00:00Non, tu ne rêves pas, c'est bien le corrigé du bac de Métropole tombé aujourd'hui même, le 17 juin 2025.
00:05Et on corrige la deuxième partie de l'exercice 1, c'est-à-dire ceci.
00:08Donc je te laisse bien lire l'intro de la question 5, et moi je commence avec 5A.
00:12Justifier que X est une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
00:15Alors les amis, je vous avais montré des milliards de fois la rédaction modèle.
00:18Je le fais en note synthétique, mais n'hésitez pas à chercher sur mon profil la rédaction précise pour bien valider tous les points.
00:23On dit qu'on assimile ça à un tirage avec remise.
00:25Ça c'est une manière de dire en fait que le choix des personnes est indépendant.
00:29Donc on répète 100 fois de manière indépendante une expérience de Bernoulli avec succès, être un donneur universel.
00:35Et on considère la variable aléatoire qui compte le nombre de succès de cette expérience répétée 100 fois.
00:41Donc on a bien que grand X suit une loi binomiale de paramètre 100, 0,0714.
00:47Check, question 5B détermine à 10-3 près la probabilité qu'il y ait eu au plus 7 donneurs universels dans cet échantillon.
00:53Et on trouve ceci à la calculatrice à 10-3 près.
00:56Check, montrer que l'espérance X de la variable aléatoire grand X est égale à 7,14 et que sa variance VX est égale à 6,63 à 10-2 près.
01:03On applique le cours.
01:04L'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale CN fois P, donc 100 fois ceci, donc bien 7,14.
01:10Et de même la variance CN fois P fois A moins P, donc ceci fois ceci, donc ceci.
01:15Ce qui est bien 6,63 à 10-2.
01:18Check.
01:18Lis bien le début de la question 6 en mettant pause, et moi j'attaque avec la question 6A que représente la variable aléatoire MN dans le contexte de l'exercice.
01:25MN c'est la moyenne empirique sur toutes les villes, autrement dit c'est la moyenne de la quantité de donneurs universelles dans toutes les villes.
01:34Les N villes.
01:35Moyenne sur un échantillon de 100 personnes, puisqu'on fait un échantillon de 100 personnes dans chacune des villes.
01:39Calculez l'espérance de MN.
01:41L'espérance de MN, donc je remplace MN par son expression ici, et par linéarité de l'expérance je fais sortir un facteur 1 sur N.
01:47Et j'obtiens ceci, et donc comme toutes les VA X1 jusqu'à XN ont la même loi, celle de X qui est binomiale, et bien on a déjà son espérance,
01:56qui vaut 7,14, donc j'ai N fois 1, puisque j'ai 7,14 plus 7,14, ta ta ta, donc j'ai N fois 7,14 sur N, soit 7,14.
02:03Check.
02:03C, on désigne par VMN la variance de la variable et la taure MN, montrer que VMN égale 6,63 sur N.
02:09Donc VMN c'est V de ceci, et par propriété de la variance j'ai un facteur 1 sur N carré qui sort,
02:15puisque la variance quand j'ai un facteur constant qui multiplie une VA dans la variance, il sort au carré, donc j'ai 1 sur N carré ici,
02:21fois la variance de la somme des VA, or comme ces VA sont indépendantes entre elles par propriété de la variance et par indépendance de ces VA,
02:29j'ai que tout ceci c'est égal à 1 sur N carré, fois V de X1 plus V de X2 plus V de XN,
02:36qui ont toute la même loi, donc toute la même variance, donc N fois V de X1,
02:39les N se simplifient avec N2, et donc j'obtiens bien la variance que tout le monde a, 6,63 sur grand N.
02:45Check.
02:45Question 6D, qui en a ? Qui en a ? Tonton bien aimé !
02:50On vous le donne explicitement, c'est tranquille, déterminer la plus petite valeur de N pour laquelle l'inégalité de BT permet d'affirmer que cette proba est plus grande que 0,95.
02:56Pour une fois, la question d'ailleurs est bien formulée, c'est pas toujours le cas avec cette manip.
03:00Donc le premier pas à faire, c'est de transformer l'expression de cette probabilité-là pour avoir pile l'énoncé de BT qu'on peut appliquer,
03:08et ensuite pour pouvoir faire ce qu'il faut.
03:10J'ai donc que la proba que MN soit compris entre 7 et 7,28, c'est égal à la proba que MN moins l'espérance 7,14,
03:16se soit compris entre 7 moins 7,14, donc moins 0,14, et 7,28 moins 7,14, 0,14.
03:22Les événements dedans sont les mêmes, puisque les inégalités sont équivalentes, et donc les probas sont bien les mêmes.
03:28Mais ça, on sait que ça signifie que la valeur absolue de ce truc est strictement inférieure à 0,14.
03:34L'encadrement entre un truc et son opposé, c'est dire exactement que la valeur absolue du truc est plus petite strictement que 0,14.
03:41Voilà, je l'ai mis là en rapide.
03:42Mais le contraire de cet événement, c'est dire que la valeur absolue de ce truc est supérieure ou égale à 0,14.
03:47Et donc on va passer par la probabilité de l'événement contraire, donc cette probabilité-là, ça va être 1 moins la probabilité du contraire.
03:55Autrement dit, 1 moins ceci, la valeur absolue supérieure ou égale à 0,14.
03:58Et cette proba-là, d'après l'inégalité de bien-aimé Chebyshev, en appliquant delta est égal 0,14, et on a bien le supérieur ou égal ici,
04:07c'est inférieur à la variance de MN sur 0,14 au carré.
04:11Attention, cette proba-là est inférieure à la variance.
04:14Donc en multipliant par moins, moins la proba est supérieure à moins la variance sur 0,14 carré, concentre-toi.
04:21Et en rajoutant 1, l'inégalité ne change pas.
04:24Donc 1 moins la proba est bien supérieure ou égale à 1 moins la variance sur delta carré.
04:30Qui nous fait ceci ?
04:31Qui nous fait ceci ?
04:33Et nous, ce qu'on veut, c'est que ceci soit supérieur à 0,95, d'après l'énoncé.
04:37Ce qui équivaut à ça, ce qui équivaut à N supérieur à cette quantité qui vaut environ 6 765,31.
04:43Autrement dit, on veut N est égal à 6766 au moins.
04:48Et donc là, voici notre plus petite valeur de N pour laquelle l'inégalité de bien-aimé Chebyshev garante.
04:53Pour n'est ceci ?
04:54Check !
04:55Allez, je te laisse regarder toutes les notes de correction et n'hésite pas à poser tes questions en commentaire.
04:59Si bien sûr, quelque chose n'est pas clair, bisous !
