00:00C'est la haisse ! Je suis sûr que tu n'es pas au point sur les équations différentielles.
00:04T'inquiète pas, Tonto Adjébri vient à ta rescousse avec la correction du sujet 1 tombé en Amérique du Nord en 2025 du bac de maths.
00:12Exercice 4, partie B !
00:14Je te laisse regarder l'énoncé et je lis la première question, montrer que la fonction f0 définie pour tout nombre réel x par f0 de x est égale à x² plus 3x exponentielle de moins x est une solution particulière de l'équation différentielle E.
00:26Tout d'abord, on ne précise pas que f0 est dérivable, donc il faut le justifier.
00:30Elle est dérivable sur R parce qu'elle est produit composition de polynômes exponentielles.
00:35Et donc, soit x dans R, f0 prime de x est égale, je dérive le terme ici, fois ça, plus ça, fois la dérivée de ça, formule du produit, vous ne faites pas avoir.
00:45Et donc j'ai ceci, je fais rentrer le moins dans la parenthèse et je factorise par exponentielle moins x ici.
00:50Et donc je me retrouve avec un moins x² moins 3x plus 2x plus 3, ce qui fait bien moins x² moins x plus 3.
00:56Facteur de exponentielle x.
00:58Check.
00:59Question 2. Résoudre l'équation différentielle E0, y plus y prime égale 0.
01:03Simple application de cours, on a une équation différentielle de si y prime est égale à a fois y,
01:08et l'ensemble des solutions, c'est les fonctions qui a x associent, c'est exponentielle de moins x,
01:13puisque a ici vaut moins 1, c'est appartenant à R, on n'oublie pas ça.
01:17Check.
01:18Question 3. Déterminer les solutions de l'équation différentielle E.
01:20Encore une fois, c'est une application de cours.
01:23L'ensemble des solutions, d'après le principe de superposition,
01:27c'est les x associent les solutions homogènes plus la solution particulière que j'ai trouvée à la question 1.
01:33Et pareil, on n'oublie pas le C dans R.
01:35Check.
01:36Question 4.
01:37On admet que la fonction G décrite dans la partie A est une solution de l'équation différentielle E.
01:40Déterminez alors l'expression de la fonction G.
01:43Eh bien, vu que c'est une solution, d'après la question 3, elle est de cette forme-là.
01:46Donc j'ai réécrit ça ici.
01:48Or, d'après la partie A, pour rappel, G correspondait à la courbe C1 et vaut 1 en 0.
01:53Donc j'ai G de 0 qui vaut 1.
01:55Je remplace ici x par 0, donc tout ça me fait 0, fois ceci, on s'en fiche, ça fait 0.
02:00Le 0 dans l'exponentiel fait un 1, j'ai donc C est égal à 1, et donc ça me donne bien ceci.
02:05Donc ma fonction G est donnée par cette expression, j'ai remplacé C par 1, et je factorise par exponentiel moins x.
02:10J'ai bien ceci.
02:11Check.
02:12Question 5.
02:13Déterminez les solutions de l'équation différentielle E, dont la courbe admet exactement deux points d'inflexion.
02:17Déjà, on précise que F est deux fois dérivable en tant que produit composé d'exponentiel et polynôme.
02:22Et donc j'ai cette expression pour F, et je la dérive, et donc j'obtiens ceci, et je dérive encore une fois, et j'obtiens ceci.
02:29Je te laisse faire attention au calcul et à l'application de la formule de dérivation d'un produit.
02:32Et on admet deux points d'inflexion si et seulement si la dérivée seconde s'annule deux fois avec changement de signe.
02:38Mais vu qu'on a une exponentielle qui est strictement positive, le signe dépend de ce facteur qui est un polynôme de degré 2.
02:44Et ça, ça s'annule deux fois avec changement de signe si et seulement si delta est strictement positif.
02:48Donc on a deux points d'inflexion si et seulement si ça.
02:51Or delta vaut ceci, et en isolant C, j'obtiens que C est inférieur à 17 quarts.
02:56Donc toutes les solutions de cette forme-là avec C vérifiant ça.
