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AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
  • 13/06/2025

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Personnes
Transcription
00:00Punaise du dénombrement au bac ! Les FDP, fils de prouveur !
00:04Allez, si toi aussi tu veux pas être en PLS comme ceux qui ont passé ce sujet, regarde la correction de TotoAlgébri.
00:08Je te fais tout de suite le dénombrement avec des explications claires, et cet exercice va te paraître hyper intuitif.
00:14Je te laisse lire l'énoncé, qui d'ailleurs est disponible sur APMEP en propre.
00:18Merci à eux, et moi j'attaque avec la question 1, déterminer le nombre de séquences possibles.
00:22Eh bien déjà, note que la longueur des mots, entre guillemets, est de 4.
00:26Et pour chacune des places, on a 64 caractères possibles.
00:31Ici j'en ai 64, ici j'en ai 64, etc.
00:34Donc si ici j'en choisis 1, pour la première possibilité j'aurai par exemple petit A, grand A, etc.
00:39Toutes les possibilités, tu imagines bien que je ne vais pas toutes les lister.
00:43Et pour chacun d'entre eux, pour la deuxième, je peux encore en choisir 64.
00:49Donc après le petit A, j'ai 64 possibilités, après le grand A j'ai 64 possibilités, 64 pour chacun d'entre eux.
00:55Ce qui me fait que j'ai 64 qui chacun ont 64 branches de possibilités.
01:01Donc ne serait-ce que pour ce choix des deux-là, j'ai 64 fois 64.
01:05Et je reproduis le raisonnement au bout, j'ai 64 encore ici, et 64.
01:10Donc j'ai tout simplement 64 fois 64 fois 64 fois 64.
01:15Soit 64 puissance 4 séquences possibles, check !
01:18Et je précise pour relier ça au cours, que c'est tout simplement le nombre de quadruplets dans un ensemble qui contient 64 éléments.
01:26Ou 4 listes. 4 listes et quadruplets, c'est pareil.
01:30Question 2. Déterminer le nombre de séquences si l'on impose que les 4 caractères sont différents 2 à 2.
01:35Et bien là on peut faire un peu le même raisonnement pour le voir intuitivement.
01:37Donc dans la première possibilité, je vais mettre tout ce que je peux choisir.
01:41Par contre, comme on veut que ce soit distinct 2 à 2, après ici, je vais choisir quelque chose qui va être distinct de ce que j'ai mis ici.
01:51Donc toutes les possibilités à partir de petit a, ça va être tout ce que je peux mettre excepté petit a.
01:57En particulier, la liste à partir de petit a va commencer à grand a, petit b, nanana.
02:00Et à partir de grand a, petit a, petit b, nanana, etc.
02:04Donc pour chacun des scénarios là, après j'ai le nombre de possibilités moins celui que j'ai déjà choisi.
02:11Donc j'en ai plus que 63.
02:13Et pour les 64 premiers, j'ai 63 branches pour le choix des deux premières positions.
02:20Ce qui me fait donc les 64 premiers multipliés par les 63 branches que chacun des 64 a.
02:2664 fois 63.
02:28Je reproduis le même raisonnement, j'ai déjà choisi deux lettres.
02:30La troisième doit être différente des deux précédentes.
02:33Donc à partir des 63 ici, j'en ai plus que 62, 61.
02:39Ce qui me fait ceci, soit ceci si on écrit avec des factoriels.
02:44Si j'ai les factoriels, là le 60 factoriel, c'est tous les produits de 60 à 1.
02:4864 de 64 à 1.
02:50Et donc dans les 64, j'ai 64, 63, 60, tatatatata.
02:54Qui se simplifient avec les produits de 60 en bas.
02:56Et donc j'ai bien 64 fois 63 fois 62 fois 61.
02:59Ce qui fait 15 249 024.
03:04Pour la réponse à la question 2, check.
03:063a déterminer le nombre de séquences ne comportant pas de lettres A majuscule.
03:11Le principe est exactement le même que tout à l'heure, sauf que là dans notre alphabet, entre guillemets, j'ai pas le A majuscule.
03:16Donc j'ai 63 symboles seulement.
03:19Donc 63 pour lequel j'ai après 63 possibilités, etc.
03:22Donc j'ai bien 63 puissance 4 possibilités, soit 15 752 961 séquences possibles, check.
03:30Ouais pardon, gros flemmard, j'avais pas mis la valeur de 64 puissance 4 pour la question 1.
03:343b en déduire le nombre de séquences comportant au moins une lettre A majuscule.
03:39Et bien là c'est tout simple, c'est l'ensemble total des séquences auxquelles on enlève celles qui ne contiennent aucun A.
03:46Parce que ne contenir aucun A, c'est bien ça le contraire de contenir au moins une lettre A majuscule.
03:53Ce qui nous fait donc 64 puissance 4 moins 63 puissance 4, ce qui nous fait 1 024 255, check.
04:013c déterminer le nombre de séquences comportant exactement une fois la lettre A majuscule.
04:06Bon là ça se corse un peu, mais on va y arriver, reste avec moi, reste avec moi.
04:09On veut avoir exactement une fois la lettre A majuscule.
04:13Donc cette lettre là est déjà fixée.
04:15La question c'est de savoir où est-ce qu'elle sera.
04:17Elle sera soit ici, soit ici, soit ici, soit ici.
04:21Donc pour placer mon grand A, j'ai 4 possibilités.
04:25Je vais le mettre ici pour l'exemple.
04:26Et après j'ai plus qu'à choisir ce qu'il me reste.
04:283 places et 3 places pour lesquelles je n'ai plus que 63 possibilités,
04:33puisque je ne veux pas mettre le grand A.
04:36Donc là j'ai 63 caractères que je peux mettre,
04:39puis ensuite 63 caractères que je peux mettre,
04:41et 63.
04:43Donc j'ai bien un triplet de 63 caractères.
04:47Une fois bien sûr que la position de mon A est sélectionnée.
04:51Ce qui nous fait 4 pour les positionnements des A,
04:53fois 63 puissance 3 pour les triplets de caractères qui ne sont pas des grands A.
04:58Et j'ai au total 1 188.
05:02Check !
05:03Et enfin 3D, déterminer le nombre de séquences comportant exactement 2 fois la lettre grand A majuscule.
05:08Alors même raisonnement, il faut que je choisis sous-placer mes deux grands A.
05:13Je peux faire ici et ici, ou ici et ici.
05:16Et l'ordre de ces A ne compte pas, puisqu'ils sont indistinguables, ce sont tous les deux des A.
05:21Donc je dois choisir deux positions sans ordre dans les 4.
05:252 parmi 4.
05:26Je dois choisir deux places parmi 4.
05:30Vous l'avez compris, c'est un coefficient binomial, donc ici 2 parmi 4,
05:33puisque comme vous le savez d'après le cours,
05:35ça c'est le nombre de façons de choisir deux éléments dans un ensemble à 4 éléments.
05:39Et ici je choisis deux positions dans un ensemble qui contient 4 positions.
05:44Les positions étant bien sûr distinctes.
05:45Et après j'ai plus qu'à choisir mon duo ou mes couples parmi toutes les lettres excepté grand A.
05:50Et il y en a 63 au carré.
05:52Puisqu'encore une fois 63 possibilités, pour lesquelles j'ai encore 63 possibilités.
05:57Check !
05:58Voilà, j'espère que ça aura aidé à démystifier le dénombrement.
06:00Bisous !

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