Corrigé Exercice 2 Fonction Convexité et Intégrales Sujet Bac de Maths Métropole J1 2025 ⚡️

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00:00Regarde ce que tonton algébrite a préparé avec amour !

00:02Le corrigé de l'exercice 2 du bac tomber en métropole aujourd'hui même !

00:05Voilà, voilà, regarde bien l'énoncé, on enchaîne, moi j'attaque avec la question 1, partie A.

00:10Donc c'est de la lecture graphique et on veut déterminer le nombre dérivé f' de 1.

00:13Pour rappel, quand on fait de la lecture graphique, le nombre dérivé, c'est le coefficient directeur des tangentes.

00:18Donc on se place en 1 et on regarde la tangente à la courbe au point d'abscisse 1.

00:24Donc ici, le point d'abscisse 1, c'est exactement A, et la tangente, l'énoncé, nous dit que c'est TA.

00:29Donc je prends TA et je cherche son coefficient directeur.

00:32Pour trouver son coefficient directeur, il me faut deux points distincts qui sont sur la droite.

00:36J'ai le point A déjà, et il faut que je lise un autre point qui est facile à identifier.

00:40Par exemple celui-ci, il a pour coordonnées 0 et 1, 2, 3.

00:45D'ailleurs faites gaffe, vous ne faites pas avoir, c'est un repère orthogonal, pas orthonormé.

00:49Et donc j'applique la formule de calcul d'un coefficient directeur,

00:52yB moins yA sur xB moins xA, ce qui me fait ceci, ce qui me fait ceci.

00:57Parce que j'avais le point A de coordonnées 1, 2, et le point que j'ai pris après de coordonnées 0, 3.

01:02Check bien sûr.

01:04Combien de solutions à l'équation f' de x égale 0 admet-elle dans l'intervalle 0, 3, 0, xQ ?

01:09Bon bah c'est tous les endroits en fait où on a des tangentes qui sont horizontales.

01:13On voit que ce n'est pas possible là avant, parce que les tangentes sont comme ça.

01:16Elles sont comme ça, c'est comme ça, et là, paf, horizontale.

01:19Les tangentes horizontales, c'est la dérivée égale à 0,

01:22et ça se produit en des extrémums, pas que, mais déjà en des extrémums.

01:26Donc on en a un ici, ta ta ta ta ta ta, ça descend, ça descend, ça se, tac,

01:30re-horizontale ici, puisqu'on a un minimum,

01:33et ça remonte, ça remonte, ça remonte, et voilà.

01:35Donc ici on en a bien deux, c'est les extrémums, mais on n'en a pas d'autres.

01:39Check.

01:39Quel est le signe de f' de 0,2 ?

01:42Eh bien on se place en 0,2 et on monte au point de la courbe correspondant,

01:45et on regarde dans ce voisinage, comment est la courbe ?

01:48Quelle est sa convexité ? Convexe ou concave ?

01:50On voit ici qu'on est gonflé vers le haut, donc on est concave.

01:54Et d'après le cours, la concavité, ça équivaut au fait que la dérivée seconde est négative.

01:58Check.

01:59Partie B et C, question 1, résoudre cette équation en déduire que CF ne coupe pas l'axe des abscisses.

02:04Polynôme du second degré, on calcule le discriminant, tu connais les bails,

02:07il est strictement négatif, on n'a aucune racine réelle,

02:09et donc le signe du polynôme, c'est le signe du coefficient dominant 2 strictement positif,

02:13partout sur R.

02:14Donc peu importe le grand X et ses réels, on a que toute cette expression-là est strictement positive.

02:19En particulier, si on pose grand X est égal à ln de X,

02:22eh bien on a que toute cette expression est strictement positive.

02:25Puisque j'ai remplacé grand X par ln de X, j'obtiens bien ceci.

02:28Et ce, peu importe petit X strictement positif.

02:30Et justement, petit X est strictement positif,

02:32donc le produit des deux qui vaut F de X, son expression pour rappel,

02:37est bien strictement positif.

02:38Or on a que si F coupe au X, si et seulement s'il existe un X tel que F de X est égal à 0,

02:43un X dans R plus étoile bien sûr.

02:45Or elle est différente de 0 puisqu'elle est strictement positive,

02:47quel que soit X dans R plus étoile, et donc CF ne coupe pas l'axe des abscisses.

02:51Check !

02:52Déterminer la limite de F en plus l'infini ?

02:54Bah il est facile, on factorise par ln de X carré,

02:55parce qu'on avait une forme indéterminée dedans, ce qui donne ceci.

02:58J'ai factorisé par ln de X carré, donc là j'avais un 2 fois ln de X carré,

03:01donc je me retrouvais qu'un 2, j'avais juste un 3 ln de X carré,

03:04donc j'ai divisé par ln de X carré, ln de X sur ln de X carré,

03:08bah il m'en restait en bas, mais là j'avais rien,

03:09donc j'ai bien ln de X carré au dénominateur.

