Signification de la Congruence en Maths Expertes 😎

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Transcript

00:00A tous ceux qui rentrent en MATEXP, on va expliquer ce que sont les congruences.

00:03Avec ce petit dessin que vous voyez là, on avait déjà expliqué dans une autre vidéo une notion qui est liée, celle de quotient d'ensemble.

00:09Elle n'est pas au programme de MATEXP, on la voit généralement en Bac plus 1, en prépa ou à la faille,

00:13mais l'explication intuitive derrière ce phénomène algébrique est simple à comprendre,

00:17et donc je vous invite à aller voir la vidéo soit dans la description, soit en cliquant sur le commentaire épinglé, soit sur mon profil.

00:22Aujourd'hui, on va simplement se contenter d'expliquer la définition très terre à terre que l'on rencontre en terminale MATEXPERT.

00:28Donc on a un entier naturel supérieur ou égal à 2, et AB deux entiers relatifs.

00:32La définition porte bien sur des entiers relatifs, pas que naturels.

00:34Et on va noter avec ce symbole-là la relation de congruence, donc c'est ce petit truc-là.

00:40On va dire que A est congru à B modulo N si N divise la différence A moins B,

00:47ou dit autrement, A moins B est un multiple de N,

00:49ce qui signifie que A moins B s'écrit 1 entier K fois N, et donc que A est égal KN plus B.

00:55Donc cette relation, elle sert en gros à dire que A et B diffèrent d'un multiple de N.

00:59Une autre définition équivalente, c'est de dire, on fait la division euclidienne de A par N,

01:04on fait la division euclidienne de B par N,

01:07et donc d'après les propriétés de la division euclidienne,

01:09j'ai le quotient ici dans la division euclidienne de A par N,

01:12le quotient ici dans celle de B par N,

01:15et j'ai un reste, et on n'a que le reste ici et ici.

01:18Pardon, a priori c'est un R'.

01:20Vérifiez cette inégalité, autrement dit qu'ils sont compris entre 0 et N strict.

01:24Attention, ils ne sont pas égaux à N,

01:25parce que sinon ça veut dire qu'on peut encore incruster du N là-dedans.

01:29Et bien dire que A et B sont congrus modulo N,

01:32c'est dire que dans la division euclidienne par N,

01:35leur reste R et R' sont en fait égaux.

01:38Autrement dit, ils sont dans le même paquet de nombres

01:39si on sépare tous les entiers relatifs en paquets

01:42selon leur reste dans la division euclidienne par N,

01:45c'est à la vidéo précédente.

01:46On peut démontrer que ces deux propriétés là sont bien équivalentes.

01:50Et ce qui est sympa avec cette propriété de congruence,

01:52c'est que ça facilite les calculs sur les restes.

01:54Vu qu'en fait ça c'est dire que les deux ont le même reste

01:57dans la division qu'ils viennent par N,

01:58on peut trouver des restes d'expression très bizarres

02:01en regardant de plus près les propriétés algébriques de la congruence

02:04et en les combinant pour obtenir les résultats qu'on veut.

02:07Petit exemple de propriété, j'ai tiré de lycée adulte.

02:10Si A est congrué à B mode N et C est congrué à D mode N,

02:14on a ceci, une sorte de compatibilité avec l'addition,

02:16la multiplication et les puissances.

02:17Et donc on peut montrer des résultats de barge un peu comme ceci,

02:20montrer que ce nombre là, quel que soit N, est divisible par 11,

02:23ce qui ne se voit pas a priori

02:25et ce qui serait un petit peu galère à montrer à la main.

02:27Voilà, n'hésite pas si tu veux que je fasse un exemple

02:29de calcul de congruence.

02:30Bisous !

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