00:00Dans ce bas de tomber en asie, il était vraiment bizarre.
00:02Allez, on regarde ça, je te fais le corriger tout de suite.
00:04Exercice 3, je te laisse lire l'énoncé.
00:06J'attaque avec la question 1, calculer la valeur U2.
00:09Je réalise la relation de récurrence et je trouve 3,6.
00:11Question 2, montrer par récurrence que Un est égal à 10 moins 8 fois 0,8 puissance n moins 1 pour tout n strictement positif.
00:17Initialisation, ça marche.
00:19Je vais vous montrer que la formule est valide aussi pour n plus 1.
00:22Donc, n plus 1, c'est égal à ceci.
00:23D'après la relation par récurrence et par hypothèse de récurrence, je peux remplacer Un par cette expression.
00:27Je distribue le 0,8 fois 10, donc ça me fait bien 8.
00:30Et le 0,8 fois 0,8 puissance n moins 1, ça me fait 0,8 puissance n, puisque j'en avais n moins 1.
00:36Et là, j'en ai fois encore 1, donc j'ai ça.
00:39Et ce qui me donne bien ceci.
00:40Pour terminer la limite de Un et donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l'exercice.
00:44On utilise l'expression qu'on a trouvée à la question précédente, donc offrant la limite de ceci.
00:48Ceci, ça tend vers 0. Pourquoi ?
00:50Parce que 0,8 est compris entre moins 1 et 1 et ça, c'est une suite géométrique de raisons 0,8.
00:55Donc ceci tend vers 0, par produit avec ça 0, et donc tout ça, ça tend bien vers 10.
01:00Ça veut dire que si on prend un très grand nombre de prises de médicaments, on aura environ 10 ml du médicament dans le sang.
01:05Chèque.
01:06Question 4.
01:07Soyez d'un entier naturel strictement positif.
01:09L'équation Un supérieur ou égal à 10 admet-elle des solutions à interpréter le résultat de cette question dans le contexte de l'exercice ?
01:15L'équation Un supérieur à 10, donc j'ai ceci supérieur à 10, je retranche les 10, j'ai 0 supérieur à ceci, je divise par 8 des deux côtés, je me retrouve avec 0,8 puissance n-1.
01:260,8 puissance n-1, quel que soit n strictement positif, c'est strictement positif, donc ça ne peut pas être inférieur ou égal à 0, et donc il n'y a aucune solution.
01:34L'interprétation, c'est simplement qu'on ne peut pas avoir plus de 10 ml du médicament dans le sang, quelle que soit la quantité de prise.
01:41Check pour ça, et check pour ça.
01:435. Déterminer à partir de combien de prises de médicaments la quantité de médicaments présents dans l'organisme du patient est strictement supérieure à 9 ml, justifie la démarche.
01:50M-by, on demande en fait de résoudre cette inéquation, et donc je remplace Un par son expression d'après la question 2, je retranche 9 de chaque côté, j'ai 1 ici, je fais passer celui-là du côté droit, donc il devient positif, j'avais un moins là.
02:02Je divise par 8, donc j'ai un huitième plus grand que ceci, puissance n-1.
02:05J'applique le logarithme, donc par stricto croissance du logarithme, on est dans le même sens, ln de 1 huitième, ça va être n-1 à la puissance des 100 de ln de 0,8.
02:13Je divise par ln de 0,8 qui est strictement négatif, attention à ne pas se faire avoir, car 0,8 est entre 0 et 1, et entre 0 et 1, le ln est strictement négatif, 0 et 1 strict.
02:22Et donc j'obtiens que n-1 est plus grand que ça, n-1 plus grand que ceci, qui vaut environ 9,319.
02:29Autrement dit, n-1 plus grand que 10, et donc n supérieur ou égal à 11.
02:34A partir de 11 prises, check !
02:36C'est la partie B, je te laisse lire l'énoncé, et question 1, on demande de calculer S2.
02:40C'est simple, u1 plus u2 sur 2, ce qui me fait ceci, donc 2,8, check !
02:45Montrez que pour tout entier naturel n strictement positif, u1 plus u2, ta ta ta ta ta, jusqu'à un, est égal à ceci.
02:50Alors quand on voit ça, on ne panique pas, ça va bien se passer.
02:53J'écris tranquillement la somme un, donc je vais utiliser le symbole somme, et donc je remplace uk par son expression en fonction de k d'après la question 2.
03:01J'ai la somme pour k variant de 1 à n de ceci, puisque j'ai u1, ta ta ta ta ta, un, donc je vais bien de 1 à n, duk, et ça c'est uk.
03:10Alors l'inéarité de la somme, ça va être la somme des 10, moins la somme des 8 fois ceci.
03:16Puisqu'une somme d'une somme, la somme des sommes.
03:21Ça me donne deux sommes séparées, et la somme des 10, vu que j'ai n termes dans la somme, ça fait bien 10 fois n.
03:27J'ajoute 10, 10, 10, 10, n fois.
03:29Et je passe le 8 en facteur, puisque le 8 est à l'intérieur de la somme, mais il peut factoriser tout le monde.
03:34Et donc j'ai la somme de ceci, et je reconnais la somme des termes d'une suite géométrique,
03:39qui vaut 1 moins raison, nombre de termes, donc je vais de 1 à n, je suis puissance n, sur 1 moins la raison.
