00:00Tossel, pour le passage vers l'aspect MP, on fait du développement asymptotique.
00:04Et on attaque avec l'exercice 21, je te laisse bien screen l'énoncer.
00:07n est un entier supérieur ou égal à 3, et en petit a, on veut montrer que l'équation x puissance n expérimentaire moins x égale 1 sur R+,
00:13ça met exactement deux solutions.
00:15On a une équation, on voit assez rapidement à sa tête que c'est pas un truc qu'on peut triturer dans tous les sens pour isoler x.
00:21Donc réflexe automatique, le théorème de la bijection.
00:25On va étudier les variations de cette fonction.
00:27On va donc appeler f la fonction qui a x associé x puissance n expérimentaire moins x qui va de R+, dans R+.
00:32Cette fonction est évidemment dérivable en tant que produit de fonction dérivable, et pour toute x dans R+.
00:36J'ai la dérivée qui est donnée par ceci, donc je fais la dérivée de ça fois ça, n x puissance n moins 1 expérimentaire moins x,
00:44et le x puissance n fois la dérivée de ça, j'ai un moins qui sort, donc j'obtiens bien cette expression.
00:49Je factorise par x puissance n moins 1 la journée dans le x puissance n, et par expérimentaire moins x,
00:54donc j'ai x puissance n moins 1 expérimentaire moins x fois n.
00:57Moins x puissance n moins 1 fois x, donc là j'ai bien un moins x, puisque l'expérimentaire moins x, x puissance n moins 1 ici.
01:05On étudie donc le signe de ça, positif, positif, et là, simple équation de degré 1,
01:11donc positif entre 0 et n, et négatif de n à plus l'infini.
01:15Avec le petit tableau de variation qui va bien, la valeur en 0 vaut 0, la limite en plus l'infini de f vaut 0, d'après le théorème des croissances comparé,
01:23et dans f, je remplace x par n et j'obtiens la valeur de l'extrémum, le maximum ici.
01:29On déroule le blabla, la fonction est continue parce qu'elle est dérivable, elle est strictement monotone ici, elle est strictement monotone ici,
01:36et on a 1 qui est inférieur à ceci.
01:37Parce que n est supérieur ou égal à 3, et donc il est strictement supérieur à e,
01:41et donc comme n est strictement supérieur à e par croissance de la fonction puissance n sur les positifs,
01:46eh bien j'ai toujours cet ordre, et je divise, et donc j'ai bien que 1 est strictement inférieur à ceci.
01:51Donc j'atteins 1 ici, 1 est bien entre 0 et ceci, et j'atteins 1 une fois ici.
01:57On note xn et yn avec xn strictement inférieur à yn.
02:01Donc si je les mets dans le tableau, en fait, ils sont ici.
02:03Je récape ici les inégalités que vérifie xn et yn.
02:06Check pour le petit a.
02:07Petit b, montrer que yn pour n supérieur ou égal à 3 tend vers plus l'infini et donner un équivalent de yn.
02:13Pour tout n supérieur ou égal à 3, j'ai que yn est strictement supérieur à n.
02:17Théorème de comparaison, ça, ça tend vers plus l'infini, donc yn tend vers plus l'infini.
02:21Plus corsé maintenant, je veux un équivalent de yn.
02:24Je sais que yn est solution de cette équation, donc je vais écrire 7 relations en remplaçant les x par dy.
02:29On va passer au logarithme pour essayer de libérer du yn.
02:32Donc ln de 1 vaut 0.
02:34ln de ceci, je sépare en somme et j'ai le n qui sort devant le nn.
02:38Donc j'ai bien nln de yn plus ln de exponentielle moins yn qui vaut moins yn.
02:44J'ai bien cette relation.
02:45Je la réécris en isolant yn et dans ce yn-là, je vais mettre à nouveau la relation.
02:51J'obtiens donc que yn est égal à nln de n plus nln de ln de yn.
02:56Et là, intuitivement, on peut commencer à sentir qu'on serait a priori assez similaire à ça et que ceci, ça serait quelque chose de négligeable devant ça.
03:06On va simplement le faire dans l'autre sens puisque pour dire que deux trucs sont équivalents, il suffit de dire que leur différence est un petit taux de n'importe lequel des deux, soit de lui, soit de yn.
03:15Donc on va montrer que ceci, c'est un petit taux de yn.
03:19Et pour montrer ça, il faut prouver que ceci tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
03:24Je peux diviser par yn puisque je suis strictement positif.
03:27Et donc ici, je remplace n grâce à cette relation.
03:30n, ça va être égal à yn divisé par ln de yn.
