Correction Centrale Supélec Maths 2 2025 PSI - Question 8 - Convergence d'une somme ➡️ - Vidéo Dailymotion

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00:00Encore les bails chelous, tard, les moins 1 douzième.

00:02Et on corrige la question 8.

00:04Montrez que la limite quand x tend vers 0 de x, cette somme,

00:07est égale à l'intégrale de AB de f de t dt.

00:10On rappelle les hypothèses, f est une fonction qui est c1,

00:12c'est-à-dire dérivable à dérivée continue sur un segment AB,

00:15A est inférieur à B, et x est un réel strictement positif.

00:18Eh bien déjà, d'après la question Q7, on a que ceci, c'est égal à tout ceci.

00:22Et donc je le mets entre valeurs absolues.

00:23C'est ce qu'on est censé avoir démontré ici.

00:25Montrer que tout ça, c'est égal à tout ceci.

00:28Donc j'ai bien ceci, je vais utiliser l'inégalité triangulaire

00:31en faisant d'abord passer les valeurs absolues dans la somme,

00:33puis dans l'intégrale, et ici en séparant ici,

00:36en transformant le moins, et en faisant passer dans la deuxième intégrale.

00:39Ce qui me donne que je suis inférieur à tout ceci.

00:41Puis je majore la valeur absolue de f de t par la norme sup de f sur AB.

00:46f est continu, donc ce sup est fini.

00:48Et donc tout ceci est bien majoré par tout ceci.

00:51Je sors le sup qui ne dépend plus de t de l'intégrale,

00:53et j'ai bien la différence des bornes qui apparaît ici.

00:56Mais d'après la question 6, j'ai que cette quantité-là

00:59est inférieure ou égale à x quand elle est supérieure ou égale à 0.

01:02Et je peux l'appliquer sur ceci, qui est positif,

01:03qui est égal à sa valeur absolue.

01:05Mais ça serait pareil si c'était négatif.

01:07Et donc par la question 6, je majore le deuxième terme

01:09par x multiplié par la norme infinie de f.

01:12Maintenant, pour tout t qui est dans cet intervalle-là,

01:14j'applique le théorème des accroissements finis à f,

01:17qui est dérivable et donc continu sur l'ensemble AB,

01:20et donc sur cet intervalle.

01:21Et donc cette différence est égale à la différence des antécédents

01:25multipliée par f' d'une certaine valeur qui est dans l'intervalle.

01:29Je l'appelais yaxt, puisque ça dépend de ax et t,

01:33vu que c'est une valeur qui est comprise entre t et a plus nx.

01:37Mais cette quantité-là, c'est la bande du haut moins t,

01:40et c'est majoré par la bande du haut moins la bande du bas.

01:43Puisque t est compris entre ça et ça,

01:45donc moins t est plus petit que moins ça.

01:48Et en ajoutant a plus nx des deux côtés,

01:50j'ai bien que a plus nx moins t est plus petit que a plus nx moins ceci,

01:56qui fait en fait x.

01:57Et donc je majeure ceci par x,

01:59ce qui me donne cette majoration-là,

02:00le x norme de f infini est toujours là.

02:03Et vu que f et c1, f' est continu sur AB,

02:06je peux donc majorer ceci par la norme sub de f près.

02:08Et donc j'obtiens cette majoration-là,

02:11avec l'intégrante qui ne dépend plus de t,

02:13que je sors par l'inéarité de l'intégrale.

02:15Et donc ici, je vais me retrouver avec la différence des bords,

02:17qui fait x.

02:18Et donc je suis bien majoré par cette quantité-là.

02:21J'ai une somme ici qui ne dépend plus de n,

02:23donc j'ai bien ceci moins 1 plus 1,

02:26donc ceci fois cela plus ce morceau-là,

02:29ce qui me donne ceci.

02:30Et ceci, c'est majoré par x facteur de b moins a,

02:32puisque la partie entière de ça est majorée par ceci.

02:35Et fois x2, c'est bien majoré donc,

02:38après simplification des x,

02:39par x fois b moins a.

02:41Je suis donc finalement majoré par ceci,

02:42que j'exprime sous cette forme-là,

02:44en factorisant par x.

02:45Qui tend bien vers 0 quand x tend vers 0 ?

02:47Check !

02:47Vu que la valeur absolue de la différence tend vers 0,

02:49cela équivaut bien à dire que ceci tend vers ceci,

02:52qui ne dépend pas de x quand x tend vers 0.

02:54Voilà, n'hésite pas à poser tes questions en commentaire,

02:55si quelque chose n'est pas clair.

02:56Bisous !

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