03:47D'ailleurs on note que ici c'est 1, parce que k commence à 1, mais on n'a qu'à moins 1,
03:51donc on a 0,8 puissance 0, donc 1, plus 0,8 puissance 1, jusqu'à 0,8 puissance n, moins 1.
03:57C'est pour ça qu'ici j'ai 1 puissance n.
03:591 moins 0,8, ça fait 0,2, 1 sur 0,2, ça fait 1 fois 5 en haut.
04:04Donc j'ai 8 fois 5, 40, et donc j'ai 40 en facteur de tout ça,
04:07j'avais le 10 n devant, je distribue le 40, j'ai donc 10 n moins 40, moins 40 fois 1,
04:13plus 40 fois 0,8 puissance n, check.
04:16Question 3, calculez la limite de sn.
04:17Après la question précédente, sn c'est l'expression qu'on a trouvé juste avant,
04:21divisé par n, ce qui donne ceci.
04:22Déjà la limite de 10 moins 40 sur n, c'est égal à 10,
04:25ceci, cette limite c'est 0, par addition on a bien 10.
04:28Ensuite il faut trouver la limite de 0,8 puissance n sur n.
04:30Et bien là on va utiliser les gendarmes, 0,8 puissance n sur n, c'est compris entre 0 et 1 sur n.
04:34Pourquoi ? Parce que 0,8 puissance n est compris entre 0 et 1,
04:37et je divise tout par n, 0 divisé par n ça fait 0, ça ça fait ça,
04:41et j'ai 1 sur n ici.
04:42Et j'ai que 0 tend vers 0 quand même tend vers l'infini, 1 sur n aussi.
04:46Donc d'après le théorème des gendarmes,
04:47j'ai bien que la limite de 0,8 puissance n sur n, c'est 0.
04:51Ainsi par addition, la limite de sn sur n est égale à 10, check.
04:554, on donne la fonction mystère écrite en Python,
04:57et donc voici la fonction.
04:59On demande dans le contexte de l'énoncé,
05:01c'est ce que représente la valeur que renvoie la fonction mystère
05:04quand on l'applique à 9.
05:06La fonction mystère, n démarre à 1,
05:08puis ensuite on prend s égale 2,
05:10comme vous en doutez, la première valeur de sn,
05:12donc c'est s1, n égale 1, ça c'est le rang.
05:15Et tant que s est inférieur à k,
05:16donc tant que s est strictement inférieur à 9,
05:20k c'est 9, ici,
05:21n prend n plus 1,
05:23et s prend la valeur de l'expression que j'avais en fonction de n.
05:28Donc à la première étape, j'étais à n égale 1,
05:30n est devenu 2,
05:31et donc s prend la valeur pour n égale 2,
05:34donc autrement dit s2.
05:36On voit d'ailleurs que dans le code Python,
05:38on a bien mis l'expression qui correspond à toute cette somme-là,
05:41divisée par n.
05:42Et donc j'ai s2, je recommence la boucle,
05:44je teste si s est plus petit que 9,
05:46et si ce n'est pas le cas, je recommence,
05:48donc je suis à n égale 3,
05:49et là s va être remplacé,
05:51donc il va prendre la valeur s3,
05:52je teste s3,
05:54et ainsi de suite,
05:54et ainsi de suite,
05:55et à un moment donné,
05:57comme s va augmenter,
05:58mais que s est croissant,
05:59et qu'elle tend vers 10,
06:00forcément à un moment donné,
06:02il y a une première valeur pour laquelle on va dépasser 9,
06:05et là on ne va pas aller dans la boucle,
06:07on va sortir et on va afficher n,
06:08et bien ce n,
06:09ce sera le premier entier
06:11pour lequel je suis supérieur ou égal à k,
06:13ici 9.
06:14La réponse est que Mystère nous renvoie la plus petite valeur
06:16pour laquelle sn est supérieure ou égal à n,
06:19plus petite valeur de n.
06:20Check.
06:21Enfin 5,
06:21justifiez que cette valeur est strictement supérieure à 10.
06:23On calcule S10,
06:24qui donne cette quantité-là,
06:26qui vaut environ 6,43,
06:27et ça c'est bien strictement inférieur à 9.
06:30Tu peux multiplier par 10 l'inégalité,
06:32puis faire passer le 100 moins 40 de l'autre côté,
06:34diviser par 40,
06:35pour dire que 0,8 puissance 10 est bien plus petit que 1,
06:38puisque 0,8 est plus petit que 1,
06:40et la puissance 10, pareil.
06:41Mais vu que sn est croissante,
06:43forcément, les valeurs de n qui sont inférieures ou égales à 10,
06:47donc les entiers compris entre 1 et 10,
06:49sont tels que sn est inférieur ou égal à s10,
06:53qui lui-même est strictement inférieur à 9.
06:54Donc tous les sn pour n entre 1 et 10 sont inférieurs strictes à 9.
06:59Donc mystère de 9 qui renvoie l'entier le plus petit pour lequel on est strictement supérieur à 10,
07:04ne peut pas être un de ces entiers-là,
07:06car chacun de ces entiers, on est strictement plus petit que 9,
07:09alors que pour cet entier-là, on est supérieur ou égal à 9.
07:13Voilà, c'était une question un petit peu inhabituelle,
07:15on a rarement ce genre de questions pour les exercices sur les suites,
07:19et notamment dans les algorithmes de seuil avec du Python.
07:21Concentrant, ça se faisait quand même bien.
07:23Je te laisse checker les notes de correction,
07:25et si jamais tu as une question, n'hésite pas à la poser en commentaire.
