00:00Quoi ? De l'arithmétique au bac ? Non, sérieux ! Tous les futurs bacheliers en sueur !
00:05On corrige tout de suite l'exercice 3 qui est tombé au bac du Maroc de 2025, filière sciences maths.
00:11Je te laisse lire l'énoncé et moi j'attaque avec la question 1, montrer que A puissance P moins 1 sur 2 est congrue à 1 modulo P ou que A puissance P moins 1 sur 2 est congrue à moins 1 modulo P.
00:22Eh bien déjà on nous dit que A est un entier qui est premier avec P, c'est-à-dire que comme P est un nombre premier, P ne divise pas A.
00:28Et on a donc tout donné sur un plateau, les hypothèses validées du petit théorème de Fermat que l'on va donc appliquer et on n'a que A puissance P moins 1 est congrue à 1 modulo P.
00:39Ce qui signifie que P divise A puissance P moins 1 moins 1, mais rappelez-vous que P c'est un nombre premier impair, en particulier P moins 1 est un nombre pair et donc ça c'est 2 fois P moins 1 sur 2, P moins 1 sur 2 est bien entier.
00:53Et donc je fais la factorisation puisque j'ai un truc au carré moins 1.
00:57Donc j'ai ceci au carré moins 1 carré, donc j'ai ça moins 1, facteur de ça plus 1.
01:02Et ensuite j'applique le lemme d'Euclide, P divise le produit de ces deux trucs-là, ça signifie que P divise l'un ou l'autre des deux facteurs.
01:10Donc je vais P divise ça ou ça.
01:12P divise ça, ça signifie que ceci est congru à 1 modulo P ou ceci est congru à moins 1 modulo P puisque P divise ça plus 1.
01:23Question 2, on considère dans Z l'équation A x carré congrue à 1 modulo P, soit x0, une solution de cette équation, a montré que x0 puissance P moins 1 est congrue à 1 modulo P.
01:33On a donc que x0 est une solution de l'équation, ce qui veut dire que x0 vérifie ceci, A x0 carré congrue à 1 modulo P, ce qui signifie que P divise A x0 carré moins 1.
01:43Si P divisé x0, alors P diviserait A x0 carré.
01:49Et donc P diviserait aussi toute combinaison linéaire à coefficient entier de ceci et de x0, autrement dit ça moins A x0 ou moins ça plus A x0 carré,
02:00carré, ce qui impliquerait que P divise moins 1 et donc P divise 1.
02:04Mais ça c'est absurde, P est un nombre premier impair, il ne peut pas diviser 1.
02:08Vu que P ne divise pas x0, ça veut dire que P est premier avec l'entier x0 et donc je peux appliquer le petit théorème de Fermat à x0 et j'ai donc que x0 puissance P moins 1 est bien congrue à 1 modulo P.
02:21Check 2B en déduire que A puissance P moins 1 sur 2 est congrue à 1 modulo P.
02:26J'ai encore une fois que x0 est solution d'équation et donc vérifie que A x0 carré est congrue à 1 modulo P.
02:32J'élève chacun des termes à la puissance P moins 1 sur 2 et d'après les propriétés de congruence j'ai que A puissance P moins 1 sur 2 fois x0 carré puissance P moins 1 sur 2
02:41est congrue à 1 puissance P moins 1 sur 2 modulo P.
02:43Mais ici on a les deux qui se simplifient donc j'ai x0 puissance P moins 1 et d'après la question 2A, x0 puissance P moins 1 est congrue à 1 modulo P.
02:51Donc par propriétés de congruence vu que j'ai ça fois ça, je peux dire que ça fois ça est congrue à ça fois 1 modulo P et ça c'est congrue à 1 modulo P.
03:00J'ai donc que A puissance P moins 1 sur 2 est congrue à 1 modulo P.
03:04Check pour cette question.
03:063A a montré que si P divise 2 puissance 2n plus 1 moins 1 alors 2 puissance P moins 1 sur 2 est congrue à 1 modulo P.
03:12Alors on va appliquer la question 2A avec x0 est égal 2 puissance n et A est égal à 2.
03:18Sachant qu'on a que le PGCD entre A et P est égal à 1 puisque P est un nombre premier impair, A est égal à 2.
