Équation différentielle et Transformée de Laplace 🌬

AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥

Regardez Équation différentielle et Transformée de Laplace 🌬 - AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥 sur Dailymotion

Transcript

00:00Aujourd'hui, on va résoudre cette équation différentielle d'ordre 2 avec ces deux conditions initiales.

00:04Comme tu l'as peut-être deviné, c'est un exercice classique de transformer de la place,

00:07et la transformer de la place est définie de cette façon.

00:10Pour peu qu'elle existe, pour certaines valeurs de z complexes ou réelles.

00:14Notons qu'une condition suffisante d'existence est le fait que f soit L,

00:17c'est-à-dire que f soit intégrable sur 0 plus l'infini,

00:20c'est-à-dire que l'intégrale de la valeur absolue de f sur 0 plus l'infini existe,

00:24et si on a cette condition, alors la transformer de la place est définie pour z strictement positif

00:31ou pour z complexe à partie réelle strictement positive.

00:34Comment donc utiliser la transformer de la place pour résoudre cette équation différentielle ?

00:38La stratégie va être d'appliquer la transformer de la place à cette égalité.

00:42Je l'applique à cette fonction-là dans le membre gauche et je l'applique à cette fonction-là dans le membre droit.

00:46Pour cela, on va supposer que y est tel que sa transformer de la place existe pour certaines valeurs de z.

00:52Autrement dit, on suppose qu'il existe y, une solution à cette équation différentielle

00:56et vérifiant ses conditions initiales, qui, en plus, admet une transformée de la place.

01:01Il n'est pas très difficile de montrer que si y admet une transformée de la place,

01:05alors y' et y' aussi.

01:07Et enfin, on va se restreindre pour l'instant à l'intervalle ouvert 0 plus l'infini.

01:11Parce qu'on verra que c'est là qu'on n'a pas de problème pour les valeurs de t.

01:15Donc toutes mes fonctions côté gauche de l'égalité admettent une transformée de la place,

01:18et donc j'applique la transformée de la place à l'égalité.

01:21Et comme la transformée de la place est une application linéaire,

01:24par linéarité de la transformée de la place,

01:26j'obtiens bien 2 transformées de y secondes,

01:29plus 3 transformées de y prime,

01:31plus transformées de y est égale à la transformée de ceci.

01:35Et attention, pour résoudre ce genre d'équation différentielle,

01:37il va falloir bien, bien, bien connaître vos propriétés de transformée de la place.

01:41Parce que l'idée, en fait, en appliquant la transformée de la place,

01:43c'est que les propriétés de la transformée vont faire que ceci,

01:46ça va grosso modo être juste de la transformée de y,

01:50puisqu'elle a une action particulière sur la dérivation.

01:52Et donc j'aurai la transformée de y est égale à une certaine fonction,

01:56que je connais explicitement,

01:57et donc je sais qu'elle est la transformée d'une autre fonction.

02:01Et vu que la transformée de la place est injective,

02:04si là je reconnais de qui elle est la transformée de la place,

02:07ça me donne en fait le y.

02:09Mais on va détailler tout ça dans la suite, ne t'inquiète pas.

02:11Bon, quoi qu'il en soit, j'utilise la première propriété,

02:13qui est que la transformée de y seconde, c'est z carré,

02:16la variable de la transformée,

02:18transformée de y moins z fois y de zéro moins y prime de zéro.

02:26Ici, y est deux fois dérivable, donc elle est continue.

02:28Normalement, là, on a des limites dans les formules théoriques,

02:30mais là, ça ne pose pas de problème.

02:32Et de même, propriété de la transformée de y prime,

02:34j'ai trois facteurs de z transformée de y moins y zéro,

02:38plus la transformée de y qui est égale à moins la transformée de l'exponentielle prime,

02:44puisque multiplié par t dans la transformée de la place,

02:48ça nous fait sortir un moins et ça nous met un prime dans le résultat de la transformée.

02:53Ça se démontre assez simplement à partir de l'expression de la transformée de la place

02:57et d'une intégration par partie.

02:58Je reviens côté gauche et j'ai que y zéro est égal zéro,

03:01donc ça, ça dégage.

03:03Et ça également, ça dégage.

03:04Et de plus, j'ai que y prime de zéro est égal à moins 2,

03:07donc j'ai moins y prime de zéro, moins moins 2, plus 2, fois 2,

03:11donc je me retrouve bien avec un plus 4 ici.

03:14Et là, j'ai que des facteurs de la transformée de y.

03:172 z, 2 ici, 3 z et 1.

03:21Et c'était justement l'intérêt d'appliquer la transformation de la place.

03:24Je me retrouve donc avec tout ceci,

03:26fois la transformée de la place,

03:27plus 4 est égal à tout ceci prime avec le moins devant,

03:31puisque 1 sur z plus 3, c'est la transformée de exponentielle moins 3t.

