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AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
  • 28/04/2025

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Personnes
Transcription
00:00Centrale mathématique 1 PC 2025, un principe d'incertitude matricielle.
00:04Nouveau concept de correction, j'essaie de te faire un corrigé rapide en 2-3 minutes,
00:08essaie de bien reprendre le sujet pour développer les idées dont je vais parler.
00:11Mes pauses pour lire l'énoncé, et on commence avec la partie A, questions 1, Q1 et Q2,
00:15et on désigne par E le C espace vectoriel des fonctions indéfiniment dérivable de R dans C.
00:20On prend l'opérateur qui a une certaine fonction associée moins à sa dérivée seconde,
00:23on demande de montrer qu'on définit un endomorphisme de E.
00:25Si la fonction est indéfiniment dérivable, évidemment, F seconde est indéfiniment dérivable,
00:30et par stabilité de l'espace vectoriel par multiplication scalaire,
00:33j'ai bien que moins F seconde est toujours dans C infini de R dans C.
00:37Check pour la question.
00:38On veut maintenant montrer que R plus est inclus dans l'ensemble des valeurs propres de R,
00:41ce qui équivoque à se demander s'il existe des fonctions C infini qui vérifient cette relation,
00:45où lambda est dans R plus.
00:46Oui, c'est juste une équation différentielle d'ordre 2,
00:48d'équation polynomiale caractéristique associée à celle-ci.
00:51Les solutions sont de cette forme-là d'après le cours, ce qui est bien C infini.
00:54Check pour la question 2.
00:55On introduit ceci, et je te laisse lire le début de l'énoncé,
00:57et on fait la question 3, on veut montrer la convergence de l'intégrale.
01:01On montre que l'intégrale est absolument convergente en prenant la valeur absolue de ce truc,
01:04donc le exponentiel moins i, si t dégage.
01:06Et en valeur absolue, le ga, on peut montrer facilement que c'est un petit taux de 1 sur t2,
01:11en plus et moins l'infini, donc on n'a pas de problème en moins et plus l'infini,
01:14on n'a aucun problème ailleurs par continuité.
01:16Absolue convergence de l'intégrale, donc convergence de l'intégrale, check.
01:19Question 4 démontrait que l'application ga chapeau est de classe C1,
01:21théorème de convergence dominée pour les fonctions C1.
01:24On domine la dérivée partielle de l'intégrale par rapport à xi,
01:28ce qui nous fait du blabla t fois ga2t fois un blabla qui a un module inférieur à 1.
01:32Je prends les valeurs absolues, c'est inférieur à t fois ga2t en valeur absolue,
01:36qui encore une fois n'a pas de problème d'intégration en moins et plus l'infini,
01:40par le même genre d'argument qu'à la question précédente.
01:42Question 5 démontrait que j'ai un chapeau et solution de R d'une équation différentielle du premier ordre,
01:45qu'on l'explicitera en déduire que g chapeau de R est égal à ceci.
01:48A l'aide du théorème précédent, on dérive dans l'intégrale.
01:51Petite note, je n'avais pas fait gaffe, d'ailleurs on admet la convergence de l'intégrale,
01:54donc on n'a même pas besoin du petit o, tout ça.
01:55On fait une IPP en dérivant le g de a.
01:58On bidouille, on arrange et on trouve l'équation différentielle que vérifie g de a chapeau.
02:02On explicite, on résout et on en déduit la relation qu'il nous donne.
02:05Question Q6, de montrer que ces intégrales sont convergentes, même blabla,
02:08ce qui est à l'intérieur, c'est un petit o de t2 en plus ou moins l'infini,
02:11on n'a pas de problème ailleurs par continuité.
02:13Parce que vous avez du g a carré dans l'intégrale et multiplié par u2 ou pas,
02:17ça reste un petit o de 1 sur u2 en plus ou moins l'infini.
02:20D'après les croissances comparées, je vous laisse rédiger ça proprement.
02:23Déterminer leur valeur, pour la première c'est simple,
02:25on a juste un 2 qui ici est dans la puissance,
02:28qui va simplement s'incruster dans l'exponentiel,
02:29donc je fais un petit changement de variable et j'obtiens un facteur de ce truc-là.
02:32Deuxième, IPP, je fais gaffe à ce que mes fonctions soient bien c1 sur R.
02:36Je dérive u, je primitive u fois g a carré u, je bidouille et je m'en sors.
02:40On définit ensuite les quantités par ces relations,
02:42donc les quantités sigma f et sigma t.
02:45Et la question c'est, c'est de démontrer cette égalité.
02:47Écrivant ça, ça revient à montrer que le produit vaut un quart,
02:49on fait le produit, on a ça qui va se simplifier avec le 2pi à un facteur près.
02:53On place ceci grâce à la question 5, on a calculé ça avant,
02:56ça, ça revient à un truc comme ça, on simplifie, ça donne ce qu'il faut.
02:58Là pour les parties 1 et 2, bisous !

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