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Existence d'un produit scalaire rendant une somme directe orthogonale? 🧐
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00:00
Un exercice très intéressant de SUP sur le produit scalaire et les espaces euclidiens,
00:03
pour ceux qui viennent de finir leur SUP et pas sans SP.
00:06
Voici l'énoncé.
00:07
On a E, un espace vectoriel de dimension finie,
00:10
et on a F, un sous-espace vectoriel de E,
00:13
et G, un supplémentaire de F dans E.
00:16
Pour rappel, d'après le cours, il existe toujours un tel supplémentaire en dimension finie.
00:19
En fait, c'est vrai en dimension quelconque,
00:21
mais en particulier en dimension finie, ça se démontre à partir du théorème de la base incomplète.
00:25
On complète une base de F, et on prend le reste de la base,
00:29
et ça nous donne un sous-espace qui sera en somme directe avec F et qui fera bien tout E.
00:34
Montrez qu'il existe une application B qui est un produit scalaire tel que G.
00:38
En fait, c'est LE supplémentaire orthogonal de F.
00:42
Relativement à ce produit scalaire, bien sûr,
00:44
puisque les notions d'orthogonalité dépendent du produit scalaire qu'on a mis sur l'espace.
00:49
Donc regardez bien l'énoncé.
00:50
Au début, on a un espace vectoriel sans structure supplémentaire.
00:53
On n'a pas de produit scalaire, donc il n'y a pas de notion d'orthogonalité ou quoi que ce soit qui ait de sens.
00:57
Je prends deux sous-espaces vectoriels supplémentaires,
01:01
et à partir de ça, je peux créer, ex nihilo, entre guillemets,
01:04
un produit scalaire qui fait que le deuxième save est en fait le supplémentaire orthogonal du premier save.
01:11
On corrige ça tout de suite, c'est parti.
01:13
Déjà, la première chose à se demander, c'est comment est-ce qu'on va bien pouvoir construire cette application.
01:18
Un point qui devrait faire tilt si on maîtrise son cours sur les applications linéaires,
01:21
c'est que l'application qu'on veut construire, le produit scalaire,
01:24
est censée être une application bilinéaire.
01:26
C'est une des propriétés du produit scalaire.
01:28
Pour rappel, la définition ici, merci au poteau Bibmat.
01:31
Mais rappelez-vous que d'après le cours, une application linéaire,
01:35
elle est uniquement déterminée par l'image d'une base.
01:39
Et ça se comprend, puisque n'importe qui peut s'exprimer comme combinaison linéaire d'éléments de cette base,
01:44
et donc par linéarité, la somme et les facteurs vont sortir de l'application,
01:48
et ça se résume en fait à avoir les images d'éléments de la base.
01:51
Eh bien, on peut sentir que pour l'application bilinéaire, ça va être la même chose.
01:54
Si on veut une application bilinéaire sur un espace, il suffit simplement de savoir son image sur une base.
02:00
La question c'est, quelle base est-ce que je vais choisir ?
02:03
Eh bien, une base qui va être adaptée à ceci, naturellement.
02:06
D'après le cours, j'ai une base de F et une base de G qui se concatènent en une base de E.
02:11
Et donc je considère une base de F, une base de G que je vais appeler comme ça.
02:15
Étant donné que j'essaye de construire une application bilinéaire, donc qui prend en entrée deux vecteurs,
02:20
il faut simplement que je détermine les images de mon application B, qui est ma future application bilinéaire,
02:27
sur les couples de vecteurs de base.
02:29
Et en faisant ça, j'aurai construit une application bilinéaire.
02:33
Et après, j'aurai juste à ajuster pour voir qu'on satisfait bien les autres propriétés du produit scalaire.
02:38
Donc on construit B de cette façon-là.
02:41
B de EI, EI, c'est égal à 1, on ne va pas se prendre la tête.
02:45
Pour tout I dans l'intervalle 1N, bien sûr.
02:47
Maintenant, qu'est-ce que je dois mettre comme valeur ici pour les autres cas
02:51
qui vont garantir l'orthogonalité entre F et G ?
02:55
On peut simplement s'inspirer du produit scalaire usuel.
02:58
On a notre base canonique, et en fait, si on a le produit scalaire usuel,
03:02
on constate déjà que n'importe quel vecteur de cette base scalaire lui-même, ça vaut 1.
03:07
Mais en plus, si on fait le scalaire entre deux éléments distincts de la base, on obtient 0.
