:45Petit b, on déduit qu'il n'existe aucun point M du plan ABC,
02:48tel que SM est strictement inférieur à racine de 21 sur 2.
02:51Quel est le lien ici ?
02:52On vous a parlé de projeté orthogonal,
02:53et maintenant on vous parle d'une distance SM avec M dans le plan.
02:56Le lien, c'est que d'après le cours,
02:58la distance entre S et un point du plan
03:00est minimisée par le projeté orthogonal de S sur le plan.
03:04Donc on va déjà calculer SH pour voir ce que ça donne.
03:06Ça donne racine de ces coordonnées-là au carré,
03:09donc 1 demi au carré, 1 quart plus 1 plus 4,
03:12ce qui fait 5 que je mets sur 4, 20 sur 4, 21 sur 4.
03:15Je mets les racines en haut et en bas,
03:17donc j'ai racine de 21 sur 2.
03:19Donc la plus petite distance de S à un point du plan,
03:21c'est ça, ce que j'ai rédigé ici.
03:23Donc on a que pour tout M dans le plan,
03:26la distance SM est supérieure ou égale à racine de 21 sur 2.
03:29Et donc il ne peut pas exister un point M dans le plan,
03:31tel que SM est strictement plus petit que racine de 21 sur 2.
03:35Check !
03:36Partie B, question 1, déterminer les coordonnées du point M en fonction de K.
03:40On va évidemment s'aider de cette relation.
03:41Si deux vecteurs sont égaux, leurs coordonnées sont égales 2 à 2,
03:44donc je calcule les coordonnées de CM et de KCS.
03:47Je ne connais pas celles de M,
03:48mais je dois quand même les exprimer pour avoir des égalités.
03:51Donc j'ai CM qui a pour coordonnées ceci,
03:54et KCS qui a pour coordonnées K fois les coordonnées de CS que j'ai calculées là.
03:58Rappel des coordonnées de C et de S pour que tu puisses vérifier mes calculs.
04:01Et donc en multipliant par K, j'obtiens bien que KCS c'est ceci.
04:05Mais comme les deux vecteurs sont égaux,
04:06j'ai l'égalité coordonnée par coordonnée,
04:09et donc j'en déduis que XM moins 1 est égal à moins 3K sur 2.
04:13Autrement dit, ces égalités-là,
04:15après avoir déplacé le 1 à droite de l'égalité.
04:18Check !
04:18Une question qui sort un petit peu des sentiers battus.
04:21Existe-t-il un point M sur le segment CS,
04:23tel que le triangle MAB soit rectangle en M ?
04:25Eh bien on n'a que MAB est rectangle en M,
04:27c'est-à-dire qu'il y a un angle droit en M,
04:28si et seulement si les vecteurs MA et MB sont orthogonaux,
04:31si et seulement si leur produit scalaire vaut 0.
04:33Et je calcule les coordonnées de ces deux vecteurs
04:36pour calculer leur produit scalaire en fonction de K.
04:38Oui j'ai du K puisque les coordonnées de M ont du K.
04:41Ne panique pas, ça va bien se passer.
04:42Et donc j'ai ceci fois ça, plus ça fois ça, plus ça fois ça.
04:46Ce qui me fait bien ceci.
04:48Et après je développe.
04:49Donc j'ai moins 2 fois 3K sur 2, moins 3K.
04:523K sur 2 fois 3K sur 2, 9K carré sur 4.
04:56Moins 2 ici, qui vient du 1 fois moins 2.
04:58Le moins 3K au 1, donc moins 3K.
05:00Et moins 3K fois moins 3K plus 9K carré.
05:03Tout ça égal à 0.
05:04Puisque je rappelle, on dit que ça équivaut à MAB rectangle en M.
05:08Je rassemble les carrés.
05:09Donc j'ai 9K carré sur 4 plus 9K carré.
05:11Je mets ça sur 4, donc ça me fait 4 fois 9, 36.
05:1436 plus 9, 45 sur 4K carré, ce qui est ici.
05:18Moins 3K moins 3K, ça fait moins 6K, moins 2 égale à 0.
05:23Je multiplie l'égalité par 4 et j'obtiens 45K carré, moins 6 fois 4, 24K, moins 2 fois 4, 8, est égal à 0.
05:31Je calcule delta, moins 24 au carré, 24 carré, moins 4 fois moins 8 fois 45.
05:36Ce qui me fait 2016, ce qui est 12 racines de 14 au carré.
05:40Et donc la première racine vaut moins 24, donc 24, moins la racine de delta, 12 racines de 14 sur 2 fois, 2 fois 45.
05:48J'ai un facteur 3 ici, ici et ici, donc je dégage 6, ce qui me fait bien ceci.
05:53Et ça c'est strictement négatif parce que 16 est inférieur à 4 fois 14.
05:5714, pourquoi ? Je prends simplement 4 et ça négatif, ça veut dire que 4 est inférieur à ceci et j'élève au carré.
06:05En le faisant dans le bon sens bien sûr, en partant de là, et vu que 16 est inférieur à 56, en prenant les racines,
06:11donc racine de 16 ça fait 4 et racine de 56 ça fait 2 racines de 14.
06:15Je trouve bien que 4 moins 2 racines de 14 est strictement négatif, divisé par un positif, tout ça c'est strictement négatif.
06:204, 2 quant à lui, c'est égal à 4 plus 2 racines de 14 sur 15 et ça c'est inférieur strictement à 1.
06:26C'est bien sûr strictement positif puisque j'ai que du strict positif en haut et en bas.
06:30Pourquoi c'est strict inférieur à 1 ? Parce que je vais simplement partir de cette inégalité et la manipuler pour avoir ce qu'il faut.
06:35Donc je multiplie par 15 et j'obtiens 4 plus 2 racines de 14 inférieur à 15.
06:40Je retranche 4 donc j'obtiens 2 racines de 14 inférieur à 15 moins 4, 11.
06:44J'élève au carré, donc 2 racines de 14 au carré ça fait 4 fois 14, ce qui fait 56.
06:50Comme on l'a fait tout à l'heure.
06:51Et 11 au carré fait 121 et bien sûr 121 est strictement plus grand que 56.
06:55Donc en réécrivant au propre dans le bon ordre, j'ai ceci plus grand que ceci.
07:00Je prends les racines carrées donc j'ai bien 11 plus grand que 2 racines de 14.
07:04Ce qui signifie que 15 est plus grand que 2 racines de 14 plus 4.
07:10Et donc en divisant par 15 que 1 est strictement plus grand que ce truc là.
07:13Donc on a montré que k2 est dans l'intervalle 0,1, ainsi il convient.
07:16Et en remplaçant dans les coordonnées de m, qui pour rappel avaient cette expression, je te laisse vérifier les calculs,
07:21j'obtiens que le seul point m qui convient, c'est celui-ci.
07:25Check final !
07:26Voilà, n'hésite pas à checker ma rédaction.
07:28Et on se retrouve tout de suite pour la suite de la correction.
07:30Bisous !

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