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AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
  • 25/04/2025

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Personnes
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00:00Correction du sujet MinMath1 2025, filière MP, question 4 à 7.
00:05Mes pauses pour lire l'énoncé, on attaque avec la question 4,
00:08montrer l'inégalité pour tout T dans R.
00:10Et alors on va passer par les séries entières.
00:12Tout d'abord on a ceci pour tout N, c'est évidemment vrai en 0 et en 1.
00:16Et quand N est supérieur ou égal à 2, et qu'on simplifie par factoriel de N,
00:20on a cette inégalité qui est évidemment vraie puisque chacun des facteurs ici est plus grand que 2,
00:24et j'ai bien N facteurs là.
00:26Donc tout ce produit est plus grand que celui-ci.
00:28Je déduis donc de la première inégalité qu'on a celle-ci, car T puissance 2N est positif,
00:34et j'ai divisé par 2N factoriel et par 2 puissance N fois N factoriel.
00:39Et je prends les sommes partielles jusqu'à grand N, je vais tendre grand N vers l'infini,
00:42et j'ai que ces sommes infinies sont dans cet ordre, et j'ai bien l'inégalité voulue.
00:46Check ! Propose une autre démo en commentaire.
00:49Question 5, montrer que pour tout T positif, on a cette inégalité avec C1CN dans R puissance N.
00:54Soit donc T positif et C1CN, un NUP de RN.
00:58D'après l'énoncé, chacun d'exis suit une loi de Rademacher.
01:01Et donc ce vecteur aléatoire est à valeur dans –1, 1 puissance N.
01:06Et donc l'espérance que l'on veut majorer s'écrit simplement comme ça.
01:09D'après la propriété de l'espérance, on a la somme des valeurs de la variable aléatoire fois la probabilité pour chaque valeur possible.
01:16Donc du coup ici, j'ai pris la somme sur tous les NUP de –1, 1 puissance N.
01:22Et donc la proba, c'est que le vecteur aléatoire ici soit égal à ce NUP en particulier.
01:28Sauf que les XI sont indépendantes entre elles, et donc la probabilité que ceci soit égal à ça,
01:35c'est tout simplement le produit que chacun des XI soit égal à chacune des valeurs petite XI.
01:39Et encore d'après l'énoncé, chacune de ces probabilités est 1,5.
01:43Donc tout ceci, c'est tout simplement 1,5 fois 1,5 N fois, soit 1 sur 2 puissance N.
01:48Que je vais sortir de la somme, je ne réécris pas l'indice de la somme,
01:51mais on a compris, c'est toujours pour les NUP dans –1, 1 puissance N.
01:56Maintenant regarde bien, concentre-toi.
01:57Je vais réécrire la somme de cette façon-là en utilisant les propriétés de l'exponentiel.
02:01Et donc j'ai sorti ici de cette somme le CAI égale 1, et ça me fait un produit dans les expos.
02:06La somme est toujours prise sur ces NUP là.
02:08Pardon, il y a un XI qui s'était évadé.
02:11Et ici, XI a deux possibilités, soit 1 et moins 1.
02:14Et donc je peux réécrire la somme de cette façon en prenant du coup les N-1 UPL et A valeur dans –1, 1 puissance N-1.
02:21Et en sommant donc le cas où X1 est égal à 1 et l'autre est égal à moins 1,
02:27on s'en fiche duquel et qui, on sait qu'on en a 1 et on a son opposé là.
02:30Et vu que j'avais le reste des produits de l'exponentiel, je factorise tout simplement par ceci.
02:34J'ai bien le même factor ici avec la somme qui part de 2 jusqu'à N.
02:38Mais on reconnaît ici le double du cosinus hyperbolique de ce truc-là,
02:42et d'après la première question, on peut majorer ceci.
02:45Ce qui veut dire que toute cette somme va être majorée par tout ceci.
02:48Alors on n'oublie pas le facteur 2, parce que dans le cosinus hyperbolique, j'ai un divisé par 2,
02:52et là, comme je n'ai pas de divisé par 2, j'ai deux fois ceci, d'après la question 4.
02:57Et on note ici que j'ai X1 au carré, avec X1 qui vaut 1 ou moins 1, et donc X1 au carré vaut 1.
03:03Donc ici, c'est tout simplement T carré C1 carré sur 2.
03:06Et je refais la même chose avec C2X2.
03:09Et j'obtiens cette expression que je vais majorer par deux fois cette même exponentielle,
03:13puisque encore une fois, j'aurai un X2 au carré.
03:15Et je reproduis la même chose pour tout le monde.
03:17Et donc j'ai bien que tout ce produit-là est majoré par ceci, ce qui nous donne bien l'inégalité voulue.
03:25Check.
03:26Question 6, on déduit que pour tout T positif, X positif, et pour tout C1, Cn dans Rn,
03:31la probabilité de ce truc est inférieure ou égale à 2 exponentielle moins Tx, exponentielle de X carré,
03:36somme pour y variant de 1 à N des Ci carré sur 2.
03:40Et on nous donne l'indication d'utiliser l'inégalité de Markov.