03:13
Et en coupant un endroit, les premiers vecteurs nous forment un sous-espace vectoriel,
03:17
et le reste nous forme un autre sous-espace vectoriel,
03:20
et nécessairement les deux vont être en somme directe orthogonale,
03:24
et même supplémentaires orthogonaux.
03:26
Donc en fait, pas besoin de se prendre la tête,
03:27
on impose juste 0 pour la valeur de B en EI, EJ, dès que I est différent de J.
03:33
Et là, j'ai bien construit une application bilinéaire.
03:36
Pourquoi ? Parce que, quel que soit X dans E, il existe un unique énuplé de réel,
03:42
tel que X est égal à la somme de 1 à N des λK EK,
03:46
où EK, c'est ma base du début.
03:48
La concaténation de BF et BG.
03:51
Merci pour le compliment.
03:52
Et donc, soit X et Y dans E, j'ai que B de XY,
03:55
ça va être égal à ceci, ça c'est l'écriture unique de Y, celle-ci de X.
04:00
Tous les deux dans la base des EI.
04:02
Mais la bilinéarité me dit que la somme sort, cette somme aussi, et pareil pour les facteurs.
04:08
Et donc, c'est comme ça que je définis mon application B en X et Y,
04:12
comme cette double somme avec ces valeurs-là, qui sont uniques,
04:17
et qui bien sûr existent, puisque X et Y se décomposent de manière unique dans la base,
04:22
B de EI, EJ, que j'ai défini plus haut.
04:24
Donc, telle qu'elle, mon application est bien définie, et elle est par construction bilinéaire.
04:30
Le poteau Bibmat va nous dire si on vérifie les autres propriétés.
04:33
Est-ce qu'on a la symétrie ?
04:35
Autrement dit, est-ce que B de XY est égal à B de YX ?
04:38
Bon, on refait la même chose, sauf que là, les sommes sont inversées.
04:42
On sort les doubles sommes et les coefficients, et on a B de EI, EJ.
04:47
Dans le premier cas et dans le deuxième cas, B de EJ, EI.
04:50
Ici, les doubles sommes ne changent rien, puisque les indices ne dépendent pas les uns des autres,
04:53
donc je peux commencer en I, puis en J, ou en J, puis en I.
04:57
Et pareil, ici, le produit est commutatif.
04:59
Donc, ça va dépendre de B, EI, EJ.
05:01
Mais avec la définition que j'ai posée, on a bien évidemment symétrie.
05:04
B de EI, EI, c'est égal à B de EI, EI, quand j'ai changé, qui est toujours égal à 1.
05:08
Et B de EI, EJ, quand c'est différent, c'est aussi B égale à B de EJ, EI, qui vaut toujours 0.
05:14
Et donc, on a bien que ceci vaut B de EJ, EI, peu importe les cas,
05:18
et donc que toute cette somme-là, en refaisant la bilinéarité, est égale à B de YX.
05:25
On a donc B de XY qui est égale à B de YX.
05:28
Autre propriété, pour tout U dans E, on veut que l'application en UU soit super ou égale à 0,
05:32
avec égalité si et seulement si, on est égal à 0.
05:35
Let's go pour le calcul de BXX.
05:37
Donc, j'ai ces sommes-là, j'écris les sommes au mode flemmard, mais on sait que ça va de 1 à N.
05:41
lambda I lambda J, B de EI, EJ.
05:45
Et rappelez-vous que dans la définition qu'on a posée, on a 0 dès que I est différent de J,
05:49
et on a 1 quand I égale J.
05:51
Donc, dans toute cette double somme, ici, à chaque fois, ceci sera égal à 0.
05:55
Et c'est bien, ça va nous garantir la positivité,
05:57
parce qu'on n'aurait aucun contrôle sur le signe de lambda I fois lambda J.
06:01
Si I était différent de J, donc on aurait une somme de trucs qui pourrait être de n'importe quel signe,
06:05
on ne pourrait pas garantir que tout soit positif.
06:07
Mais là, oui. Pourquoi ?
06:09
Parce qu'il ne va me rester que ceci.
06:11
Donc, quand I est différent de J, ça vaut 0.
06:13
Quand I égale J, ça vaut 1.
06:15
Et donc, I égale J, j'ai lambda I fois lambda I, lambda I carré.
06:18
Et donc, dans la double somme, en fait, je prends tous les couples IJ,
06:23
tous ceux où I est différent de J dégagent,
06:25
et quand I égale J, je les garde.
