CorrectionSujet Mines filière MP MPI 2025 Partie 1Question 1 à 5 🍍

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00:00On corrige l'épreuve maths de MinPont 2025, filière MP et MPI.

00:04Question 1 à 5, je te laisse lire l'énoncé et on attaque avec la question 1.

00:08Montrer que P0, le polynôme réciproque de P, vérifie que pour tout x d'un rétoile,

00:12P0 de x est égal à x puissance n, P de 1 sur x,

00:16et en déduire que P0 est égal à n, produit pour J variant de 1 à n, de 1 moins alpha j, x.

00:22Soit x dans R étoile, on a que P0 de x, d'après la définition donnée dans l'énoncé,

00:25c'est la somme pour k variant de 0 à n de A indice n moins k avec puissance k.

00:29Et donc je fais un changement de variant en me posant n moins k égale k'.

00:32Et donc k ici va se transformer en n moins k',

00:35et les bandes vont s'inverser, mais on peut les remettre dans le bon sens.

00:38Et je change les k' par k et j'obtiens bien ceci.

00:41Donc la somme pour k variant de 0 à n de A à k, x puissance n moins k.

00:45Je factorise par x puissance n ici, et je remarque que j'ai un x puissance moins k,

00:49ce qui me fait un 1 sur x puissance k,

00:51et ça c'est bien le polynôme P0 appliqué en 1 sur x.

00:55Et donc j'ai bien x puissance n, voire P de 1 sur x.

00:58Check pour cette première question.

00:59Et donc on va décomposer en produit P0 de x.

01:02On utilise l'égalité qu'on vient donc de montrer qui est vraie pour toute x dans R étoile.

01:06Et on sait que P est à racine réelle sin d.

01:08Donc je vais utiliser la décomposition de P pour changer cette expression.

01:12Et donc j'utilise la décomposition de P avec les alpha j.

01:14D'après l'énoncé, les racines sont les alpha j pour j variant de 1 à n.

01:18Et j'ai remplacé le x par 1 sur x.

01:19Donc j'ai bien ceci.

01:21Ici j'ai le coefficient dominant et j'ai le x puissance n là.

01:23Et donc je fais rentrer les x vu que j'ai n facteurs.

01:27Donc je mets un x à chacun des facteurs et je fais rentrer le x dans la parenthèse

01:31qui me fait bien un 1 ici, moins, du coup x fois alpha j.

01:35Donc on réécrit ça en version polynôme et on a bien ce qui nous demande de trouver pour tous les x dans R étoile.

01:39Et de plus on a que P0 de 0 est égal à a n,

01:42ce qui correspond bien à cette formule là quand on remplace x par 0

01:45parce qu'on a un produit que de 1 fois a n.

01:47Donc la formule est bien valide pour tout x réel.

01:50Check !

01:51Question 2 montrait que le PGCD de P et P0 est égal à 1

01:54si et seulement si P ne possède pas de racine stable.

01:56Donc on précise que P et P0 ne sont pas tous les deux le polynôme nul

01:59puisque P est de degré n qui est supérieur ou égal à 1.

02:02Et on va raisonner par équivalence à partir du PGCD de P et P0 différent de 1.

02:06Et ça, ça équivaut à dire qu'il existe j tel que alpha j, une racine de P est aussi racine de P0.

02:11Oui, parce que si leur PGCD est différent de 1,

02:13ça veut dire qu'ils ont au moins une racine en commun étant donné que P est scindé.

02:19Et ça, ça équivaut à dire qu'il existe j tel que alpha j et 1 sur alpha j sont racine de P0.

02:23Oui, parce que s'il existe un j tel que alpha j est racine de P0,

02:27vu que alpha j est racine de P,

02:29d'après la décomposition qu'on a ici, on a que 1 sur alpha j est aussi racine de P0.

02:34Il apparaît dans un de ces produits et si on résout l'équation,

02:37on voit que les racines sont les 1 sur alpha j.

02:40Donc pour ce j particulier là, on a ces deux choses qui sont racines de P0.

02:43Et donc en particulier, alpha j est différent de 0.

02:45Mais ça, ça équivaut à dire qu'il existe j tel que alpha j et 1 sur alpha j sont racine de P.

02:50Oui, parce que dans cette écriture, si alpha j est racine de P0,

02:53ça veut dire que 1 sur alpha j est racine de P,

02:55étant donné que ce terme là n'est pas nul.

02:58Et ça, c'est équivalent d'après l'énoncé à dire que P possède une racine stable.

03:02C'est dit ici.

03:03Il faut qu'on soit différent de 0 et qu'on annule,

03:05et l'inverse aussi annule le polynôme.

03:07Donc j'ai que le PGCD de ces deux polynômes est différent de 1

03:10si et seulement si P possède une racine stable.

03:12Donc on est d'accord que le PGCD de P et P0 est égal à 1

03:16si et seulement si P ne possède aucune racine stable.

03:19Check.

03:20Question 3.

