00:00On explique niveau terminale ce que signifie un équivalent, donc on se donne des suites, mais ça peut aussi se définir pour des fonctions quand on prend la limite au voisinage d'une certaine valeur a qui est au bound de l'ensemble de définition ou une valeur de l'ensemble de définition.
00:11Et on va dire que un est équivalent à vn au voisinage considéré, donc pour les suites seulement plus infinies, donc on va dire un est équivalent à vn en plus infinie, tout simplement si le quotient de un par vn tend vers 1 quand n tend vers plus infinie.
00:23C'est ça, dire que deux suites sont équivalentes en plus infinie. Si vous voulez, c'est une sorte de notion intuitive de elles sont un peu pareilles en plus infinie puisque le quotient tend vers 1, c'est-à-dire que grosso modo ce quotient est à peu près égal à 1 au voisinage de l'infini.
00:37Quel est l'intérêt de cette définition ? Eh bien déjà, c'est qu'elle facilite et généralise le calcul de limite. Pourquoi ça généralise ? Tout simplement parce que si un converge vers l qui est différent de 0 en plus l'infini, cette convergence peut être au sens des réels ou des complexes d'ailleurs,
00:49alors il est équivalent de dire que un divisé par l tend vers 1 d'après les propriétés des limites. Quand je divise, je fais le quotient des limites.
00:57Quand les deux sont finis et non nuls, ce qui est bien le cas ici. Je vais arrêter de mettre des plus l'infini parce que pour les suites, on sait que c'est en plus infini, il n'y a pas d'ambiguïté.
01:04Et ça généralise la notion de limite parce que quand on a des expressions qui divergent, que ce soit vers moins, plus infini ou les autres types de divergences, on aimerait bien savoir plus précisément de quelle façon est-ce que ça va diverger.
01:16La factorielle de n, par exemple, on sait que ça tend vers l'infini, c'est trivialement plus grand que n et par comparaison, la limite est plus l'infini.
01:23Mais comment est-ce que ça tend vers plus l'infini ? L'équivalent nous donne la réponse.
01:27On a cet équivalent qui est appelé formule de Stierling, que j'ai déjà démontré dans une précédente vidéo, voire dans la description sur mon profil.
01:35Donc pour rappel, cet équivalent signifie exactement que ceci a pour limite 1 où e, c'est bien évidemment la constante de Neppert.
01:41Quelques propriétés sympas des équivalents qu'il peut être utile de démontrer et je t'invite à le faire en commentaire.
01:46Si Un est équivalent à Vn, alors Vn est équivalent à Un.
01:49On revient simplement à la définition pour le faire.
01:51Si Un est équivalent à Vn et que Vn est équivalent à Wn, alors Un est équivalent à Wn.
01:57Pareil, écris bien les définitions et tu vas voir que ça se fait très bien.
02:01Et enfin, si Un est équivalent à Vn, alors on n'a que pour tout P entier naturel, Un puissance P est équivalent à Vn puissance P.
02:07Et en fait, si Un est non nul à partir d'un certain rang, on peut même généraliser ça à Z et à R.
02:13Donc pour tout P dans Z ou dans R. Sachant que quand P sera négatif, eh bien là, ce sera des inverses.
02:19Et pareil, je te laisse montrer le résultat que si Un est équivalent à Vn, alors leurs inverses sont équivalents.
02:24À supposer que leurs inverses soient non nulles à partir d'un certain rang.
02:28Et quand on a des réels quelconques, on aura donc des puissances Pm qui seront des bails de racines carrées et ce genre de délire.
02:35Donc la racine de Un, à supposer que Un soit strictement positive à partir d'un certain rang, est équivalente à la racine de Vn dès que Un est équivalent à Vn.
02:44Pour que cette définition-là ait un sens, on va généralement supposer effectivement que Un et Vn sont non nulles à partir d'un certain rang.
02:49Mais il y a une définition plus générale qui n'a pas nécessairement besoin de cette contrainte.
02:54Allez, à toi de jouer. Est-ce que tu serais de montrer cet équivalent en plus de l'infini ?