03:43Je pars donc de la probabilité voulue, et je dis que cette probabilité est inférieure à ceci,
03:47où j'ai simplement changé le strict ici en large.
03:50Pourquoi ? Parce que cet événement ici englobe cet événement-là.
03:54Parce que toutes les valeurs de mon espace probabilisé pour lesquelles cette grandeur-là est strictement plus grande que celle-ci,
04:01sont bien des valeurs pour lesquelles cette grandeur-là est supérieure ou égale à celle-ci.
04:05Donc j'ai bien inclusion des événements, les événements c'est juste des ensembles,
04:08et donc leur mesure, leur probabilité, vérifie que celle-ci est inférieure ou égale à celle-ci.
04:14Et là j'ai la probabilité qu'une variable aléatoire qui est positive puisque j'ai de l'exponentielle
04:18soit plus grande qu'un truc qui est strictement positif puisque j'ai de l'exponentielle.
04:22Je reconnais donc l'inégalité de Markov qu'on me proposait d'appliquer,
04:25et donc ceci est inférieur à l'espérance de l'AVA positive en question divisé par le truc strictement positif.
04:32Maintenant soyons attentifs, notons qu'on a une valeur absolue ici.
04:35Donc dans la somme que vaut cette espérance, j'aurai cette expression-là
04:39avec les valeurs du n-nuplet x et xn telles que cette quantité-là est positive
04:45et les valeurs pour lesquelles cette quantité-là est négative.
04:48Et ceci est bien majoré par deux fois l'espérance de ça sans les valeurs absolues ici,
04:53puisqu'en prenant la partie de la somme où ceci est positif,
04:56je peux majorer cette somme par la somme sur tout l'ensemble des VA.
05:00On a des exponentielles fois des probabilités, donc c'est positif.
05:03Et pareil, en prenant l'autre somme qui est de l'autre signe,
05:06je peux compléter, donc majorer cette somme en rajoutant toutes les autres valeurs
05:10de cette VA positive fois les probabilités qui sont positives.
05:14Donc ça, c'est bien majoré par ceci.
05:16Et là, je peux appliquer la question 5 et majorer donc mon espérance par cet exponentiel-là,
05:21sauf que là, c'est pas un T, mais un I.
05:22Ce qui me donne bien l'inégalité que je voulais démontrer, check.
05:25Question 7, montrer que pour tout T positif et pour tout C1, Cn dans Rn non nul,
05:29on a que cette probabilité est inférieure ou égale à cette quantité.
05:32Bon là, on voit ce truc bizarre avec ça au dénominateur,
05:35on se demande bien d'où est-ce que ça peut sortir.
05:37Eh bien, analysons attentivement l'expression du dessus.
05:40Donc on a des X et des T, et on veut se retrouver avec un T2 divisé par ça.
05:44Une possibilité, ça serait que le X carré, quand X est remplacé par une certaine valeur,
05:48se simplifie et donne ceci.
05:50Sauf qu'on a du moins TX ici.
05:53Le 2, lui, ne nous dérange pas.
05:55Ce qu'on va faire, c'est rassembler ces deux exponentiels-là.
05:58Et en les rassemblant, je sais que dans la puissance, j'aurai ça plus ça,
06:02et je veux faire en sorte que ce soit égal à ça.
06:05En fait, on peut noter que si on pose X est égal à ceci, ça va marcher.
06:08On note qu'on a ceci différent de zéro, puisque le vecteur C1, Cn est non nul d'après l'énoncé.
06:13Et donc, en remplaçant là-dedans, j'obtiens ceci, qui après simplification de ça et ça,
06:19me donne ceci, puis ceci, qui correspond bien à ce que j'espère trouver ici.
06:24Mini-check pour ça.
06:25Occupons-nous maintenant de ceci.
06:27Eh bien, en fait, on va juste noter que cette proba-là, elle ne dépend pas de X,
06:31et qu'en fait, cet événement-là à l'intérieur de la proba est équivalent à celui-ci.
06:35Plus exactement, ce sont les mêmes événements plutôt.
06:37Parce que si X est différent de zéro,
06:39on a que ceci équivaut en appliquant la fonction logarithme à cette inégalité-là.
06:43Donc, je dégage les expos.
06:45Puis équivaut à ceci en divisant par X.
06:48On ignore le cas T égal à zéro, mais il faut le mentionner sur la copie normalement,
06:51parce que l'inégalité est évidente dans ce cas.
06:53Et donc, j'ai que la proba de cet événement est égale à la proba du même événement,
06:58qui est inférieure ou égale à cette quantité-là pour tout X strictement positif.
07:02Et donc, en particulier, c'est vrai quand X est égal à cette quantité-là.
07:05Désolé, il y a un carré, il y avait des carrés qui s'étaient échappés,
07:07que j'ai remis partout normalement.
07:09Qui vaut ceci.
07:10Donc, j'ai bien que ceci est majoré par ceci.
07:14Check final.
07:15Allez, n'hésite pas à poser tes questions en commentaire si jamais un truc n'est pas clair.
07:18Bisous.

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