00:01Et bien ça va corriger l'exercice de Bach tombé en métropole !
00:04On attaque l'exercice 3 de géométrie dans l'espace avec les affirmations.
00:08On doit préciser si elles sont vraies ou fausses et justifier la réponse.
00:11Lis bien l'énoncé et moi je lis l'affirmation 1, une représentation paramétrique de la droite AB est ce truc-là.
00:16Alors les potos là fallait être bien concentré, on prend déjà AB pour avoir un vecteur directeur de cette droite
00:22et on extrait le vecteur directeur qui apparaît dans cette représentation paramétrique, donc moins 2, moins 1, 3.
00:27Attention l'erreur c'est de dire que comme c'est pas AB du coup c'est faux, on s'en fiche parce qu'on peut prendre n'importe quel vecteur collinéaire AB.
00:34Donc oui c'est pas le même qui apparaît ici, mais ils sont collinéaires de facteur moins 2, je multiplie celui-ci par moins 2 et j'obtiens bien AB.
00:41Donc ce vecteur est bien aussi un vecteur directeur de la droite AB.
00:45Et vu que j'ai le point B qui est évidemment dans la droite AB, j'ai bien un système paramétré comme ça avec les coordonnées du point B
00:51et les coefficients devant les facteurs T qui sont donc les coordonnées de mon vecteur directeur.
00:57Donc l'affirmation 1 était vraie, ça c'est bien une représentation paramétrique de AB.
01:01Check !
01:022, le vecteur ceci est normal au plan OAB.
01:05On doit déjà justifier que OAB est un plan, donc on prend les vecteurs OAOB et on voit évidemment qu'ils sont non collinéaires
01:10parce qu'il n'y a pas de relation de proportionnalité entre les deux.
01:13Par exemple 5 divisé par moins 1, ça ne fait pas moins 1 divisé par 3.
01:16Donc OAB c'est bien un plan.
01:19Et ensuite on aura que le vecteur N est normal au plan OAB si et seulement si il est orthogonal à chacun des vecteurs du plan
01:24ou en particulier à deux vecteurs non collinéaires du plan.
01:27Au hasard OAOB par exemple, j'ai calculé les produits scalaires.
01:31Le premier fait 0 ici, le deuxième ne fait pas 0.
01:34Conclusion, faux !
01:35Ce vecteur n'est pas normal au plan OAB.
01:37Check !
01:38Affirmation 3 à la question 2, les droits D et D' ne sont pas coplanaires.
01:42Donc on a deux systèmes paramétriques respectivement pour D et D' qui sont donnés ici.
01:45Et on essaye de voir.
01:46Pour être coplanaires, il faut qu'elles soient soit parallèles, soit séquentes.
01:49Et je teste le parallélisme.
01:50Non, elles ne sont pas parallèles puisque j'ai un vecteur directeur de l'un qui n'est pas collinéaire à un vecteur directeur de l'autre.
01:55Même bail, pas de relation de proportionnalité.
01:57Donc soit elles sont séquentes, soit elles sont tout simplement non coplanaires, non parallèles.
02:01Je résous donc le système en faisant l'égalité des quantités du système paramétrique.
02:05Et en isolant K, j'obtiens que K est égal 6 moins 4S.
02:09Et en remplaçant dedans, j'obtiens finalement que S est égal 5, K est égal moins 14.
02:13Et je remplace dans les coordonnées des systèmes paramétriques de D et D' et j'obtiens C de point, ce qui est absurde.
02:18Donc les deux droites ne peuvent pas avoir d'intersection puisque j'ai une incohérence.
02:22Ceci est vrai !
02:24Puisque d'après le cours, deux droites non parallèles qui n'ont pas d'intersection sont bien non coplanaires.
02:28Et enfin 4, on a tel plan et on veut savoir la distance de C au plan, est-ce qu'elle est égale à ceci ?
02:33Eh bien, soit je le projetais de C sur le plan, je calcule les coordonnées de CH en fonction de H.
02:38Vu que j'ai une équation cartésienne, je peux en déduire un vecteur normal du plan.
02:41Si H est le projeté de C sur le plan, nécessairement ça, c'est collinaire à ça.
02:44En particulier, ça nous dit qu'en haut et là, on a égalité.
02:47Et donc que XH égale ZH.
02:48Et donc que YH égale 1 moins XH en utilisant les autres relations.
02:52Puis en mettant dans l'équation de plan avec que D, j'obtiens ces coordonnées.
02:54Et donc ça pour H.
02:56J'ai rapidement checké, tout est OK.
02:57Et finalement, je calcule la distance et je trouve bien ce qu'il faut.
