Exercice 3 Baccalauréat Centres étrangers sujet 1 question 4.Équations différentielles.Sujet tombé le 05/06/24#bac #bacdemaths #equationdifferentielle

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00:00Si tu as cette question au bac de maths, tu écouc !

00:02Reste ici, tourtro algébri, t'explique tout de suite comment faire pour répondre à une question de ce style de manière satisfaisante.

00:07Beaucoup d'élèves ne comprennent pas comment faire.

00:09On demande de montrer que f et solution de e équivaut à f-h et solution de e0.

00:15Qu'est-ce que ça signifie ?

00:16Simplement que tu essaies de démontrer que deux phrases, deux affirmations, sont conséquences l'une de l'autre.

00:21Tu veux montrer que si on sait que f est une fonction telle que f et solution de e,

00:25alors on sait ou alors on a pour conséquence que f-h est une solution de e0.

00:32Et de même, tu veux montrer que si on sait que f-h est solution de e0,

00:35alors on a pour conséquence que f est solution de e.

00:38h est la fonction qui t'a été introduite ici dans l'énoncé.

00:40Ce qu'on te demande de démontrer ici, ce sont des implications.

00:43Ça ne veut pas dire que f est solution de e.

00:46Et ici, ça ne veut pas dire que f-h est solution de e0.

00:49Ce que signifie cette implication, c'est

00:51imagine que tu es dans un monde où f est solution de e.

00:54Alors, il faut montrer que dans ce monde-là,

00:58nécessairement f-h est solution de e0.

01:00Et de même pour la deuxième implication.

01:02Mais ça ne veut pas nécessairement dire que c'est vrai.

01:05Comment on montre cette double implication ?

01:06Eh bien, on va commencer par la verte.

01:08Vous commencez votre rédaction par cette phrase-là

01:10qui synthétise ce qu'on veut faire.

01:12C'est hyper important pour que vous ayez les idées claires.

01:15Soit f, tel que f est solution de e,

01:17c'est le début de l'implication,

01:19montrons que f-h est solution de e0.

01:22C'est notre objectif.

01:23Donc, concentrez-vous.

01:24Le but, c'est de montrer que f-h est solution de e0.

01:27C'est quoi e0 ?

01:28Oui, c'est cette équation différentielle-là.

01:30Donc, notre but, c'est d'arriver à montrer que f-h

01:32vérifie cette égalité-là.

01:35Mais pour vérifier une égalité, rien de plus simple.

01:37Il suffit simplement de calculer le membre gauche

01:39et de voir qu'on obtient le membre droit,

01:41ou inversement.

01:42Donc, je veux montrer que f-h est solution de e0.

01:45Je commence par f-h' égale.

01:47Et en calculant, avec les informations que j'ai,

01:50j'espère trouver f-h, c'est-à-dire y.

01:53C'est bien de là qu'il faut partir pour pouvoir aboutir.

01:56Parce que si vous voulez démontrer une égalité,

01:58naturellement, vous partez du membre gauche de l'égalité

02:01pour arriver au membre droit, ou inversement.

02:03L'hypothèse f et solution de e va être utilisée en cours de route.

02:06Vous n'êtes pas nécessairement obligé de commencer votre raisonnement avec ça.

02:09Et donc, on écrit ce que vaut f-h' d'après les règles de dérivation.

02:12Ça vaut f' moins h' et là, il faut réfléchir.

02:16Votre but, c'est de retomber sur f et h.

02:18Donc, la question que vous devez vous poser,

02:20c'est quoi le lien entre f' et f, h' et h.

02:24Et là, dans le début de votre raisonnement,

02:26vous êtes dans un monde où f est solution de e.

02:28Donc, il va falloir utiliser cette info.

02:30Ça veut dire quoi être solution de e ?

02:32Ça veut dire que la fonction f doit nécessairement vérifier cette égalité.

02:35f' est égal f moins cos x moins 3 sin x.

02:38Donc, je peux l'utiliser ici et remplacer f'

02:40et je garde à l'esprit ce que vérifie h.

02:43Oui, parce qu'on ne vous l'a pas introduite pour rien, cette fonction.

02:45Question 3, démontrer que la fonction h est solution de e également.

02:50Donc, h vérifie aussi cette égalité.

02:52Donc, je remplace f' par f moins cos x moins 3 sin x

02:55et h' par la même chose en mettant les parenthèses avec le sin moins.

02:59Je distribue le sin moins ici et j'ai simplification.

03:02Et j'obtiens après simplification f moins h,

03:04autrement dit que f moins h' est égal à f moins h.

03:07Mais j'ai une fonction prime qui est égale à la même fonction.

03:11Ça, c'est exactement dire qu'on est solution de e0.

03:14Et je peux donc conclure f moins h est solution de e0.

03:17Check !

03:18Ici, j'ai donc bien montré que si f est solution de e,

03:21nécessairement f moins h est solution de e0.

03:24On va maintenant procéder pour l'implication inverse.

03:27Soit donc f tel que f moins h est solution de e0.

03:30Le h est déjà fixé, donc on ne met pas soit f moins h.

03:33Montrons que f est solution de e.

03:36On veut montrer que f est solution de e.

03:38Autrement dit que f vérifie cette équation différentielle, cette égalité.

03:42Donc on écrit le membre gauche de l'égalité,

03:44on calcule avec les informations de l'énoncé

03:46et on espère trouver le membre droit.

03:48On écrit f prime égal.

03:50Et là, il va falloir utiliser l'hypothèse que f moins h est solution de e0.

03:53Donc on va écrire ce que ça signifie exactement en termes d'égalité sur le brouillon.

03:58Et donc j'ai réexprimé la condition que f moins h vérifie l'équation e0.

04:02Notez que je l'ai fait ici en isolant f prime.

04:05Puisque pour rappel, vérifier u0, c'est vérifier que la dérivée est égale à la fonction.

04:10Tu t'en rappelles quand même.

04:11Donc ici, je peux exprimer f prime comme étant égal à ceci.

04:14Et là, il faut absolument rester concentré.

04:16Notre but est d'obtenir f prime est égal f moins cos moins 3 sinus x

04:21puisqu'on veut montrer que f est solution de e.

04:23Je veux obtenir cette égalité.

04:25Donc ici, il faut faire preuve de bon sens.

04:27Qu'est-ce que je vais devoir remplacer pour avoir une chance d'y arriver ?

04:30Nécessairement, ça va être les h et h prime.

04:32Et donc, je dois me poser la question, mais qu'est-ce que je sais sur h et h prime ?

04:37Encore une fois, on sait que h est solution de l'équation différentielle e.

04:40Ça signifie qu'elle vérifie cette égalité.

04:43Autrement dit que h prime moins h, si on veut passer le h de l'autre côté,

04:47est égal à moins cos x moins 3 sinus x.

04:50On a h prime moins h ici.

04:51Donc, on remplace et on a que f prime est égal à f moins cos x moins 3 sinus x.

04:57Check !

04:58Et petite phrase pour conclure, donc f est bien solution de e.

05:01Et maintenant, c'est à toi de jouer avec ces deux équations différentielles.

05:04T'introduis la fonction h définie par cette expression.

05:07Je te demande en premier de démontrer que h est solution de e,

05:11et en deuxième de démontrer l'équivalence que f est solution de e,

05:14si et seulement si f moins h est solution de e0.

05:17Je rappelle les équations ici.

05:19Lâche ta réponse en commentaire, BG.

05:21Bisous !

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