Convergence de ∑f(1/n)? 🤔Convergence d'une série à partir d'une fonction C².#serie #fonction #tosel

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00:00Correction de Tossel, un peu d'analyse avec la question 29 petit a.

00:03On veut étudier la série du terme général f de 1 sur n, où f est une fonction de classe C2 sur 0,1.

00:09Suspense, la série converge-t-elle ou ne converge-t-elle pas ?

00:12Eh bien ça dépend, et on va transformer l'expression de f de 1 sur n pour voir ce qu'il se passe.

00:17Tout d'abord, on peut noter que f est de classe C2, c'est-à-dire qu'elle est deux fois dérivable et que sa dérivée seconde est continue.

00:22Or, d'après le cours, une fonction C2 admet un développement limité en 0 à l'ordre 2.

00:27J'ai donc ce DL que vérifie f, qui s'écrit de cette façon si je remplace x par 1 sur n,

00:32puisque quand n tend vers l'infini, 1 sur n tend vers 0, et donc 1 sur n est bien au voisinage de 0.

00:37On a juste à analyser terme par terme.

00:39Déjà ici, terme général d'une série convergente est pareil.

00:42Pourquoi ? Parce que c'est majoré par du Riemann convergent.

00:46Je suis en 1 sur n2, constante fois 1 sur n2, et ça c'est un petit taux,

00:50donc en valeur absolue, c'est majoré à partir d'un certain nombre par une constante sur n2.

00:55Et donc la convergence de la série de termes général f de 1 sur n va dépendre en fait de cette expression-là,

01:00puisque convergent plus convergent fait convergent, convergent plus divergent fait divergent.

01:04Donc c'est ça qui va poser le rythme.

01:07Et on remarque assez rapidement que si f de 0 et f prime de 0 ne sont pas tous les deux égaux à 0,

01:13on n'aura que ceci diverge.

01:15Pourquoi ?

01:16Supposons que f de 0 n'est pas 0, et bien la limite de ceci en plus l'infini,

01:21ça, ça va tendre vers 0, ça va être f de 0 qui est différent de 0,

01:24et donc on a le terme général d'une série qui est grossièrement divergente,

01:28puisque la limite est non nulle.

01:30Maintenant imaginons que lui soit 0, mais que f prime de 0 ne soit pas 0.

01:36Je suis de la forme constante fois 1 sur n, qui est le terme général de la série harmonique,

01:40qui est une série divergente.

01:41Donc si au moins un des deux est non nul,

01:44tout ça, c'est le terme général d'une série divergente.

01:47Et je peux donc conclure que j'ai convergence de la série de termes général f de 1 sur n

01:51si et seulement si f de 0 est égal à f prime de 0 est égal à 0.

01:55Check !

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