03:37Si je remplace la fonction par exponentielle moins 3t,

03:39j'ai moins z plus 3, le tout facteur de t,

03:42qui se primitive en divisant par le moins z plus 3.

03:46J'applique en plus infini en zéro,

03:47là, l'ennemi temps plus infini vaut zéro.

03:49J'ai les deux moins qui se simplifient.

03:51Et j'obtiens bien ceci,

03:52il fait vraiment le calcul sur ton brouillon.

03:54Et ceci se dérive en ceci.

03:56Donc j'obtiens que tout ça est égal à ceci,

03:59et donc je retranche 4 et je divise par ça,

04:01je retranche 4, je mets au même dénominateur,

04:03ce qui me fait ceci,

04:05et après je divise par ça,

04:06ce qui me fait apparaître ici au dénominateur.

04:08Je développe tout ça et je mets le moins en facteur,

04:12ça me donne bien ceci.

04:13J'ai 4z², 4 fois le double produit, 6z,

04:18moins 4 fois 9, pardon,

04:22ce qui fait moins 36 plus 1, moins 35,

04:24donc j'ai bien tout ceci avec le moins devant.

04:26De même, j'ai factorisé le dénominateur,

04:28ici j'ai factorisé par 2,

04:30d'où le 2 ici,

04:31et donc j'ai fait delta,

04:33et je trouve comme racine moins 1 et moins 1 demi.

04:37Et donc pour reconnaître de qui ceci est la transformée de la place,

04:40on va faire une décomposition en éléments simples,

04:42puisque les fractions rationnelles,

04:43qui n'ont qu'un seul pôle au dénominateur,

04:45on sait très bien,

04:46c'est les transformées de la place de qui.

04:48Et c'est la méthode générale pour trouver

04:50les inverses de transformées de la place

04:52de toutes les fractions rationnelles.

04:54J'ai donc la transformée de la place en z

04:56est égale moins 1 demi,

04:58facteur de la décomposition en éléments simples

05:00de toute cette expression-là.

05:02Donc j'ai bien un coefficient sur z plus 1

05:04dû à ce dénominateur,

05:06un coefficient sur z plus 1 demi

05:08dû à celui-ci,

05:09un coefficient sur z plus 3

05:11et un sur z plus 3 carré

05:13dû à celui-ci.

05:14Je ne détaille pas la DES,

05:15j'ai fait une vidéo pour expliquer ça,

05:16tu peux regarder dans la description

05:18ou sur mon profil.

05:19Mais grosso modo,

05:20je prends la fraction,

05:21je la multiplie par z plus 1

05:22et pour ce côté de l'expression,

05:23ça va juste me donner alpha,

05:25je l'évalue en moins 1,

05:26je te laisse vérifier que ça évalue en moins 1,

05:29ça va bien donner ceci.

05:30Je fais la même méthode pour le z plus 1 demi,

05:32je fais la même méthode pour le z plus 3 carré

05:35et donc je trouve alpha, bêta et delta

05:38et après je fais l'expression moins ça,

05:41je mets au même dénominateur,

05:42je factorise au numérateur par z plus 3,

05:44j'ai une simplification,

05:45il m'en reste un seul au dénominateur

05:47et je multiplie cette expression par z plus 3

05:49ce qui me fait tout ceci moins ça fois z plus 3,

05:54autrement dit juste cette partie-là

05:55avec le gamma qui est libéré

05:57et tout ceci qui est multiplié par z plus 3

05:59et donc qui va s'annuler

06:01quand on va l'évaluer en moins 3

06:02et je te laisse faire le calcul

06:04pour vérifier qu'on trouve bien

06:05que gamma est égal moins 9 sur 50.

06:07J'obtiens donc cette égalité-là.

06:10Et bien maintenant je vais appliquer

06:11la transformée de la place inverse.

06:13Rappel de cours, la transformée de la place est injective

06:16ce qui signifie que c'est une bijection sur son image.

06:19Et donc l'opérateur inverse,

06:21L moins 1 que l'on note généralement,

06:23est défini sur l'image.

06:24Ça c'est la place de Y,

06:26donc je peux bien appliquer L moins 1.

06:28Et les fractions rationnelles de ce type,

06:30je sais d'après le cours aussi

06:31que c'est les transformées de la place

06:33de fonctions connues.

06:34Et par linéarité, tout ça en est une

06:36et donc je peux bien appliquer L moins 1.

06:38Ce qui me fait L moins 1 de L de Y,

06:40donc Y de T,

06:42est égal L moins 1 de tout ceci.

06:44Et donc je fais sortir le moins 1 demi

06:46par linéarité de l'opérateur L moins 1,

06:49tout ça de T.

06:50Toujours par linéarité,

06:51j'applique le L moins 1 à chaque terme

06:54et je fais sortir le facteur.

