00:00On attaque la question 18 de CCINP filière Psi mathématique.
00:03Merci c'est PGE Paradise, et donc la question est introduite par
00:06pour tout lambda dans moins à un ouvert, on pose i lambda qui est égal à cette intégrale,
00:11et donc on veut justifier à la question 18 l'existence de i lambda et montrer que i lambda est égal à cette valeur.
00:16Étant donné qu'on est sur un intervalle ferme et borné, il s'agit simplement de savoir si cette fonction est définie et continue sur tout l'intervalle,
00:22et ça revient simplement à voir s'il y a des valeurs qui annulent le dénominateur,
00:26puisqu'on a simplement une fraction rationnelle qui est toujours continue partout où elle est définie.
00:30Et pour cela on calcule tout simplement le discriminant du dénominateur,
00:32et on voit qu'il donne ceci qui est strictement négatif,
00:35puisque lambda est pour rappel compris entre moins 1 et 1, donc son carré est strictement plus petit que 1.
00:39Et donc ceci est strictement négatif, et donc le polynôme de degré 2 qui est au dénominateur
00:43est du signe du coefficient dominant 1, donc positif, partout sur r.
00:48En particulier on n'a aucune valeur t réelle qui annule cette expression,
00:51et donc on n'en a aucune sur l'intervalle 0,1.
00:54Donc notre fraction rationnelle est bien continue et définie sur l'intervalle 0,1,
00:58ce n'est pas une intégrale généralisée.
01:00Elle converge donc, check.
01:02Et maintenant c'est parti pour le calcul.
01:03Soit lambda dans moins 1,1 ouvert, on a que i lambda est égal ceci,
01:07on va simplement mettre le dénominateur sous forme canonique.
01:10Parce que oui, si tu te le demandais, la forme canonique ça sert à ça,
01:13quand on est dans ce genre de situation,
01:141 sur un polynôme de degré 2 à discriminant strictement négatif,
01:17la forme canonique fait apparaître facilement une primitive de cette fonction.
01:21Et donc on reconnaît qu'ici on a le début de l'identité remarquable,
01:24donc forcément je suis de la forme t moins lambda, tout ça au carré,
01:27pour avoir le moins double produit, qui correspond bien à ça.
01:30Et donc il faut que j'annule le lambda carré qui sort en mettant un moins lambda carré ici,
01:33j'avais lu un de tout à l'heure.
01:35Je factorise ensuite par 1 moins lambda carré,
01:37donc 1 moins lambda carré sur t moins lambda au carré sur 1 moins lambda carré,
01:41que je fais rentrer dans le carré, donc il passe à la racine.
01:44Je précise que lambda n'est pas égal à 1 ou moins 1, pour rappel.
01:47Et donc là on est différent de 0.
01:48Je sors cette bêtise de l'intégrale et je reconnais un arc tangente.
01:52Alors je peux faire le changement de variable pour ici avoir simplement un t carré plus 1,
01:57mais en vrai on peut directement primitiver comme ça.
01:59Et une primitive va être donnée par cette expression.
02:01Pourquoi ? Parce qu'en dérivant j'aurai la dérivée de ça qui sortira en facteur,
02:04et la dérivée de ça c'est 1 sur racine de 1 moins lambda carré,
02:07qui va se simplifier avec ça,
02:09et va donc juste nous donner la dérivée de arc temps en ceci.
02:12Ce qui est bien ceci.
02:13Je fais sortir ce facteur et je le simplifie devant,
02:15donc j'ai bien 1 sur racine de 1 moins lambda carré,
02:18et j'évalue la primitive en 1 et 0.
02:20Et j'obtiens bien 7 différents,
02:22qui seraient écrits de cette façon par imparité de la fonction arc temps.
02:25Car arc temps de moins truc est égal à moins arc temps de truc,
02:28donc moins, moins, ça fait bien plus ma vie.
02:31Check pour ça, et n'hésite pas si tu as des questions à les poser en commentaire.