03:12Ceci, ça tend vers l'infini par produit,

03:14plus l'infini, plus l'infini au carré, plus l'infini par produit,

03:17donc plus l'infini, ça tend vers 0,

03:19parce qu'en bas ça tend vers plus l'infini par quotient,

03:21ça tend vers 0, ça tend vers 2, donc tout ça vers 2.

03:24et donc tout ça par produit ça tend vers plus l'infini

03:26la limite de f en plus l'infini c'est plus l'infini

03:29check

03:29on admet que f' vaut ceci

03:31montrez que pour tout x appartenant à machin f' est égal à ceci

03:34l'énoncé nous dit que f' est dérivable

03:36puisque f est 2 fois dérivable sur r plus étoile

03:39et donc je commence mon calcul avec f' pour n'importe quel x dans r plus étoile

03:43donc c'est égal à 2 fois 2 fois 1 sur x fois ln de x

03:47parce que pour rappel j'ai le 2 qui reste en facteur

03:49et la dérivée d'un truc au carré c'est 2 fois la dérivée du truc

03:53fois le truc lui-même puissance 1

03:55j'ai bien 2 fois la dérivée du truc fois le truc lui-même puissance 1

03:58ce qui me fait 4 ln de x sur x

04:00plus 1 sur x la dérivée de ln de x moins 1 0

04:03donc j'obtiens ceci, je factorise par 1 sur x, j'obtiens bien ceci

04:06check

04:07b étudier la convexité de la fonction f sur l'intervalle 0 plus infini

04:10et préciser la valeur exacte de l'abscisse du point d'inflexion

04:12on vous donnait l'information qu'il y a bien un point d'inflexion

04:15donc ça a orienté quand même vos calculs

04:17on résout l'équation f seconde de x est égal à 0

04:19donc j'obtiens ceci

04:21et donc j'isole le ln de x

04:23moins 1 divisé par k ça fait moins 1 quart

04:25j'applique l'exponentiel

04:27donc l'exponentiel de ln de x ça fait x

04:29et j'ai l'exponentiel de moins 1 quart

04:30et je refais les mêmes manips avec des inégalités

04:33si je suis strictement positif en faisant les mêmes manips

04:35je vais me retrouver avec x strictement supérieur à ça

04:37strictement négatif

04:39x strictement inférieur à ça

04:40et donc j'obtiens une dérivée seconde qui est négative ici

04:43et positive ici

04:44et donc concave et convexe

04:46pour la fonction f

04:47et donc comme j'ai changement de convexité

04:50au point d'abscisse ceci

04:51le point qu'il y a pour abscisse exponentielle de moins 1 quart

04:54et bien un point d'inflexion

04:56check

04:57montrer que la courbe cf est au-dessus de la tangente tb

05:00sur l'intervalle 1 plus l'infini

05:01on rappelle que tb c'est la tangente acf au point d'abscisse e

05:05mais on a montré qu'on est convexe sur e puissance moins 1 quart plus l'infini

