On détaille le raisonnement par récurrence de la question 3 partie B Exercice du sujet de Bac tombé en Centres étrangers Jour 2 le 13/06/25.#correction #corrige #bac2025 #bac #spemaths #terminale #suite #recurrence

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Regardez On détaille le raisonnement par récurrence de la question 3 partie B Exercice du sujet de Bac tombé en Centres étrangers Jour 2 le 13/06/25.#correction #corrige #bac2025 #bac #spemaths #terminale #suite #recurrence - AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥 sur Dailymotion

Transcript

00:00Quoi ? Des récurrences au bac ?

00:02Ça suffit, monsieur, ça suffit !

00:04Enough !

00:05Ça tombe très souvent, c'est un classique.

00:07Comme tu t'en doutes, il faut que tu t'y prépares.

00:09Donc je te fais le corriger de la question 3, partie B.

00:12Exercice 1 du sujet 2, tomber en centre étranger sur le raisonnement par récurrence.

00:15Et je te montre la rédaction parfaite du raisonnement par récurrence.

00:18Donc sois bien attentif, reste jusqu'au bout de la vidéo et screen.

00:21On commence en exprimant la propriété qu'on veut démontrer.

00:24Donc soit PN, cette propriété-là.

00:25Démontrons que pour tout N antinaturel, PN est vrai à l'aide d'un raisonnement par récurrence.

00:32Initialisation, on vérifie P0.

00:34D'une part, V0 est égal à 6.

00:37D'autre part, V1 est égal à F de V0.

00:40Je fais le calcul, j'obtiens 4,8.

00:42On a donc bien que 2 est inférieur ou égal à 4,8, qui est inférieur ou égal à 6,

00:46qui est bien évidemment inférieur ou égal à 6.

00:48Soit 2 inférieur ou égal à V1, 4,8.

00:51Inférieur ou égal à V0, qui vaut 6.

00:54Inférieur ou égal à 6.

00:56Donc P0 est vrai. Check.

00:58Maintenant, tu me retiens bien cette rédaction de l'hérédité

01:01et tu m'oublies tout de suite celle de ton prof,

01:02surtout si tu passes en prépa l'année prochaine.

01:05Soit qu'un antinaturel tel que PK est vrai,

01:07c'est-à-dire j'ai réexprimé la propriété avec des K.

01:10Montrons que PK plus 1 est vrai,

01:12c'est-à-dire j'ai réexprimé la propriété,

01:14mais en remplaçant les K par des K plus 1.

01:15Donc j'ai bien un VK plus 2 en premier, puis un VK plus 1 ensuite.

01:19Par hypothèse de récurrence, on a ceci.

01:21J'ai simplement repris ça.

01:23Et je vais appliquer la fonction F sur ça.

01:25Pourquoi ? Parce que dans le contexte,

01:27on a démontré juste avant que F est croissante sur l'intervalle 0,10.

01:30Alors attention, j'ai vu des confusions dans les commentaires de mes vidéos.

01:33Certains pensaient que ça ne marchait que pour V0, V1, V11.

01:37Attention, les valeurs sur lesquelles F est croissante,

01:39c'est les valeurs de X qui sont là-dedans.

01:42Mais ici, regardez, ce n'est pas les N qui sont là-dedans.

01:45L'hypothèse de récurrence nous dit justement que VK et VK plus 1 sont dans 2,6.

01:50Mais 2,6, c'est un ensemble qui est inclus dans 0,11.

01:54Donc si j'applique F à ça, j'ai les images dans le même ordre,

01:58puisque toutes ces valeurs-là sont dans un ensemble sur lequel F est croissante.

02:03On applique donc F et on obtient cette inégalité-là avec les images.

02:07F de 2 inférieur ou égal à F de VK plus 1, inférieur ou égal à F de VK, inférieur ou égal à F de 6 par croissance de F.

02:15Je remplace le F de VK plus 1 en VK plus 2, le F de VK en VK plus 1.

02:18F de 2, ça vaut 2. F de 6, ça vaut 4,8 qui est inférieur ou égal à 6.

02:22Et j'ai bien démontré que 2 est inférieur ou égal à VK plus 2, qui est inférieur ou égal à VK plus 1, qui est inférieur ou égal à 6.

02:28La propriété est héréditaire sur N et je mets ma belle conclusion bien rédigée.

02:32La propriété est vraie au rang 0 et de plus elle est héréditaire sur N.

02:35donc la propriété est vraie pour toute aide antinaturelle

02:37d'après le principe du raisonnement

02:39par récurrence. Allez, screen bien

02:41toute la rédaction en entier, apprends-la par cœur

02:43et s'il te plaît, s'il te plaît

02:45reproduis-la le jour de bac si on te pose une question

02:47sur une récurrence. Voilà, n'hésite pas si tu as

02:49des questions, pose-les en commentaire. Bisous !

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