06:27
Et donc, il me reste bien une seule somme avec I variant de 1 à N,
06:31
des lambda I carré,
06:33
qui est bien évidemment supérieure ou égale à 0, on a des réels au carré,
06:36
et qui est égale à 0 en tant que somme de termes positifs,
06:39
si et seulement si tous les termes positifs sont 0,
06:41
si et seulement si chacun des lambda I valent 0,
06:44
si et seulement si X vaut 0.
06:46
On a bien un produit scalaire en bonne et due forme,
06:48
on vérifie toutes les propriétés.
06:49
Check !
06:50
Bon, on a construit notre produit scalaire, c'est bien,
06:52
mais maintenant, ce qu'on veut, c'est que G,
06:55
ce soit le supplémentaire orthogonal de F.
06:58
Du moins, c'est ce qu'il nous reste à montrer.
06:59
Eh bien, on va montrer que tout élément de G est orthogonal à tout élément de F.
07:04
Et donc, soit X appartenant à F et Y appartenant à G,
07:07
on écrit B de XY,
07:09
et en fait, on remplace XY par leurs expressions dans la base des EI.
07:13
Et l'expression s'écrit bien comme ça,
07:15
puisque X appartient à F et Y appartient à G.
07:19
Et donc, dans les bases respectives de F et G,
07:21
quelqu'un se décompose de E1 à EP,
07:24
et dans G, de EP plus 1 à EN.
07:26
Donc, Y s'écrit bien de cette forme-là,
07:28
et X de cette forme-là.
07:30
J'utilise la propriété de bilinéarité pour réécrire mon produit scalaire.
07:33
Donc, je fais sortir les sommes et les facteurs,
07:36
et donc, j'ai B de EI, EJ.
07:38
Mais comme I varie entre 1 et P,
07:40
et J varie entre P plus 1 et N,
07:42
nécessairement, ils sont distincts,
07:44
puisqu'ils ne sont pas dans le même sous-intervalle d'entier.
07:46
Et donc, ceci est égal à 0.
07:48
Et donc, le produit scalaire entre X et Y est égal à 0.
07:51
Donc, attention, tel quel, ce qu'on a montré,
07:52
c'est que G est inclus dans l'orthogonale de F,
07:54
c'est-à-dire que tous les éléments de G sont orthogonaux
07:57
à tous les éléments de grand F.
07:59
Pour l'instant, ce n'est juste qu'une inclusion.
08:01
Ça ne veut pas dire qu'il n'y en a aucun autre,
08:03
et justement, il faut le montrer.
08:04
Mais on sait, d'après le cours,
08:05
que l'orthogonale de F est en somme directe orthogonale,
08:09
bien sûr, avec grand F.
08:10
Donc, sa dimension, c'est N moins P,
08:12
qui est aussi, manifestement, la dimension de G.
08:15
N moins P plus 1 plus 1.
08:17
Donc, on a bien que G est égal à F orthogonale.
08:19
Et donc, relativement au produit scalaire que l'on vient de créer,
08:22
la somme directe est en fait une somme directe orthogonale.
08:25
Check !
08:26
Qu'est-ce qui ne change rien dans la démo ?
08:28
Eh bien, si on change la valeur ici,
08:31
en mettant quelque chose de strictement positif là,
08:34
on ne change rien du raisonnement qui a été fait.
08:36
On a toujours bilinéarité et symétrie.
08:38
Et ici, au lieu d'avoir un 1,
08:40
on va avoir la valeur strictement positive,
08:42
qui ne va rien changer, du coup, sur la positivité de ça,
08:45
et le fait qu'on est égal à 0,
08:46
si et seulement si, tous les lambdaïs sont 0.
08:48
C'est pour ça qu'il faut qu'il soit strictement positif, ce truc.
08:51
Et on peut, en fait, se demander,
08:52
est-ce la seule façon de construire un produit scalaire
08:54
qui vérifie ce qui est demandé dans l'énoncé ?
08:56
Et la réponse, est oui !
08:57
Pour vérifier ceci, il faut se donner une base de F,
09:01
une base de G,
09:02
et construire l'application par bilinéarité de cette façon,
09:05
avec B de EI, EI, strictement positif.
09:09
Et on peut montrer qu'on a décrit l'ensemble
09:10
de tous les produits scalaires possibles et imaginables,
09:14
qui sont tels que G,
09:15
c'est l'orthogonale de F.
09:16
Je te laisse démontrer ça en com,
09:18
qu'il n'y a pas d'autres produits scalaires
09:19
qui vérifient ces conditions-là.
09:21
Voilà, n'hésite pas à poser tes questions en commentaire
09:23
si jamais quelque chose n'est pas clair,
09:24
ou si tu veux que je détaille.
09:26
Bisous !
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