03:21Justifier qu'il existe lambda dans moins 1 tel que P est égal lambda P0.

03:25Donc comme dit dans l'intro,

03:27on a supposé que toutes les racines de P sont stables et de multiplicité 1.

03:30On a que P est stable.

03:32Donc toutes les racines de P0 sont racines de P.

03:35Puisqu'encore une fois, d'après la décomposition de la question 1,

03:37on a que les racines de P0,

03:39ce sont très exactement les inverses des racines de P.

03:42On a donc que P0 divise P,

03:44or P est de degré N et P0 aussi.

03:47Cela signifie qu'ils sont associés.

03:49Autrement dit, P est égal lambda P0 pour un certain lambda dans R,

03:53et même dans R étoile, puisqu'il est différent de 0 nécessairement.

03:55Et en appliquant cette égalité en 0,

03:57j'obtiens que A0 est égal à lambda AN,

03:59puisque le coefficient constant de P c'est A0,

04:01et le coefficient constant de P0 c'est AN,

04:03d'après la définition du polynôme réciproque.

04:06Sauf que P0 est égal à 1 sur lambda P,

04:08lambda est non nul,

04:09et le coefficient dominant de P c'est AN,

04:11et le coefficient dominant de P0 c'est A0.

04:14Et donc j'obtiens cette autre relation,

04:16autrement dit,

04:17ceci est comme AN est différent de 0,

04:19ceci équivaut à lambda carré est égal à 1,

04:21autrement dit lambda est égal à moins 1 ou 1.

04:23Check pour ça.

04:24Question 4, on a introduit diverses polynômes,

04:26et on demande montrer que H est égal à N fois P,

04:29moins lambda fois P'0,

04:31puis que H0 est égal à lambda,

04:33parenthèse Np, moins Xp'.

04:35Et bien on commence par exprimer H de X,

04:37donc c'est égal à X fois P',

04:39et sous forme de somme ça nous donne ceci,

04:41par définition du polynôme dérivé.

04:43Et ensuite j'exprime Np moins lambda P'0.

04:46Np c'est ceci,

04:47donc ici j'ai mis P et donc là j'ai N,

04:49moins lambda P',

04:50donc j'ai P' et j'ai 0.

04:52Et donc je vais appliquer la réciprocité à P'

04:55après avoir fait le changement de variable

04:56pour partir de 0 et avoir un X puissance K ici.

04:59Et donc j'applique la réciprocité,

05:01donc c'est le degré N moins 1 moins K

05:04qui remplace le K.

05:06Et donc je me retrouve bien avec ces indices-là,

05:08et les bandes sont les mêmes de 0 à N moins 1.

05:10Ce qui après simplification me fait N moins K ici

05:12et A N moins K,

05:14et le début est toujours pareil.

05:15Et ensuite je fais rentrer le lambda,

05:17et lambda multiplié par A N moins K.

05:19D'après cette relation,

05:21ça fait tout simplement AK,

05:22puisque le coefficient A N moins K,

05:24c'est celui qui est devant X puissance K,

05:25et donc lambda A N moins K,

05:27c'est le coefficient qui est ici

05:28et devant X puissance K, AK.

05:30De plus, dans cette différence,

05:31je me rends compte que j'ai la somme

05:33de N à K X puissance K,

05:35ce qui est ceci,

05:35sauf qu'ici elle va de 0 à N moins 1 et de 0 à N,

05:37donc de 0 à N moins 1 ici,

05:39ça se simplifie avec ça.

05:40Et donc il me reste le terme en N.

05:42Et ici j'ai le moins qui rentre,

05:44j'ai un plus K à K X puissance K,

05:46qui apparaît ici,

05:48et la somme part de 1,

05:49puisque quand K vaut 0,

05:51K à K,

05:52c'est tout simplement 0,

05:53et ça c'est la même expression qu'ici,

05:55donc je peux le rentrer dans la somme,

05:56et j'ai ça.

05:57Ce qui est bien H de X, check !

05:59Deuxième partie de la question,

06:00on va maintenant montrer cette égalité-là.

06:02Alors d'une part je vais écrire H0,

06:04donc c'est H de X 0,

06:05et H de X ça vaut ceci,

06:07ça partait de 1 tout à l'heure,

06:08mais là je le fais partir de 0,

06:09parce que quand K est égal à 0,

06:10ceci vaut 0.

06:11Et donc en appliquant la formule,

06:13les coefficients qui sont devant le X puissance K

06:15prennent des indices N moins K

06:16d'après la définition,

06:18pour rappel celle-ci.

06:19Et donc j'obtiens bien que H0 vaut ceci.

06:21D'autre part je calcule la quantité

06:23lambda Np moins lambda Xp prime,

06:25et ça vaut Np0,

06:26puisque pour rappel lambda P c'est égal à P0,

06:30puisque P vaut lambda P0,

06:31et lambda c'est 1 ou moins 1,

06:33donc si je multiplie cette égalité par lambda,

06:34j'ai que lambda P vaut lambda carré P0,

06:36et lambda carré vaut 1.