06:56Donc j'ai ça ici,

06:58ceci ici,

06:59et ceci ici.

07:00Et ici je peux reconnaître directement

07:02que 1 sur Z plus 1,

07:03c'est la transformée de la place

07:04de exponentielle moins T.

07:07Pareil, ça,

07:08c'est la transformée de la place

07:09de exponentielle moins 1 demi T,

07:11de exponentielle de moins 3 T,

07:14et ça de T exponentielle moins 3 T.

07:17Le petit calcul qui va bien

07:18pour prouver ce que je dis,

07:19la transformée de la place

07:21de la fonction constante 1,

07:23oui parce qu'elle existe aussi

07:24pour les fonctions bornées,

07:25c'est ceci,

07:26et donc ça me fait ceci en primitivant,

07:28j'ai pris ceci divisé par moins Z.

07:31Vu que Z est strictement positif

07:32en tant que réel,

07:33j'ai que la limite en plus infini est 0,

07:35et donc j'ai moins ceci en 0 sur moins Z,

07:38ce qui me fait un plus 1 sur Z,

07:40ce qui me fait bien 1 sur Z.

07:41Vu que la transformée de 1,

07:43c'est 1 sur Z,

07:44en appliquant l'opérateur inverse de la place,

07:47j'obtiens que inverse de la place

07:48sur la place de 1 qui vaut 1,

07:51est égale inverse de la place sur 1 sur Z.

07:53Donc j'ai bien que 1,

07:54c'est égal à l'inverse

07:55de la place de 1 sur Z.

07:57De même, j'ai que la transformée

07:58de la place de T,

07:59c'est égal 1 sur Z2,

08:01et donc j'ai que T est égale

08:03à la transformée inverse de 1 sur Z2.

08:06Petite précision,

08:06j'ai aussi utilisé la propriété

08:07que quand la variable a en plus quelque chose,

08:11j'ai un facteur

08:12qui sort de la transformée inverse

08:13en exponentielle moins le truc fois T.

08:15C'est cette propriété-là,

08:17pour peu qui existent,

08:18bien sûr.

08:19Ici, pour Z,

08:20strictement positif,

08:20on n'a aucun souci.

08:22Et donc,

08:22j'ai fait sortir les exponentielles correspondantes.

08:24J'ai un plus 1,

08:25donc j'ai un exponentiel moins T en facteur,

08:26donc transformé la place inverse de 1 sur Z.

08:29J'ai un plus 1 demi,

08:30exponentiel moins 1 demi de T,

08:31fois la transformée de 1 sur Z inverse.

08:34Mbile plus 3,

08:35exponentielle moins 3 T.

08:36Mbile plus 3,

08:37exponentielle moins 3 T,

08:38transformée inverse de 1 sur Z2.

08:40Et donc,

08:40je remplace les transformées inverses,

08:41comme je viens de les calculer,

08:43et j'obtiens que Y de T est égal à cette expression-là,

08:47pour T dans 0 plus l'infini.

08:49Donc, écoute bien le raisonnement de conclusion.

08:51Puisqu'on a raisonné par analyse synthèse,

08:53on vient de montrer que s'il existe une solution à cet équatif

08:56qui admet une transformée de la place,

08:58cette solution étant définie sur 0 ouvert plus l'infini,

09:01alors elle est donnée par cette expression-là.

09:03J'ai oublié de préciser que j'avais distribué le moins 1 demi,

09:06c'est pour ça que les coefficients ont changé.

09:07Et bien, vu que maintenant on a une expression,

09:09on n'a plus qu'à tester celle-ci.

09:11On passe à la synthèse.

09:12On a juste à vérifier que le Y qu'on a trouvé

09:15satisfait bien toutes les conditions.

09:17Et je te laisse faire ce calcul.

09:19Et donc, on montre ainsi qu'on a trouvé la solution

09:22qui vérifie ceci.

09:24Il n'y en a bien qu'une seule,

09:25parce que d'après le théorème de Cauchy-Lipschitz,

09:27j'ai imposé une condition initiale ici

09:29qui garantit l'unicité de la solution

09:31de ce problème de Cauchy.

09:33Et d'ailleurs, note que comme cette expression-là

09:35est définie pour tout est réel,

09:37rien ne m'empêche de tester cette solution

09:39pour T dans R.

09:40Et je vais noter que ça satisfait toujours

09:42l'équation différentielle.

09:44Donc la solution maximale donnée

09:46par le problème de Cauchy,

09:47c'est bien cette fonction-là,

09:49mais pour T dans R.

09:51Check, on a résolu notre problème de Cauchy.

09:54Tu peux tout regarder pour les calculs

09:56et n'hésite pas à poser des questions

09:57s'il y a des choses que je dois détailler.

09:59Je compte sur toi pour ne pas mettre les commentaires.

10:01Bisous !

Catégorie

Transcription

Recommandations