03:25Si P divise 2 puissance 2n plus 1 moins 1 alors on peut affirmer que tout ceci est congrue à 0 modulo P
03:32autrement dit que ça c'est congrue à 1 modulo P par propriété des congruences.
03:36Mais d'après 2A et 2B si j'ai une solution à cette équation 2 fois truc au carré congrue à 1 modulo P
03:42nécessairement j'ai que A puissance P moins 1 sur 2 est congrue à 1 modulo P.
03:47C'est ce qu'on a démontré ici et ici.
03:49Donc si on a ceci alors nécessairement j'ai ceci.
03:54Check pour cette question.
03:543B en déduire que l'équation E, 11x plus 2 puissance 2n plus 1 moins 1 y est égal à 1 admet au moins une solution dans Z2.
04:01Donc ici on se place dans le cas où P est égal à 11 et on va montrer que 11 et 2 puissance 2n plus 1 moins 1 sont des nombres premiers entre eux.
04:09Si ce n'était pas le cas, vu que 11 est un nombre premier, dire qu'ils ne sont pas premiers entre eux c'est dire que 11 divise ce nombre là.
04:15Et donc en appliquant 3A, puisque P divise ce nombre là, j'en déduis que 2 puissance 11 moins 1 sur 2, donc P moins 1 sur 2 est congru à 1 modulo 11.
04:25Ça 11 moins 1, 10 sur 2, 5, donc 2 puissance 5 est congru à 1 modulo 11.
04:30Mais 2 puissance 5 ça fait 32 et 32 c'est congru à 10 modulo 11 parce que 32 moins 10 ça fait 22 et 22 c'est le double de 11.
04:37Et 10 c'est pas congru à 1 modulo 11 puisque 10 moins 1, 9 c'est pas divisible par 11.
04:43Absurdité !
04:44Donc on a bien que 11 et 2 puissance 2n plus 1 moins 1 sont premiers entre eux, c'est à dire que leur PGCD vaut 1.
04:51Et on applique le théorème de Bezouge et existence d'un couple d'entiers relatifs tels que 11 fois x plus 2 puissance 2n plus 1 moins 1 fois y est égal à 1.
05:01Check pour celui-là.
05:024A, montrez que F équivaut à 2 fois 2x plus 5 au carré congru à 1 modulo 11.
05:08On va simplement se laisser guider par les implications, donc j'ai ceci si et seulement si je développe ça,
05:13donc ça me donne ceci congru à 1 modulo 11.
05:16Là j'ai simplement appliqué l'identité remarquable et distribué le 2.
05:19Ce qui équivaut à dire que ceci est congru à la moins 33 modulo 11, puisque là j'ai un 16, donc du coup pour avoir 16, je retire 34.
05:27Et donc j'ai 1 moins 34 qui fait moins 33.
05:30Et donc là j'ai enlevé le 34, j'ai bien 16.
05:3316 plus 34 égale 50.
05:35Mais 33 c'est divisible par 11, donc moins 33 c'est congru à 0 modulo 11.
05:39Donc on a bien que ceci, c'est congru à 0 modulo 11.
05:42Mais ça implique que x carré plus 5x plus 2 est congru à 0 modulo 11, puisque 11 et 8 sont premiers entre eux.
05:47Je peux donc appliquer le lem de Gauss, 11 divise le produit, mais il est premier avec 8, donc forcément 11 divise ce facteur-là.
05:55Check pour ça.
05:56Et enfin 2b en déduire que l'équation f n'admet pas de solution dans z.
06:00Et bien si f admet une solution dans z, ça veut simplement dire qu'il existe un x anti-relatif tel que l'équation f est satisfaite.
06:07Et ça d'après la question précédente, ça signifie que 2x plus 5 est solution de 2 grand x carré congru à 1 modulo 11, ce qu'on a montré juste là.
06:15Pour rappel, 2 et 11 sont bien premiers entre eux.
06:17Mais d'après la question 2b, ça, ça implique que 2 puissance p moins 1 sur 2 est congru à 1 modulo 11, soit que 2 puissance 5 est congru à 1 modulo 11, mais ça on avait déjà vu avant que c'était absurde.
06:30Donc f ne peut pas avoir de solution dans z.
06:32Check.
06:32Voilà, dis-moi si tu penses l'avoir réussi si tu as passé l'épreuve, et si tu ne l'as pas passé, est-ce que tu penses que tu t'en serais bien tiré ?