03:34Donc je remplace ici.
03:35J'ai ceci.
03:36Les yn se simplifient.
03:37Et j'obtiens ln de ln de yn sur ln de yn.
03:41Pareil ici, on est bien défini parce que ln de yn est bien strictement positif puisque yn est plus grand que 1.
03:48Donc ln de yn est bien strictement positif et donc je peux le mettre dans le ln.
03:52D'ailleurs, ça m'a été une petite précision là pour appliquer le ln de préciser que yn est strictement positif.
03:57Mais on sait que yn tend vers plus l'infini quand même tend vers plus l'infini d'après ce qu'on vient de montrer.
04:02Et donc par composition, ln de yn tend vers plus l'infini.
04:05Mais là, à nouveau, par composition, je suis de la forme ln de grand X sur grand X quand grand X tend vers l'infini.
04:11Donc à nouveau, en utilisant le théorème de composition des limites et le théorème des croissances comparé,
04:17j'ai que la limite de ceci, c'est 0 quand n tend vers l'infini.
04:20Donc j'ai bien démontré que ce truc-là est un petit taux de yn.
04:23Ce qui veut dire que j'ai cette relation.
04:25J'ai fait passer le petit taux de l'autre côté, le moins ne change rien au caractère petit taux de yn.
04:29Et je divise par yn.
04:31Donc j'obtiens yn divisé par yn, ça me fait 1.
04:33Petit taux de yn divisé par yn, ça me fait un petit taux de 1.
04:37Et de ce côté-là, j'obtiens ceci sur yn.
04:39Et on voit donc bien que la limite de cette expression, c'est 1.
04:42Autrement dit, nln de n est équivalent à yn en plus l'infini.
04:46Check pour ça !
04:47Petite remarque, on peut aller plus loin dans le développement asymptotique de yn.
04:51On a yn et le cas de ceci.
04:53Et dans le yn, je peux rebalancer cette expression-là.
04:56Ce qui me fait, après plein de calculs monstrueux, cette expression-là.
05:00Et je peux démontrer que ce truc-là tend vers 0.
05:04C'est ce que je démontre dans ce calcul relou.
05:05Je te laisse vérifier étape par étape.
05:07Moi, j'ai vraiment la flamme d'expliquer.
05:08Et donc là, je peux faire un développement limité de ln de 1 plus le truc qui tend vers 0.
05:13Et à chaque fois, je remplace les yn par un nln de n plus petit o de nln de n.
05:18Et j'obtiendrai bien un développement asymptotique poussé à l'ordre que je veux de mon expression yn.
05:24Check pour ça !
05:25Petit c, montrer que la suite xn converge vers une limite L à préciser.
05:29On se rappelle les infos qu'on a sur xn.
05:31Déjà, notons que xn est strictement plus grande que 1.
05:34Car si je prends cette expression évaluée en 1, j'ai 1 plus en n, donc 1 fois exponentielle de moins 1.
05:39Donc j'ai e moins 1.
05:40Et ça, c'est strictement plus petit que 1.
05:42Ce qui veut dire que comme on est de ce côté-là du tableau,
05:45et que l'image est strictement plus petite que 1,
05:47forcément, la valeur 1 est avant xn par stricte croissance de la fonction f sur l'intervalle 0n.
05:54Donc xn est minoré, et vous le sentez venir, on va utiliser le théorème de convergence monotone.
05:58Donc il faut montrer qu'elle est monotone, et en fait on va montrer qu'elle est décroissante.
06:02On va plutôt appeler fn la fonction en question puisqu'elle dépend de n.
06:04Et donc l'idée pour montrer les variations avec ce type de suite,
06:08c'est d'évaluer la fonction fn en xn plus 1.
06:11Puisqu'on sait que fn de xn c'est égal à 1.
06:14Si je l'évalue en xn plus 1 et que j'ai un certain contrôle sur l'image,
06:18je pourrais en déduire si on est avant ou après xn.
06:21Et donc fn de xn plus 1 c'est égal à ceci.
06:24Je le remplace donc les x par xn plus 1.
06:27Mais je sais que xn plus 1 c'est la solution de fn plus 1 de xn plus 1 est égal à 1.
06:33Autrement dit, ceci puissance n plus 1 fois ceci est égal à 1.
06:38Ce qui veut donc dire que ceci avec une puissance n, c'est égal à 1 fois ceci, c'est égal à 1 sur x puissance n plus 1.
06:44Mais d'après ce qu'on a montré avant, que xn est strictement supérieur à 1 pour tout n plus grand que 3,
06:49on a donc que ceci est strictement inférieur à 1.