06:38Donc j'ai ici Np0 qui se traduit par cette somme,

06:40donc P0 j'ai inversé ici dans le AK,

06:43et j'ai fait rentrer le N dans la somme.

06:44Et d'autre part j'ai moins lambda Xp prime,

06:46donc moins lambda H,

06:48je le réécris comme ça en partant de 0,

06:50sauf que pour rappel lambda AK c'est AN moins K,

06:54toujours d'après cette égalité entre P et son polynôme réciproque.

06:57Et donc en rassemblant tout dans la même somme,

06:59j'ai bien ceci,

07:00qui est égal donc à ceci,

07:01et donc j'ai bien l'égalité entre les deux membres.

07:04Check.

07:05Question 5.

07:06Vérifier que P' est scindé sur R,

07:07puis montrer que PGCD2H et H0 égale 1,

07:10et en déduire que P' n'avait pas de racine stable.

07:13Et bien tout d'abord notons que P est scindé à racine simple.

07:15Cela signifie que les N racines sont toutes distinctes.

07:18De cette façon.

07:20Et on va donc appliquer le théorème de Rohl,

07:21ou le théorème des accroissements finis,

07:23sur chaque intervalle lambda J, lambda J plus 1.

07:26C'est un polynôme, c'est dérivable, continue.

07:28En particulier c'est dérivable sur l'ouvert.

07:30Et donc d'après Rohl,

07:32j'ai que la dérivée de P s'annule sur l'ouvert lambda 1, lambda 2,

07:36sur l'ouvert lambda 2, lambda 3, etc.

07:38Lambda N moins 1, lambda N.

07:40Ce qui me fait bien N moins 1 valeur distincte,

07:42puisqu'elles sont dans des intervalles disjoints.

07:44Et en particulier on en a bien N moins 1,

07:46ce qui signifie que P' est scindé sur R.

07:50Check !

07:51Deuxième partie de la question,

07:52montrer que H et H0 ont un PGCD qui est égal à 1.

07:55On vient de montrer que P' est scindé,

07:57vu que H est égal à X fois P' par définition.

08:00H aussi est scindé.

08:02Et donc le seul moyen pour que le PGCD de H et H0 soient différents de 1,

08:05c'est qu'ils aient une racine en commun.

08:07puisque n'importe quel polynôme qui va diviser H et qui est de degré au moins 1

08:11sera lui aussi scindé, puisque H est scindé.

08:14Ce qui nous fera bien une racine en commun entre H et H0.

08:16Donc on suppose que leur PGCD est différent de 1,

08:19et donc cela signifie qu'ils ont une racine en commun.

08:21On va montrer tout d'abord que cette racine ne peut pas être 0,

08:24puisque 0 est racine de H.

08:26Si cette racine était 0, comme on note qu'ici on a H, X fois P',

08:30et bien en évaluant 0, j'aurais que ceci fait 0,

08:33et donc ça serait la racine commune avec H0 qui ferait 0,

08:36et donc j'aurais que P aussi s'annule en 0.

08:39Sauf qu'on a supposé que toutes les racines de P sont stables.

08:43Et une racine stable, ça signifie en particulier qu'on est différent de 0.

08:46Donc cette racine n'est pas 0,

08:48et donc cette racine de H est en particulier une racine de P',

08:51puisque P' est scindé, donc ici on a un facteur qui vaut 0,

08:55et donc ce n'est pas X, puisque ce n'est pas 0,

08:58donc c'est une racine de P'.

08:59Mais vu que c'est aussi une racine de H0,

09:01ça veut dire qu'ici on a 0 en évaluant cette racine,

09:04ici on a 0 en évaluant cette racine,

09:07et donc c'est une racine aussi de P.

09:09Sauf qu'on a supposé que les racines de P, en plus d'être stables,

09:12sont de multiplicité 1.

09:14Cela signifie que les racines de P ne peuvent pas annuler P',

09:17sinon ça voudrait dire qu'on serait de multiplicité au moins 2.

09:20Donc on a bien que le PGCD de H et H0 est égal à 1, check !

09:23Et fin de la question, on déduire que P' n'admet pas de racine stable.

09:27D'après la question 2, pour rappel, on a que H et H0 ont un PGCD qui vaut 1,

09:30si et seulement si H n'en possède pas de racine stable.

09:33Mais comme H est égal à X fois P',

09:35ces racines stables potentielles sont nécessairement celles de P',

09:38mais comme on vient de dire que H n'en possède pas,

09:41nécessairement P' n'en possède pas,

09:42parce que si P' en possédait, H en posséderait.

09:45On a donc bien montré que P' n'admet pas de racine stable.

09:48Ce qui conclut la première partie, check !

09:51N'hésite pas à poser tes questions en commentaire si jamais quelque chose n'est pas clair.

09:54Et on se dit à la prochaine pour la suite de la correction.

09:56Bisous !

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