05:08vu que ça c'est plus petit que 1

05:10puisque moins 1 quart c'est plus petit que 0

05:11et 1 c'est e puissance 0

05:13j'ai que f est convexe sur 1 plus l'infini

05:15qui est inclus dans cet intervalle

05:16où elle est convexe d'après la question précédente

05:18et donc f est au-dessus de chacune de ces tangentes

05:21en particulier

05:21elle est au-dessus de sa tangente en e

05:23e est strictement plus grand que 1

05:25donc on est bien dans l'intervalle

05:26bon ne nous demandez pas de l'écrire en termes d'inégalité

05:28mais ça pouvait donner une inégalité sympa

05:30on a 7 inégalités pour tout x dans cet ensemble

05:33bon on le cherche à la question d'après en fait

05:35de la tangente

05:35donc bon on ne demandait pas ça

05:37check

05:38participe calcul d'air

05:39question 1

05:40justifie que la tangente tb a pour équation réduite

05:41y est égale 2x moins e

05:43juste débat est calculatoire

05:45on applique la formule y est égale f prime de truc

05:47facteur de x moins truc plus f de truc

05:49puisqu'on prend la tangente au point d'abscisse petit e

05:51je remplace les expressions

05:53et je calcule et je simplifie

05:55on obtient bien ce qu'il faut

05:56je te laisse vérifier

05:57check

05:58question 2

06:00à l'aide d'une intégration par partie

06:01montrer que cette intégrale est égale à ceci

06:03ils étaient gentils

06:04ils vous disaient qu'il fallait faire une IPP

06:06les vrais savons

06:07on utilise la méthode

06:08LPET

06:08L logarithme

06:09on a du logarithme

06:10donc c'est lui qu'on va dériver

06:11c'est lui qu'on va primitiver

06:12on se pose pas plus de questions

06:13c'est parti

06:14on n'oublie pas les hypothèses à vérifier

06:16donc on va prendre x associé à l'n2x

06:17comme fonction à dériver

06:18et du coup comme ça

06:20c'est la dérivée

06:20on va la primitiver

06:21pour avoir

06:22l'autre fonction

06:23V

06:24et je dois justifier

06:26que les deux sont dérivables

06:27sur un E

06:28d'après le cours

06:29un polynôme logarithme

06:29et leurs dérivées sont continues

06:32leurs dérivées sont les mêmes dérivables

06:33ou sinon on sait qu'elles sont continues

06:34pareil d'après le cours

06:35donc je peux appliquer la formule d'IPP

06:37je pose que u c'est ln de x

06:39v prime c'est x

06:40u prime c'est ceci

06:41v c'est ceci

06:42et donc ceci c'est égal

06:44crochet u v

06:45ça

06:46moins l'intégrale

06:48de u prime v

06:50ceci

06:52j'ai 1 sur x

06:53multiplié par x carré sur 2

06:55les x se simplifient

06:56j'ai bien un x sur 2

06:57qui me reste

06:58je calcule en les bornes

06:59ln de e ça fait 1

07:00donc là j'ai bien un e carré sur 2

07:02ln de 1 ça fait 0

07:04donc le deuxième terme disparaît

07:05je primitive x sur 2

07:07un x carré sur 4

07:08entre 1 et e

07:09j'applique

07:10ça me fait moins e carré sur 4

07:12en e

07:13moins moins plus 1 carré 1 sur 4

07:17je mets celui-ci au même dénominateur

07:18que les autres

07:19donc je multiplie par 2

07:20donc j'ai 2 e carré

07:21moins e carré

07:21ce qui fait le carré

07:22plus 1 sur 4 au final

07:24check

07:25question 3

07:25on note a

07:26l'air du domaine

07:27hachuré sur la figure

07:28délimité par la courbe cf

07:29la tangente tb

07:30les droits d'équation x égale 1

07:31et x égale e

07:31celle-ci poteau

07:32on admet que cette intégrale

07:34vaut 7 valeurs

07:35en déduire la valeur exacte

07:36de a en unité d'air

07:37essayez de calculer

07:38cette intégrale en commentaire

07:39ça peut être un bon entraînement

07:41il faudra faire 2 IPP

07:42et vous choisissez

07:43comme fonction à dérivé

07:44ln de x carré

07:45et pour la deuxième intégrale

07:46sur laquelle il faudra

07:47refaire une IPP

07:48pour celle-là

07:49vous réappliquer

07:49elle pète

07:50bon quoi qu'il en soit

07:51nous on veut l'air

07:51de notre domaine

07:527 r c'est l'intégrale

07:54de f moins l'expression

07:55de la tangente

07:56pourquoi ?

07:57parce que f est au-dessus

07:58de tb d'après la question 3c

07:59ici

08:00ça c'est vrai

08:01sur l'intervalle 1 plus l'infini

08:02et là on est compris

08:04entre 1 et e

08:05donc 7 r hachuré

08:06c'est bien l'intégrale

08:07de l'expression ici

08:09moins l'expression ici

08:10c'est à dire ceci

08:12et donc je remplace

08:12f par son expression

08:13et la fonction affine

08:15par son expression

08:16je distribue tout

08:18et j'arrange

08:18ce qui me donne ceci

08:19et là je suis allé un peu vite

08:21mais j'utilise la linéarité

08:22de l'intégrale

08:23pour séparer ça

08:24je fais sortir le 2

08:24donc j'ai l'intégrale

08:25de x ln de x carré

08:27dx entre 1 et e

08:28mais ce truc là

08:29vaut ceci

08:29donc j'ai bien 2 fois ceci

08:31j'ai un moins 3

08:32qui sort par linéarité

08:33de l'intégrale

08:34l'intégrale de 1 e

08:35de x ln de x dx

08:36qui vaut ceci

08:37d'après la question précédente

08:38là pour rappel

08:39et l'intégrale

08:40d'une constante

08:41entre 1 et e

08:42c'est cette constante

08:42fois la différence des bornes

08:44donc ceci

08:44je mets tout au même dénominateur

08:46sur 4

08:46ce qui me donne ceci

08:47et après simplification

08:48j'obtiens ceci

08:49en unité d'air

08:50check

08:51regarde bien les étapes de calcul

08:52en faisant pause

08:53allez je te laisse prendre

08:54tout l'exercice

08:55et n'hésite pas à poser

08:56tes questions en commentaire

08:57si tu en as

08:58bisous

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