06:53CQFD.
06:54Pourquoi CQFD ?
06:55Tu as raison de poser la question, ça mérite quand même des précisions.
06:57L'image par fn de xn plus 1 est strictement plus petite que 1.
07:01Donc dans le tableau de fn, xn plus 1 ne peut se situer qu'à deux endroits, ici ou ici,
07:07étant donné que son image est strictement plus petite que 1.
07:10On va montrer que ce n'est pas possible ici.
07:12Comme xn plus 1 est la solution de fn plus 1 de xn plus 1 est égal à 1,
07:17par le même raisonnement qu'on fait ici dans le tableau,
07:19on a que xn plus 1 est inférieur strict à n plus 1.
07:23Donc on a cet encadrement là.
07:24Mais cet encadrement signifierait en particulier que yn est équivalent à n en plus l'infini.
07:29Ce qui est bien sûr faux, d'après ce qu'on a fait avant.
07:33Ceci, à partir d'un certain rang, c'est bien évidemment strictement plus grand que ceci.
07:37Donc on a que, au moins à partir d'un certain rang,
07:39xn plus 1 ne peut pas être plus grand que yn,
07:42parce que ça impliquerait que ceci soit plus petit que n plus 1.
07:47Ce qui est faux si on choisit bien le rang en question.
07:49Donc nécessairement, xn plus 1 est dans l'intervalle 0xn à partir d'un certain rang.
07:53Ce qui est très exactement dire qu'à partir d'un certain rang,
07:56la suite xn est strictement décroissante.
07:59Elle est minorée par 1, donc elle converge.
08:01Théorème de convergence monotone.
08:02Reprenons la relation que vérifie xn.
08:05C'est la solution de l'équation x puissance n exponentielle moins x égale 1.
08:09Donc je remplace la x par la dxn.
08:11Et j'ai ceci.
08:11Et donc du coup, j'isole xn puissance n,
08:14qui va donc être égale à exponentielle de xn.
08:17Et je passe à la limite dans l'expression.
08:19xn strictement positif,
08:20donc pas de souci pour passer à l'exponentielle du logarithme pour le x puissance n.
08:25J'appelle l la limite de xn.
08:27Et j'ai que cette limite est égale à ceci.
08:29Donc autrement dit, cette expression-là admet une limite finie,
08:31et même strictement positive.
08:33Et dans l'expression ici,
08:33j'ai n qui est envers plus l'infini fois ln de l,
08:37qui selon la valeur de l,
08:38vaudra 0, un truc positif ou un truc négatif.
08:41xn est strictement plus grand que 1,
08:43donc sa limite est supérieure ou égale à 1.
08:46Si elle est strictement plus grande que 1,
08:47ça veut dire que ln de l est strictement positif,
08:50et donc j'ai l'infini,
08:51et donc ce truc-là tend vers plus l'infini,
08:53je ne peux pas être égal à une valeur finie.
08:56La seule possibilité, c'est donc que la limite de xn,
08:59ce soit 1,
09:00j'aurais du ln de 1, 0,
09:01donc j'aurais 0 fois l'infini, une forme indéterminée,
09:03et en levant la détermination, j'aurais bien une limite.
09:05On ad hoc 1 comme limite, check,
09:07et puis question D,
09:08on veut donner un équivalent de xn moins l,
09:10autrement dit, donner un développement asymptotique de xn.
09:13Tout d'abord, j'ai que xn,
09:14c'est l'exponentiel de xn sur n,
09:16je prends la racine énième dans cette expression-là,
09:19et j'ai donc ceci en retranchant 1 des deux côtés,
09:21j'ai xn qui tend vers une limite finie,
09:23et donc xn sur n va tendre vers 0,
09:25donc dans l'exponentiel, j'ai un truc qui tend vers 0,
09:27je peux faire un développement limité de ce truc.
09:29Je vais à l'ordre 1,
09:30et je remplace xn par 1 plus petit au de 1,
09:32puisque xn tend vers 1,
09:34ce qui me fait un 1 sur n,
09:35petit au de 1 sur n,
09:36qui me fait un petit au de 1 sur n,
09:37plus petit au de 1 sur n,
09:38j'obtiens bien ceci pour xn moins 1.
09:41Ainsi, j'ai ce développement asymptotique,
09:42dit autrement, j'ai que xn moins 1 est équivalent à 1 sur n.
09:46Et de même, en faisant pareil avec cette expression,
09:47et en allant à l'ordre 2,
09:49après les calculs, j'obtiens ce développement d'ordre 2.
09:52Voilà, n'hésite pas à poser tes questions en commentaire
